数学基础 -- 线性代数之格拉姆-施密特正交化
格拉姆-施密特正交化
格拉姆-施密特正交化（Gram-Schmidt Orthogonalization）是一种将一组线性无关的向量转换为一组两两正交向量的算法。通过该过程，我们能够从原始向量组中构造正交基，并且可以选择归一化使得向量组成为标准正交基。
算法步骤
假设我们有一组线性无关的向量 { v 1 , v 2 , … , v n } \{v_1, v_2, \dots, v_n\} {v1,v2,…,vn}，其目标是将这些向量正交化，得到一组两两正交的向量 { u 1 , u 2 , … , u n } \{u_1, u_2, \dots, u_n\} {u1,u2,…,un}。
步骤 1：初始化第一个向量
第一个正交向量 u 1 u_1 u1 直接取为 v 1 v_1 v1：
u 1 = v 1 u_1 = v_1 u1=v1
步骤 2：递归构造正交向量
对于每个 k ≥ 2 k \geq 2 k≥2 的向量 v k v_k vk，我们通过从 v k v_k vk 中去除它在前面所有正交向量上的投影，来构造与前面向量正交的向量 u k u_k uk。
-
计算投影： v k v_k vk 在之前所有正交向量 u 1 , u 2 , … , u k − 1 u_1, u_2, \dots, u_{k-1} u1,u2,…,uk−1 上的投影为：
Proj u i ( v k ) = ⟨ v k , u i ⟩ ⟨ u i , u i ⟩ u i \text{Proj}_{u_i}(v_k) = \frac{\langle v_k, u_i \rangle}{\langle u_i, u_i \rangle} u_i Projui(vk)=⟨ui,ui⟩⟨vk,ui⟩ui
其中 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ \langle \cdot, \cdot \rangle ⟨⋅,⋅⟩ 表示内积。 -
去投影：从 v k v_k vk 中减去它在所有 u 1 , u 2 , … , u k − 1 u_1, u_2, \dots, u_{k-1} u1,u2,…,uk−1 上的投影，得到与之前向量正交的新向量 u k u_k uk：
u k = v k − ∑ i = 1 k − 1 Proj u i ( v k ) u_k = v_k - \sum_{i=1}^{k-1} \text{Proj}_{u_i}(v_k) uk=vk−i=1∑k−1Projui(vk) -
归一化（可选）：如果需要正交归一基，可以将 u k u_k uk 归一化：
u k = u k ∥ u k ∥ u_k = \frac{u_k}{\|u_k\|} uk=∥uk∥uk
通过递归执行这些步骤，最终得到一组正交（或正交归一）的向量 u 1 , u 2 , … , u n u_1, u_2, \dots, u_n u1,u2,…,un。
使用案例
我们来看一个二维空间中的具体例子。
给定两个向量：
v 1 = ( 1 1 ) , v 2 = ( 1 0 ) v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} v1=(11),v2=(10)
步骤 1：初始化第一个正交向量
第一个正交向量 u 1 u_1 u1 为 v 1 v_1 v1：
u 1 = v 1 = ( 1 1 ) u_1 = v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} u1=v1=(11)
归一化后：
u 1 = 1 2 ( 1 1 ) u_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} u1=21(11)
步骤 2：构造第二个正交向量
第二个向量 v 2 v_2 v2 需要去掉它在 u 1 u_1 u1 上的投影：
-
计算投影：
Proj u 1 ( v 2 ) = ⟨ v 2 , u 1 ⟩ ⟨ u 1 , u 1 ⟩ u 1 = 1 2 ( 1 1 ) \text{Proj}_{u_1}(v_2) = \frac{\langle v_2, u_1 \rangle}{\langle u_1, u_1 \rangle} u_1 = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} Proju1(v2)=⟨u1,u1⟩⟨v2,u1⟩u1=21(11) -
去投影：
u 2 = v 2 − Proj u 1 ( v 2 ) = ( 1 0 ) − 1 2 ( 1 1 ) = ( 1 2 − 1 2 ) u_2 = v_2 - \text{Proj}_{u_1}(v_2) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \end{pmatrix} u2=v2−Proju1(v2)=(10)−21(11)=(21−21) -
归一化：
u 2 = u 2 ∥ u 2 ∥ = 1 2 ( 1 − 1 ) u_2 = \frac{u_2}{\|u_2\|} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} u2=∥u2∥u2=21(1−1)
因此，经过正交化后的正交向量组为：
u 1 = 1 2 ( 1 1 ) , u 2 = 1 2 ( 1 − 1 ) u_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad u_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} u1=21(11),u2=21(1−1)
应用
格拉姆-施密特正交化广泛应用于以下场景：
- 正交基构造：将线性无关的向量转换为正交向量，便于简化计算。
- QR分解：将矩阵分解为正交矩阵和上三角矩阵。
- 数值计算：在解决最小二乘问题时，正交化可提高数值稳定性。