σ-代数、可测集、测度、可测空间、概率空间、随机变量、概率分布函数

σ-代数、可测集和可测空间

是样本空间，是样本空间的幂集的非空子集，如果满足下列条件：

1. 
2. 若，则
3. 若，则

则称是上的σ-代数，中的元素（一个集合）是可测集，并称是一个可测空间。

解释

• 是一个集合，其中的每个成员都是集合，即是集合的集合。
• 若是σ-代数，则中的每个集合都是可测集。

测度和测度空间

在是一个可测空间的基础上，令且满足：

1. （非负性）对任意的，有；
2. （规范性）；
3. （可列可加性）对任意的两两不相交的集合，有；

则称为可测空间上的测度（measure），且称为测度空间（measure space)。

解释

• 在可测空间的基础上，引入一个函数，并要求满足三个条件：非负性、规范性、可列可加性，最终得到了测度空间。

概率空间

特别地，当的时候，称为概率测度，记为，并称为概率测度空间，简称概率空间（probability space）。此时，称中的可测集为事件。如果中只有一个元素，称其为基本事件；如果中包含多个元素，称其为复合事件。的测度成为事件A发生的概率。

解释

• 概率空间是测度空间的一个特例，除此之外，还有距离空间、拓扑空间、序空间、代数空间等，这些空间都是基于测度空间引入的。

随机变量

为概率测度空间，对于任意实数x，都有 {w∈Ω: X(ω)≤x} ∈F，则称X(w)为随机变量，其中w是基本事件。

解释

• 随机变量是一个函数，将一个基本事件（集合中只有一个元素）映射到实轴上的一个点——实数，本质上是一种数量化的过程。
• 中的概率P不会随着可测空间的映射()而发生改变，因此，随机变量的概率仍是P。
• 由于随机变量处理的对象是基本事件，对于复合事件的处理，需要引入另一个概念——概率分布函数。

讲解基本知识的PPT

概率分布函数

对于离散概率分布函数，随机变量的取值为，其中是样本空间中的元素——基本事件，可以简写为，随机变量的取值为，并且概率分别为，则定义分布函数为。

解释

• 可以看出，概率分布函数将所有的基本事件集中起来，可以描述复合事件的概率，最大值是1——必然事件。