遗传算法（四）——交叉、变异与替换

交叉（Crossover）

在上一篇文章所描述的选择过后，我们在一个population中选出了一部分可以用作交配的父母个体，而染色体交叉操作，就是指我们在这些父母个体中，选择两个进行相互交配，将他们的染色体按照某种方式相互交换部分基因，形成两个新的个体的过程。

实际上交叉操作还分为无性、有性、多亲重组三种：

• 无性：子代由一个父个体产生
• 有性：子代由两个父个体产生一个/两个子个体
• 多亲重组：多余两个父个体产生一个/多个子个体

适用于二进制编码的交叉算子：

1. 单点交叉（One-point Crossover）：指在个体编码串中只随机设置一个交叉点，将染色体分成两部分，子代染色体的左右两侧分别来自于父母染色体。
   
2. 两点交叉/多点交叉（Two-point/Multi-point Crossover）：在个体编码串中随机设置了两个/多个交叉点，然后再以间隔交换的方式进行部分基因交换。
   
3. 均匀交叉（也称一致交叉，Uniform Crossover）：两个配对个体的每个基因座上的基因都以相同的交叉概率进行交换，从而形成两个新个体。

适用于浮点数/实数编码的交叉算子：

1. 离散重组：子个体的每一个变量按照等概率随机地挑选父母个体的变量值，组成新的子个体。
   
2. 中间重组：
   $$Va{r}_{son}=Va{r}_{father1}+\alpha \times （Va{r}_{father2}-Va{r}_{father1}）$$,其中$\alpha$是比例因子，由[-d,1+d]上均匀分布地随机数产生。d=0时，为中间充足，一般d=0.25。重组时，先为每一个子代的每一个变量产生一个$\alpha$。
   
   
3. 线性重组：其实就是中间重组的一个特殊情况，对于同一个子代，它的每一个变量的比例因子$\alpha$都是固定的。
   

模拟二进制交叉SBX（Simulated Binary Crossover）
SBX方法的主要思想是在使用浮点数编码/实数编码时，可以模拟二进制编码的交叉操作：

原论文：
Agrawal R B , Deb K , Agrawal R B . Simulated Binary Crossover for Continuous Search Space[J]. Complex Systems, 2000, 9(3):115-148.

混合交叉算子BLX（the Blend Crossover operator）

原论文：
Eshelman L J, Schaffer J D. Real-coded genetic algorithms and interval-schemata[M]//Foundations of genetic algorithms. Elsevier, 1993, 2: 187-202.

关于交叉操作有些优秀的博文推荐阅读：
遗传算法中几种交叉算子小结
Simulated Binary Crossover（SBX）的学习
SBX(Simulated binary crossover)模拟二进制交叉算子和DE(differential evolution)差分进化算子
百度文库-遗传算法

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变异（Mutation）

在交叉操作过后形成的新个体，有一定的概率会发生基因变异，与选择操作一样，这个操作是基于概率的，这个概率成为变异概率$p_m$。一般来说变异概率设置得很小，一般$p_m\le 0.05$。

适用于二进制编码和实数编码的变异算子：
最简单的做法就是：对交叉后代集中每个后代的每一位，产生一个随机数$r\subset [0,1]$，若$r\le p_m$则将该位取反，否者该位不变。

1. 基本位变异（Simple Mutation）：对个体编码串中以变异概率、随机指定的某一位或某几位仅因座上的值做变异运算。
2. 均匀变异（Uniform Mutation）：分别用符合某一范围内均匀分布的随机数，以某一较小的概率来替换个体编码串中各个基因座上的原有基因值。（特别适用于在算法的初级运行阶段）
3. 边界变异（Boundary Mutation）：随机的取基因座上的两个对应边界基因值之一去替代原有基因值。特别适用于最优点位于或接近于可行解的边界时的一类问题。
4. 非均匀变异：对原有的基因值做一随机扰动，以扰动后的结果作为变异后的新基因值。对每个基因座都以相同的概率进行变异运算之后，相当于整个解向量在解空间中作了一次轻微的变动。
5. 高斯近似变异：进行变异操作时用符号均值为Ｐ的平均值，方差为P**2的正态分布的一个随机数来替换原有的基因值。

另外：
如果变异概率很大，那么整个搜索过程就退化为一个随机搜索过程。所以，比较稳妥的做法是，进化过程刚刚开始的时候，取p为一个比较大的概率，随着搜索过程的进行，p逐渐缩小到0附近。

关于变异操作有些优秀的博文推荐阅读：
遗传算法系列 （4） 变异算法
【建模必备】遗传算法的基本原理与步骤（变异）
百度文库-遗传算法

替换策略

除了父子个体的选择、重组、变异之外，还需要考虑的是替换策略——生成的新个体如何取代旧的个体。
有如下几种：

• 如果生成一个子个体，可以用来替换掉最差的父个体。这个替换规则可以（或必须）基于子个体的适应度优于父个体。
• 玻尔兹曼（Boltzmann）选择可以用来确定子个体是否替换父个体。
• 新的子个体替换掉种群中的劣势个体。