堆的基本操作

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• 堆的基本概念：

严格来讲，堆有不同的种类，但是我们在算法学习中，主要用的还是二叉堆，而二叉堆有最大堆和最小堆之分。

最大（最小）堆是一棵每一个节点的键值都不小于（大于）其孩子（如果存在）的键值的树。大顶堆是一棵完全二叉树，同时也是一棵最大树。
小顶堆是一棵完全完全二叉树，同时也是一棵最小树。

需要注意的问题是：堆中的任一子树也还是堆，即大顶堆的子树也都是大顶堆，小顶堆同样。

image.png

• 堆的一些基本性质

由于堆是一棵完全二叉树，可以得出堆的如下性质：

（1）堆的插入和删除操作，运行时间为 O(logn)，n 为树上结点的个数

简单证明：

假设该二叉树总共有x层，那么很明显当该二叉树为满二叉树的时候，插入和删除耗费的时间是最长的，那么则有：

2^x - 1 = n；

在最坏的情况下，我们插入一个元素的时候，是从第一层遍历到第n层（反之也一样），那么我们最多要进行的操作次数即为树的深度，而树的深度x = log(2)(n+1)(表示以2为底，以n+1为真数的对数)，忽略常数，那么我们就求得插入时的最坏时间复杂度则为O(logn)级别。

删除与插入同理，删除时需要注意的问题就是，删除一个元素之后，需要重新调整堆的结构，使其成为新的堆。

（2）堆可以看成是一棵完全二叉树，除最后一层其余每层结点都是满的。

• 堆的插入和删除（最小堆为例）

  
  
  

  image.png

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• 插入操作

如上图所示，是一个大根堆的插入演示，插入的数据元素为80，一开始的时候，我们将待插入的数据元素接至堆的末尾，然后再不断向上提升直至没有大小颠倒为止。

分析
1.一开始的时候，元素80和其父亲节点比较，发现其大于父亲节点，因此要上溢，将元素80与其父亲节点进行交换
2.交换后再重复上述过程，发现元素80仍然比其父亲节点大，继续上溢，将元素80与其父亲节点进行交换
3.然后再将其与父亲节点比较，发现此时小于其父亲节点的值，说明此时堆中不再存在大小颠倒了，那么此时元素80找到了它在堆中的位置，插入操作结束

不使用指针来表示二叉树，而是用数组存储（因为在这里的堆是完全二叉树的原因，因此用数组实现更简单，而且不存在大量的空间浪费），所以呢，对于每个节点，如果其有左孩子和右孩子的话，那么：

（1）左孩子节点的编号是其自身节点编号 * 2 + 1；

（2）右孩子节点的编号是其自身节点编号 * 2 + 2；（编号是指其用数组中存储时的下标）

//往堆中插入元素,数组下标从0开始  
  
void push(int value){   //value表示插入堆的值  
    Heap[size] = value;    //一开始元素接在堆的最后面  
    int current = size;      //表示当前遍历到的节点  
    int father = (current-1) / 2;    //表示当前遍历到的堆中元素父亲节点的下标  
    while(current > 0 && Heap[current] < Heap[father]){  
        swap(Heap[current],Heap[father]);       //表示此时节点"上溢",当前节点与其父节点对换.  
        current = father;  
        father = (current-1) / 2;     //继续向上遍历  
    }  
    ++size;  
}

*删除操作

//堆顶元素自然是数组 data 存储的第 0 位元素。

//获取堆顶元素  
int top(){  
    return Heap[0];  
}  

删除堆顶元素思路：将堆顶元素和堆的最后一个元素进行交换，然后对堆顶元素做一个自上而下的堆调整，也就是下滤操作。

/**删除栈顶元素 
  *删除栈顶元素时,不可直接将size的值减一后就结束,这样的话会破坏整个 
  *二叉堆的结构,因此我们在删除堆顶元素之后还要调整堆的结构,使其成为新的堆 
  *并且有新的堆顶元素 
  */  
void pop(){  
    Heap[0] = Heap[--size];     /*首先将最后一个元素替换堆顶元素,这样的话堆顶元素则被删除 
                                 *然后再是size减一表示堆中元素数目减一 
                                 */  
    int current = 0;            //当前遍历到的节点的下标  
    int lchild = current*2 + 1,rchild = current*2 + 2;  //当前遍历到的节点的左孩子和右孩子节点的下标  
    while(lchild < size && min(Heap[lchild],Heap[rchild]) < Heap[current]){  
        if(Heap[lchild] < Heap[rchild]){  
            swap(Heap[lchild],Heap[current]);  
            current = lchild;       //"下溢"的过程  
        }  
        else{  
            swap(Heap[rchild],Heap[current]);  
            current = rchild;  
        }  
        lchild = current*2 + 1;  
        rchild = current*2 + 2;  
    }  
  
}  

(需要特别注意的问题是，这种情况对于删除堆顶元素适用，但是要删除堆中的其他元素，下溢法会出错)

参考：堆的概念及基本操作实现