Part 7 曲线积分

第一型曲线积分

第一型曲线的应用背景

弧长

加权曲线

\(\mathrm I\) 型曲线积分定义

分割，取近似，作和，取极限。
极限存在，与分割法无关

空间曲线弧长；加权（线密度）的平面（权连续的）曲线。
总结成一般的点函数形式\(\int_{\Gamma_{AB}}f(p)\,\mathrm ds=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum\limits_{i=1}^nf(p_i)\Delta s_i\)

再说意义

弧长

\(\sum\limits_{k=0}^n|M_{k-1}-M_k|\)的上确界
分段光滑曲线（可分为有限段光滑曲线）是可求长的。
(可积性)

加权曲线

物质曲线的质量 空间柱面（将质量的值在新一维展开）

性质

连续函数：在某个包含L的区域上连续

• 可积性：若\(f\)是曲线L上的连续函数，则可积
• 线性性质
• 区间可加性
• 保序性
• 绝对值不等式
• 积分中值定理

分类

平面

这个是定积分的自然延伸。

空间

计算

利用弧微分可以化为一次积分：

liu:

• 空间柱面的面积（以直代曲）
• 物质曲线的质量（以点代线）
• 曲线弧长（分段光滑可求长）
• 第一型曲线积分的定义
• 计算：平面（直角极参方）、空间（补充等距映射）
• 几个计算性质（对称性、轮换）

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以下类似地我们可以给出：

第一型曲面积分

有界分片（有限个数的间断点）曲面块上光滑。

计算

由于是等式关系，可以解出第三个元素，化成二重积分

第二型曲线积分

引入：变力沿平面曲线做功。
也可以用一型曲线积分表示
定义（轻概念理论？）

性质

• 有向性：类似做功（补充闭路积分的记号）
• 线性性质
• 基向独立性：（投影）由平面曲线推广到空间曲线的基础

说明

• 上下限对应起终点，不考虑大小关系
• 一型曲线积分还要计算弧微分带来的导弦。由于基向独立，直接利用链式法则代入计算（证明利用积分中值定理），只需解决一元定积分。（本质都是代入求解，别想多了）
• 计算的一般方法：
  • 1. （直接法）分段，化成参方，求导整理得解；分方向化成一型曲线积分
  • 2. 格林公式（不管是直接格林还是补线都是很好用的）
• 方法的寻找思路：
  • 是否封闭 ? 格林 : (是否与路径无关?改换路径、原函数 : 直接、补线格林)

二型曲线积分的对称性

"功"的对称性：时常发生力反方向不反或者方向反力不反从而抵消。

两类曲线积分的关系

\(\overrightharpoon{F}\cdot(\Delta x_i, \Delta y_i, \Delta z_i)\sim \overrightharpoon{F}(x'(t_i), y'(t_i), z'(t_i))\Delta {\bf s}_i=(P, Q, R)\cdot (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)\cdot\,\mathrm ds=(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\sqrt{x'(t_i)^2+y'(t_i)^2+z'(t_i)^2}\Delta t_i\)，其中\(s_i\)是有向线段。

格林公式

区域和边界

单连通和多连通

看边界由几条曲线构成

边界的定向

规定：路径在左边的走法是正向

半证明

运用Newton-Leibniz

\[\iint\limits_{D}\frac{\partial P}{\partial y}\,\mathrm dx\,\mathrm dy=\int_a^b\mathrm dx\int_{y_1}^{y_2}\frac{\partial P}{\partial y}\,\mathrm dy=\int_a^b[P(x, y_2(x))-P(x, y_1(x))]\,\mathrm dx \]

对区域边界的重积分进行线性加和

\[\oint_{L^+}P\,\mathrm dx=\int_a^bP(x, y_1(x))\,\mathrm dx+\int_b^aP(x,y_2(x))\,\mathrm dx=-\int_a^b[P(x, y_2(x))-P(x, y_1(x))]\,\mathrm dx \]

对比即得。

为什么\(\frac{\partial P}{\partial y}\)带符号？因为P是x的对应系数。而x增大的一条边的y值较小。想要y由小到大，必须这么干。

格林公式还给我们指出了提出\(\mathrm dy， \mathrm dx\)后的符号变化原则，即提\(x\)不变号，提\(y\)取负号。

例

\[\frac{x\,\mathrm dy-y\,\mathrm dx}{x^2+y^2}=\mathrm d\arctan \Big(\frac{y}{x}\Big)=\mathrm d\theta \]

经由这个式子的分子我们本可以求算封闭曲线围成的面积，这个式子。但在这个封闭曲线中不包括(0, 0)这个极点（恰巧也是我们这个函数的奇点）的话，由极坐标的观点，我们不难看出，在转一圈的过程当中，两次扫过这个封闭曲线围成的面积。一次极轴长对应正，一次对应负。两相抵消。
这个结论我们也可以通过格林公式进行验证。

\[\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} \]

即

\[\frac{\partial Q}{\partial y}-\frac{\partial P}{\partial x}=0 \]

若包含了原点的话，绕一圈可以得到\(2\pi\)

关于求面积，只是构造出归一化结构而已。\(y\,\mathrm dy-y\,\mathrm dx\)

格林公式的切向矢量\((\cos\alpha, \cos\beta)\)作变化

\[(\cos\alpha+i\cos\beta)\cdot (-i)=(\cos\beta-i\cos\alpha) \]

得到法向矢量\((\cos\beta, -\cos\alpha)\)，再做类似的数学推导得到散度公式。

\[\oint_{L}\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{n}\,\mathrm ds=\iint_D\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\right) \,\mathrm d\sigma\]

由此我们利用方向导数的知识，对\(u(x,y)\in C^2(D)\)有

\[\frac{\partial u}{\partial \overrightarrow{n}}=\left(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y}\right)\cdot\overrightarrow{n} \]

还可以得到

\[\oint_L \frac{\partial u}{\partial \overrightarrow{n}}\,\mathrm ds=\iint_D\Delta u\,\mathrm d\sigma \]

其中的一步变化是利用散度的格林公式，对两维均取偏导且为正，\(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=\Delta u\)

平面第二型曲线积分与路径无关的条件

定理

• （保守向量场）任意闭环积分为零
• （可凑微分）
• （两微分相等）要保证单连通（确保圈出的区域均满足两微分相等）

推导

2. 必要性：由于与积分路径无关，我们构造只关心起终点的辅助函数
   \[u(x,y)=\int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}P\,\mathrm dx+Q\,\mathrm dy \]

\[u(x_1+\Delta x, y_1)-u(x_1, y_1)\\=\int_{(x_1,y_1)}^{(x_1+\Delta x,y)}P\,\mathrm dx+Q\,\mathrm dy=\int_{x_1}^{x_1+\Delta x}P(x,y_1)\,\mathrm dx \]

从而我们得到

\[\frac{\partial u}{\partial x}=P \]

同理可得\(\partial y\)，随后发现可凑微分
充分性：先已知可凑微分。
对于

\[\int_{\widehat{AB}}P\,\mathrm dx+Q\,\mathrm dy=\int_\alpha^\beta\Big(P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t), y(t)y'(t)\Big)\,\mathrm dt\\=\int_\alpha^\beta\left(\frac{\partial u}{\partial x}x'(t)+\frac{\partial u}{\partial y}y'(t)\right)\,\mathrm dt=u(x(t), y(t))\Big|_\alpha^\beta=u(B)-u(A) \]

应用

求原函数

先说明无关，然后用
偏积分，凑微分

some points

几道例题

（ljm例1）

• 圆弧所得结果常有\(\pi\)

• 特别要注意这个上下限的问题。

• 多条路径二型曲线积分的结果相同的条件是，原积分表达式可以写成一个函数的全微分

• 计算的时候，先将参数方程列出来，并求导数。

• 计算的一般方法：

  • 坐标系转换
  • 两种对称性

例
求

\[\frac{(x+y)\,\mathrm dx-(x-y)\,\mathrm dy}{x^2+y^2} \]

求解时可由\(\frac{x\,\mathrm dy-y\,\mathrm dx}{x^2+y^2}=\,\mathrm d\arctan\left(\frac{y}{x}\right)=\,\mathrm d\theta\).

例 （北大P77）求曲线积分\(\oint_{L^+}\frac{-(x+y)\,\mathrm dx+(x-y)\,\mathrm dy}{x^2+y^2}\)，其中\(L^+\)为光滑的闭曲线。
考虑格林公式的奇点，由于原点处无定义，所以若要使用格林公式，区域不应包括原点。分类讨论：

若不包含原点，可以用格林公式得出结果为零。
若包含原点，那么挖去内心后，内外两环都是包围的面积，而内层的是易解的，为\(2\pi\)故外层亦得。

通量与散度

通量是很直观的封闭面的进出

\[\iint\limits_{\Sigma}\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{n}\,\mathrm dS \]

散度进行了数学优化，在一般情况下也可以求解。大致反映了场密度。

\[\begin{aligned} {\bf{div}}\,\overrightarrow{A}&=\lim\limits_{\Omega\to M}\frac{1}{V}\oiint_{\Omega}\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{n}\,d S\\ &=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\end{aligned} \]

物理意义是封闭曲面的通量对体积的平均（打散了的密度）。

流量和旋度

\[\begin{aligned}&\lim\limits_{\Sigma\to M}\frac{1}{S}\oint_\Gamma\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{\tau}\,\mathrm d\ell\\ =&\iint_\Omega\left(\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\,\mathrm dy\,\mathrm dz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\,\mathrm dz\,\mathrm dx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,\mathrm dx\,\mathrm dy\right) \\=&\oint_{\partial\Omega}(P\,\mathrm dx+Q\,\mathrm dy+R\,\mathrm dz)\\ \end{aligned}\]

它的值和

\[\left|\begin{matrix} i&j&k\\\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\\\ P&Q&R \end{matrix}\right| \]

相同，
这正是一个上凸曲面的Stokes公式的行列式，利用格林公式的思想可以想见，这个积分转化成边界的第二型曲线积分。