数的全排列(递归)

数的全排列

  • 什么是数的全排列,这是一个数学问题,就是从n个数字中选择n个数字按照一定的顺序排列起来
  • 如:123的全排列是123、132、213、231、312、321
    1234的全排列是1234、1243、1324、1342、1423、1432、2134、2143、2314、2341、2413、2431、3124、3142、3214、3241、3412、3421、4123、4132、4213、4231、4312、4321

1.已知数的个数

  • 首先求123的全排列,三重嵌套循环就可以搞定,代码如下:
for(a=1;a<=3;a++)
  for(b=1;b<=3;b++) 
    for(c=1;c<=3;c++)  
      if(a!b&&a!=c&&b!=c)
        printf("%d%d%d",a,b,c);

2.不知数的个数

  • 例如:输入3时输出123的全排列,输入4时输出1234的全排列
  • 此算法的核心思想就是递归下图来用1234来演示一下
    数的全排列(递归)_第1张图片
  • 如上图给每一次的交换都标上序号
  • 我们知道对于n个数的全排列的个数为n!我们可以这样想
    对于第一位我们做四次交换,对于它的每一次交换,后面三位再进行全排列,同样,对于第二位我们可以做三次交换,对于它的每一次交换,后面两位再进行全排,以此类推,就得到4x3x3x1即为全排列的个数
    我们可以考虑用递归实现

步骤如下

1.做编号为1的交换(即1和自己交换),然后做编号为5的交换,再做编号为8的交换,最后就打印输出
2.第一次打印输出后,返回函数上一层,做编号为9的交换,再到最后一位打印输出
3.运行完返回函数上一层,我们已经将12打头的所有可能都输出了1234、1243然后我们再返回上一层做编号为6的交换(然后我们重复1、2的步骤),这时候将输出13打头的所有可能
4.这样递归再返回再递归再返回,用循环语句控制第一位变化最慢,最后一位变化最快的全排列输出

代码如下:

#include
//交换 
void swap(int &a,int &b)
{
 int temp;
 temp=a;
 a=b;
 b=temp;
}
//全排列递归算法 
void perm(int list[],int k,int m)
{
 //list 数组存放排列的数,k表示层,代表第几个数,m表示数组的长度
 int i;
 if(k==m)
 {
  //k=m表示到达最后一个数,不能再交换,最终的排列数需要输出
  for(i=0;i<m;i++){
   printf("%d",list[i]);
  }
  printf("\n");
 }
 else{
  for(i=k;i<m;i++){
   swap(list[i],list[k]);//枚举该层子序列第一个位置可以取的值 
   perm(list,k+1,m);//该层递归的子序列第一个位置已经确定了,所以又可以往下再分 
   swap(list[i],list[k]);//把第该层子序列第一个位置的值换成另外一个值,所以要交换回来 
  }
 }
}
int main(){
 int i,n,a[100];
 scanf("%d",&n);
 for(i=0;i<n;i++)
  scanf("%d",&a[i]);
 perm(a,0,n);
 return 0;
} 

盒子思想

  • 即把使用过的数字当成放在盒子里
  • 代码如下:
#include
int a[10],book[10],n;//此处说明:c语言的全局变量在没有赋值以前默认为0
                     //book数组不用再次赋初值为0 
void rank(int step){
 int i;
 if(step==n+1)//如果站在第n+1的盒子面前,则证明前n个数已排好 
 {
  //输出数字 
  for(i=1;i<=n;i++)
   printf("%d",a[i]);
  printf("\n");
  
  return;//返回之前的一步(最近一次调用rank函数的地方) 
 }
  
 //没走完时则按照1,2,3...n的顺序依次尝试 
 for(i=1;i<=n;i++){
  //判断数字是否用过 
  if(book[i]==0)//book[i]=0表示数未用过 
  {
   a[step]=i;//将数字i放到第step个盒子中 
   book[i]=1;//将book[i]设为1,表示数字i已使用 
   //走到下一个盒子面前,递归 
   rank(step+1);
   book[i]=0;//将刚才的数字标记为0,表示在这一轮数字没有使用过 
  }
 }
 return;
}
int main(){
 scanf("%d",&n);//输入数字只能是1-9,如果要更大则要改变全局变量 
 rank(1);//首先站在1号盒子面前 
 return 0;
} 

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