矩阵A可逆的和相似的一些性质

A是方阵
如果有一个矩阵

A=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜a11a21⋮an1a12a22⋮an2……⋱…a1na2n⋮ann⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟=(α1,α2,…,αn)=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜βT1βT2⋮βTn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟ A = ( a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n ) = ( α 1 , α 2 , … , α n ) = ( β 1 T β 2 T ⋮ β n T )

A∼B=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⇒(1)|λE−A|=|λE−B|,⇒(2)r(A)=r(B),⇒(3)A和B有相同的特征值,⇒(4)|A|=|B|=∏ni=1λi,⇒(5)∑ni=1aii=∑ni=1bii=∑ni=1λi A ∼ B = { ⇒ ( 1 ) | λ E − A | = | λ E − B | , ⇒ ( 2 ) r ( A ) = r ( B ) , ⇒ ( 3 ) A 和 B 有 相 同 的 特 征 值 , ⇒ ( 4 ) | A | = | B | = ∏ i = 1 n λ i , ⇒ ( 5 ) ∑ i = 1 n a i i = ∑ i = 1 n b i i = ∑ i = 1 n λ i

可逆

以下条件等价
⇔|A|≠0 ⇔ | A | ≠ 0
⇔A ⇔ A 是非奇异矩阵
⇔A ⇔ A 的特征值 λ1,λ2,…,λn λ 1 , λ 2 , … , λ n 都不为 0 0
⇔r(A)=n ⇔ r ( A ) = n
⇔A ⇔ A 可表示成初等矩阵的乘积 →A=E1E2⋯Er → A = E 1 E 2 ⋯ E r
⇔A ⇔ A 等价于 n n 阶单位矩阵 →A∼E → A ∼ E
⇔A ⇔ A 的列(行)向量组线性无关
⇔ ⇔ 齐次线性方程组 AX=0 A X = 0 仅有零解
⇔ ⇔ 非齐次线性方程组 AX=b A X = b 有唯一解
⇔ ⇔ 任一n维向量可由 A A 的列(或行)向量组线性表示