算法设计与分析第三章：分治法
算法分析与设计实验报告
第 三 次实验
姓名 裴朵朵 学号 5001170016 班级 计科一班
时间 2019.10 地点
实验名称 分治法及其应用
实验目的 1、理解分治法的概念、原理方法。
2、掌握分治法的使用规律与编程技巧
3.能够应用分治法求解日常生活中问题
实验原理 1.设计一个算法，利用分治法求一个整数序列中的最大和最小元素
2.设计一个算法，采用分治法求x^n
3.有n个互不相同的整数，按递增顺序存放在数组a[1,n-1]中，若存在一个下标i(0<=i<=n) ,使得a[i]=i,设计一个算法以O（log2n)时间找到这个下标
4.对于大于1的正整数n，可以分解为n=x1x2x3*…xm,其中xi>=2。例如，n=12时有8种不同的分解式，即12=12,12=62;12=43,12=34,12=322,12=26,12=232,12=22*3,设计一个算法求n的不同分解式个数。
5.给定一个整数序列，每个元素出现的次数称为众数。编写一个实验程序对递增有序序列a求众数。例如S={1,2,2,2,3,5},多重集S的众数是2，其中重数是3
6.给定一个整数数组A=(a0,a1…an-1),若i
7.求解半数集问题：给定一个自然数n，由n可以依次产生半数集set(n)中的数如下：(1)n属于set(n)。(2)在n的左边加一个自然数，但该自然数不能超过最近添加的数的一半。(3)按此规则进行处理，直到不能再添加自然数为止。例如，set(6)={6,16,26,126,36,136},半数集set(6)中有6个元素。编写一个实验程序求给定n时对应半数集中元素的个数。
8. 快速排序：分治法，将待排序数组通过一次排序分为两段，用相同方法排序 。
9.对于给定的含有n个元素的无序序列，求这个序列中最大和次大的两个不同元素
10.折半查找：要求元素有序
实验步骤 1.将数组a均分为s1和s2，求解s1和s2中的最大和最小值，最终的最大和最小值可以在s1和s2中的最大最小值中比较得到；对于s1和s2中的最大最小值，可以用同样的方法得到。
2.当n=1时，结果为x；当n为奇数时，结果为f(x,n)=f(x,(n-1)/2)*f(x,(n-1)/2)*x;当n为偶数时，结果为f(x,n/2)*f(x,n/2)
3.采用二分查找法。a[i]=i时表示该元素在有序非重复序列a中恰好第i大。对于序列a[low…high],mid=(low+high)/2,若a[mid]=mid表示查找到该元素；若a[mid]>mid,说明右区间的所有元素都大于其位置，只能在左区间中查找；若a[mid]
5.count记录最大的重数，count1记录每个元素的重数，相同大小的元素记录完重数后，count1与count比较，若count1>count，则count1成为新的count，接下来进行下一个不同数值的比较，直到数组遍历完毕；如果count1=count,则表示最大重数有两个或多个，定义数组记录最大重数的数值
6.定义两个变量i和j，最大值分别是n-1和n,从第一个元素开始，依次与其后面的元素比较大小，若符合逆序数的条件，则count加1
7.半数集set(n)中元素个数的求解是个递归的过程，设set(n)中的元素个数为f(n),则明显有递归表达式：f(n)=1+∑f(i)，i=1,2……n/2
8.先将数列中的第一个数作为基准， 将a[0]中的数保存到tmp中，可以理解为在a[0]上挖了个坑，可以将其他数据填充过来，从j开始向前找一个比tmp小或者等于tmp的数，找到符合条件的数时，将其位置挖坑，它本身填到a[0]位置上，然后从i开始找一个大于tmp的数，将其挖坑，其本身填到上一个坑中，直到a[i]=a[j]，将tmp填到a[i]中，这样就完成了一次排序，然后递归调用。
9.若只有一个元素，则此元素是最大元素，没有元素；若只有两个元素，则最大元素为两个之中的较大者，次大元素为两个之中的较小者；若有两个以上元素，则分为[low…mid],[mid+1…high]，分别求出两边的最大值和次大值，左右最大值相互比较，左右次大值相互比较，递归进行，依次比较，直到结束
10.首先确定元素的中间位置mid，将待查找元素与mid比较，若相等，则找到；若比mid小，则带查找元素在0…mid之间，查找0…mid的中间元素；若比mid大，则在mid+1…high之间，查找mid+1…high的中间值,依次进行
关键代码 1-1
void MaxMin(int a[],int low,int high,int &maxe,int &mine)
{
if(lowhigh) //只有一个元素
{
maxe=a[low];
mine=a[low];
}
else if(lowhigh-1)//只有两个元素
{
maxe=max(a[low],a[high]);
mine=min(a[low],a[high]);
}
else
{
int mid=(low+high)/2;
int lmaxe,lmine;
MaxMin(a,low,mid,lmaxe,lmine);
int rmaxe,rmine;
MaxMin(a,mid+1,high,rmaxe,rmine);
maxe=max(lmaxe,rmaxe);
mine=min(lmine,rmine);
}
}
1-2.
double solve(double x,int n)
{
double f;
if(n1)//n是1的时候
{
return x;
}
if(n%20)
{
f=solve(x,n/2);
return ff;
}
else
{
f=solve(x,(n-1)/2);
return ff*x;
}
}
1-3
int Search(int a[],int n) //查找a[i]=i;
{
int low=0;
int high=n-1;
int mid;
while(low<=high)
{
mid=(low+high)/2;
if(a[mid]mid)
{
return mid;
}
else if(a[mid]
low=mid+1;
}
else
{
high=mid-1;
}
}
}
1-4.
public class YinShu
{
int solve(int n)
{
if(n
else
{
int sum=0;
for(int i=2;i<=n;i++)
if(n%i==0)
{
sum=sum+solve(n/i);
}
return sum;
}
}
}
1-5
int solve(int a[],int n)
{
int i;
int j=-1;//j表示众数的个数
int count=1;//记录最大重数
int count1=1; //记录每个元素的重数值
for(i=0;i
while(a[i]a[i+1])//当遇到相同元素时，开始计算这个数值的重数
{
count1++;//找到相同元素，该元素的重数加1
i++;
}//直到同一个数值的重数计算完毕，退出循环
if(count1>count)
{
count=count1;
j=1;
elem[j]=a[i];
}
else if(count1count)
{
j++;
elem[j]=a[i];
}
count1=1;//将count1重置，记录下一个元素的重数
i++;
}
return j;
}
1-6
int solve(int a[],int n)
{
int count=0;
for(int i=0;i
for(int j=i+1;j
if(a[i]>a[j])
{
count++;
}
}
}
return count;
}
1-7
int comp(int n)
{
int ans = 1;
//说明已在之前求解过
if (a[n] > 0)
{
return a[n];
}
for (int i = 1; i <= n/2; i++)
{
ans += comp(i);
}
//存储结果
a[n] = ans;
return ans;
}
1-8
int solve(int a[],int s,int t)//划分算法
{
int i=s;
int j=t;
int tmp=a[s];//用序列的第1个记录作为基准
while(i!=j)//从序列两端交替向中间扫描，直到i=i为止
{
while(i
{
j–;//j向左移动，直到找到a[j]
a[i]=a[j];//将a[j]放到a[i]的位置
while(i
i++;//从左向右扫描，找到第一个大于tmp的值
}
a[j]=a[i];//将此数放到a[i]位置，它本身的位置挖坑
}
a[i]=tmp;
return i;
}
1-9.
#include
#include
#include
using namespace std;
void solve(int a[],int low,int high,int &max1,int &max2)
{
if(lowhigh)//区间只有一个元素
{
max1=a[low];
max2=INT_MIN;
}
else if(lowhigh-1)//区间只有两个元素
{
max1=max(a[low],a[high]);
max2=min(a[low],a[high]);
}
else//区间有两个以上元素
{
int mid=(low+high)/2;
int lmax1,lmax2;
solve(a,low,mid,lmax1,lmax2);//左区间求1max1和1max2
int rmax1,rmax2;
solve(a,mid+1,high,rmax1,rmax2);//右区间求rmax1和rmax2
if(lmax1>rmax1)
{
max1=lmax1;
max2=max(lmax2,rmax1);
}
else
{
max1=rmax1;
max2=max(lmax1,rmax2);
}
}
}
1-10
#include
int solve(int a[],int low,int high,int k)
{
int mid;
if(low<=high)
{
mid=(low+high)/2;
if(a[mid]==k)
{
return mid;
}
else if(a[mid]>k)
{
return solve(a,low,mid,k);
}
else
{
return solve(a,mid+1,high,k);
}
}
else return -1;
}
测试结果 1.
6
实验心得 加深了对分治法的理解，通过自己动手编程练习，初步掌握了分治法的内涵，学会编写经典程序，在今后下一章的学习中，还要接着练习本章分治法的内容，达到熟练掌握，有所提高。
附录：完整程序代码，依次按照题目序号 1-1 1-2
1-1.
#include
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
//求a中的最大最小元素
void MaxMin(int a[],int low,int high,int &maxe,int &mine)
{
if(lowhigh) //只有一个元素
{
maxe=a[low];
mine=a[low];
}
else if(lowhigh-1)//只有两个元素
{
maxe=max(a[low],a[high]);
mine=min(a[low],a[high]);
}
else
{
int mid=(low+high)/2;
int lmaxe,lmine;
MaxMin(a,low,mid,lmaxe,lmine);
int rmaxe,rmine;
MaxMin(a,mid+1,high,rmaxe,rmine);
maxe=max(lmaxe,rmaxe);
mine=min(lmine,rmine);
}
}
int main()
{
int a[]={7,3,9,2,4};
int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]);
int maxe,mine;
MaxMin(a,0,n-1,maxe,mine);
printf(“最大值是：%d, 最小值是：%d\n”,maxe,mine);
return 0;
}
1-2.
//求x^n
#include
double solve(double x,int n)
{
double f;
if(n1)//n是1的时候
{
return x;
}
if(n%20)
{
f=solve(x,n/2);
return ff;
}
else
{
f=solve(x,(n-1)/2);
return ff*x;
}
}
int main()
{
double a;
int b;
printf(“请输入x和n的值：\n”);
scanf("%lf",&a);
scanf("%d",&b);
printf(“输出结果是：\n”);
for(int i=1;i<=b;i++)
{
printf("%.2f的%d次方是：%.2f\n",a,i,solve(a,i));//小数点后保留2位
}
return 0;
}
1-3
#include
int Search(int a[],int n) //查找a[i]=i;
{
int low=0;
int high=n-1;
int mid;
while(low<=high)
{
mid=(low+high)/2;
if(a[mid]mid)
{
return mid;
}
else if(a[mid]
low=mid+1;
}
else
{
high=mid-1;
}
}
}
int main()
{
int a[]={-3,0,1,3,5,6};
int b[]={-2,0,1,4,5,6};
int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]);
int i=Search(a,n);
printf(" 检索得到的结果是：\n");
if(i!=-1)
{
printf(“存在a[%d]=%d\n”,i,i);
}
else
{
printf(“不存在 a[%d]=%d\n”,i,i);
}
}
1-4.
public class YinShu
{
int solve(int n)
{
if(n
else
{
int sum=0;
for(int i=2;i<=n;i++)
if(n%i==0)
{
sum=sum+solve(n/i);
}
return sum;
}
}
}
import java.util.Scanner;
import java.util.*;
public class Test
{
public static void main(String args[])
{
System.out.printf(“请输入你要求解的数：”);
Scanner sc=new Scanner(System.in);
YinShu ys=new YinShu();
int n=sc.nextInt();
int result=ys.solve(n);
System.out.println(“结果是：”+result);
}
}
1-5
#include
int elem[100];//记录众数
int solve(int a[],int n)
{
int i;
int j=-1;//j表示众数的个数
int count=1;//记录最大重数
int count1=1; //记录每个元素的重数值
for(i=0;i
while(a[i]a[i+1])//当遇到相同元素时，开始计算这个数值的重数
{
count1++;//找到相同元素，该元素的重数加1
i++;
}//直到同一个数值的重数计算完毕，退出循环
if(count1>count)
{
count=count1;
j=1;
elem[j]=a[i];
}
else if(count1count)
{
j++;
elem[j]=a[i];
}
count1=1;//将count1重置，记录下一个元素的重数
i++;
}
return j;
}
int main()
{
int arr[]={1,2,2,2,2,4,5,6,6};
int num=solve(arr,9);
int s=sizeof(arr)/sizeof(int);
for(int i=0;i<=s;i++)
{
printf("众数为:%d ",elem[i]);
}
return 0;
}
1-6
#include
int solve(int a[],int n)
{
int count=0;
for(int i=0;i
for(int j=i+1;j
if(a[i]>a[j])
{
count++;
}
}
}
return count;
}
int main()
{
int arr[]={3,4,2,5,6,7,1};
int s=sizeof(arr)/sizeof(int);
printf("此序列中存在的逆序数是：%d",solve(arr,s));
return 0;
}
1-7.
#include
using namespace std;
int a[1000];
int comp(int n);
int main()
{
int n;
cin>>n;
cout<
}
int comp(int n)
{
int ans = 1;
//说明已在之前求解过
if (a[n] > 0)
{
return a[n];
}
for (int i = 1; i <= n/2; i++)
{
ans += comp(i);
}
//存储结果
a[n] = ans;
return ans;
}
1-8.
#include
void disp(int a[],int n) //输出a中的所有元素
{
int i;
for(i=0;i
printf("%d “,a[i]);
}
printf(”\n");
}
int solve(int a[],int s,int t)//划分算法
{
int i=s;
int j=t;
int tmp=a[s];//用序列的第1个记录作为基准
while(i!=j)//从序列两端交替向中间扫描，直到i=i为止
{
while(i
{
j–;//j向左移动，直到找到a[j]
a[i]=a[j];//将a[j]放到a[i]的位置
while(i
i++;//从左向右扫描，找到第一个大于tmp的值
}
a[j]=a[i];//将此数放到a[i]位置，它本身的位置挖坑
}
a[i]=tmp;
return i;
}
void QuickSort(int a[],int s,int t)
{
if(s
int i=solve(a,s,t);
QuickSort(a,s,i-1);//对左子序进行递归排序
QuickSort(a,i+1,t);//对右子序递归排序
}
}
int main()
{
int n=7;
int a[]={2,5,1,7,10,6,9};
printf(“排序前：”);
disp(a,n);
QuickSort(a,0,n-1);
printf(“排序后：”);
disp(a,n);
return 0;
}
1-9.
#include
#include
#include
using namespace std;
void solve(int a[],int low,int high,int &max1,int &max2)
{
if(lowhigh)//区间只有一个元素
{
max1=a[low];
max2=INT_MIN;
}
else if(lowhigh-1)//区间只有两个元素
{
max1=max(a[low],a[high]);
max2=min(a[low],a[high]);
}
else//区间有两个以上元素
{
int mid=(low+high)/2;
int lmax1,lmax2;
solve(a,low,mid,lmax1,lmax2);//左区间求1max1和1max2
int rmax1,rmax2;
solve(a,mid+1,high,rmax1,rmax2);//右区间求rmax1和rmax2
if(lmax1>rmax1)
{
max1=lmax1;
max2=max(lmax2,rmax1);
}
else
{
max1=rmax1;
max2=max(lmax1,rmax2);
}
}
}
int main()
{
int a[]={7,3,9,2,4,6};
int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]);
int max01,max02;
solve(a,0,n,max01,max02);
printf(“最大值是：%d,次大值是：%d\n”,max01,max02);
return 0;
}
1-10
#include
int solve(int a[],int low,int high,int k)
{
int mid;
if(low<=high)
{
mid=(low+high)/2;
if(a[mid]==k)
{
return mid;
}
else if(a[mid]>k)
{
return solve(a,low,mid,k);
}
else
{
return solve(a,mid+1,high,k);
}
}
else return -1;
}
int main()
{
int n=10;
int i;
int k=6;
int a[]={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};
i=solve(a,0,n-1,k);
if(i>=0)
{
printf(“a[%d]=%d\n”,i,k);
}
else
{
printf(“未找到%d元素\n”,k);
}
return 0;
}
项目 比例 成绩
学习态度 10% 积极 一般 较差
算法设计及结果 50% 功能正确 功能基本正确 错误
内容完整性 20% 完整 基本完整 不完整
报告规范性 20% 规范 基本规范 不符合要求
成绩