数的全排列（递归）

数的全排列

• 什么是数的全排列，这是一个数学问题，就是从n个数字中选择n个数字按照一定的顺序排列起来
• 如：123的全排列是123、132、213、231、312、321
  1234的全排列是1234、1243、1324、1342、1423、1432、2134、2143、2314、2341、2413、2431、3124、3142、3214、3241、3412、3421、4123、4132、4213、4231、4312、4321

1.已知数的个数

• 首先求123的全排列，三重嵌套循环就可以搞定，代码如下：

for(a=1;a<=3;a++)
  for(b=1;b<=3;b++) 
    for(c=1;c<=3;c++)  
      if(a!b&&a!=c&&b!=c)
        printf("%d%d%d",a,b,c);

2.不知数的个数

• 例如：输入3时输出123的全排列，输入4时输出1234的全排列
• 此算法的核心思想就是递归下图来用1234来演示一下
  
• 如上图给每一次的交换都标上序号
• 我们知道对于n个数的全排列的个数为n！我们可以这样想
  对于第一位我们做四次交换，对于它的每一次交换，后面三位再进行全排列，同样，对于第二位我们可以做三次交换，对于它的每一次交换，后面两位再进行全排，以此类推，就得到4x3x3x1即为全排列的个数
  我们可以考虑用递归实现

步骤如下

1.做编号为1的交换（即1和自己交换），然后做编号为5的交换，再做编号为8的交换，最后就打印输出
2.第一次打印输出后，返回函数上一层，做编号为9的交换，再到最后一位打印输出
3.运行完返回函数上一层，我们已经将12打头的所有可能都输出了1234、1243然后我们再返回上一层做编号为6的交换（然后我们重复1、2的步骤），这时候将输出13打头的所有可能
4.这样递归再返回再递归再返回，用循环语句控制第一位变化最慢，最后一位变化最快的全排列输出

代码如下：

#include
//交换 
void swap(int &a,int &b)
{
 int temp;
 temp=a;
 a=b;
 b=temp;
}
//全排列递归算法 
void perm(int list[],int k,int m)
{
 //list 数组存放排列的数，k表示层，代表第几个数，m表示数组的长度
 int i;
 if(k==m)
 {
  //k=m表示到达最后一个数，不能再交换，最终的排列数需要输出
  for(i=0;i<m;i++){
   printf("%d",list[i]);
  }
  printf("\n");
 }
 else{
  for(i=k;i<m;i++){
   swap(list[i],list[k]);//枚举该层子序列第一个位置可以取的值 
   perm(list,k+1,m);//该层递归的子序列第一个位置已经确定了，所以又可以往下再分 
   swap(list[i],list[k]);//把第该层子序列第一个位置的值换成另外一个值，所以要交换回来 
  }
 }
}
int main(){
 int i,n,a[100];
 scanf("%d",&n);
 for(i=0;i<n;i++)
  scanf("%d",&a[i]);
 perm(a,0,n);
 return 0;
} 

盒子思想

• 即把使用过的数字当成放在盒子里
• 代码如下：

#include
int a[10],book[10],n;//此处说明：c语言的全局变量在没有赋值以前默认为0
                     //book数组不用再次赋初值为0 
void rank(int step){
 int i;
 if(step==n+1)//如果站在第n+1的盒子面前，则证明前n个数已排好 
 {
  //输出数字 
  for(i=1;i<=n;i++)
   printf("%d",a[i]);
  printf("\n");
  
  return;//返回之前的一步（最近一次调用rank函数的地方） 
 }
  
 //没走完时则按照1，2，3...n的顺序依次尝试 
 for(i=1;i<=n;i++){
  //判断数字是否用过 
  if(book[i]==0)//book[i]=0表示数未用过 
  {
   a[step]=i;//将数字i放到第step个盒子中 
   book[i]=1;//将book[i]设为1，表示数字i已使用 
   //走到下一个盒子面前，递归 
   rank(step+1);
   book[i]=0;//将刚才的数字标记为0，表示在这一轮数字没有使用过 
  }
 }
 return;
}
int main(){
 scanf("%d",&n);//输入数字只能是1-9，如果要更大则要改变全局变量 
 rank(1);//首先站在1号盒子面前 
 return 0;
}