最大堆最小堆操作——python
刚讲完堆的一系列基本内容，把涉及的知识点整理下，看课本81-88页自行对照复习。
- 堆heap，通常是一个可以被看做一棵树的数组对象。
- 堆的性质：（1）是轶可完全二叉树；（2）某个节点的值总是大于或小于子节点
- 相关的操作有用VB或C++实现的，其它的请自行百度，我们采用python完成
- 算法开始，已知条件：序列A = [45, 36, 18, 53, 72, 30, 48, 93, 15, 35]，如下图所示，利用我们课本上的算法buildHeap如何将序列A转化为一个堆呢？
- 注意构造的时候，从堆树的叶子节点开始，按照自底向上逐层处理每个节点，保证节点的堆化过程不重复。叶子节点不用说，符合条件不用处理，那就从第一个有叶子的分支节点开始处理，也就是mid=len(A)//2，观察上图可知mid=10//2=5,也即是索引为5的节点开始处理，正好是第一个有叶子的节点72，其它的类似这类节点有53，18，36，45都要检查是否满足最大堆特性，不满足就拉下马，降低它的级别，直到堆根节点进行调整后，整个树就变成了一个堆。教材上初始化堆的时候加了个0，是模仿Python的heapq库函数来设计的，就是为了比较节点索引使用的。
The initial seq is [0, 45, 36, 18, 53, 72, 30, 48, 93, 15, 35]:
- 检查72这个节点的左孩子的大小，也就是通过maxChild来找72这个节点最大的孩子节点，没找到35<72，所以72不变，mid递减=4，看下图：
- 接下来找mid=4,也即53这个节点，发现左孩子93>53,则53下沉，两个互换下位置，这里要注意53拉下马之后，53的索引变成了8，这个时候仍然要递归索引8到最大堆化函数中检查是否满足最大堆条件，什么时候停止呢？假设索引为i,则判断下2*i是否小于等于序列长度即可。见下图：
4-th -> 8-th node, seq is:[0, 45, 36, 18, 93, 72, 30, 48, 53, 15, 35]
8. 上面检查发现53符合要求，不用动了。继续创建堆，这个时候mid=3,也就是要看节点18了，找最大孩子节点48，索引i=7,没办法了，交换吧，代码输出和结果示意图如下：
3-th -> 7-th node, seq is:[0, 45, 36, 48, 93, 72, 30, 18, 53, 15, 35]
9. 交换后18的索引成了7，对7继续递归调用最大化堆化操作，检查满足结束条件，mid继续减少，mid=2，对索引为2，节点为36的点调用最大化堆化操作，不重复了，最大的孩子节点为93，索引i=4,没办法，交换位置：
2-th -> 4-th node, seq is:[0, 45, 93, 48, 36, 72, 30, 18, 53, 15, 35]
对36节点的索引4继续调用最大堆堆化操作，发现最大孩子是节点53，索引为8，没办法，互换：
4-th -> 8-th node, seq is:[0, 45, 93, 48, 53, 72, 30, 18, 36, 15, 35]
36拉下来之后，继续迭代调用最大化堆化函数，满足结束条件
10. mid=1，调用最大堆堆化函数，最大的孩子节点是93，索引为2，互换：
1-th -> 2-th node, seq is:[0, 93, 45, 48, 53, 72, 30, 18, 36, 15, 35]
对45，索引为2的继续迭代调用最大化堆化，发现最大的孩子节点是72，索引为5，没办法了，继续互换：
2-th -> 5-th node, seq is:[0, 93, 72, 48, 53, 45, 30, 18, 36, 15, 35]
11. 按照上述执行完之后打印结果，如下：
12. 构建堆思路继续整理下：
（1）找要开始处理的点的索引，参考数组存放堆的数学公式，节点i的父节点索引(i/2)，左子节点索引（2i)，右子节点索引（2i+1)。而且我们已知对于节点数为n的完全二叉树，叶子节点数n0=n/2，所以要找第一个有叶子的节点的索引很简单：n为偶数，n/2；n为奇数，(n+1)/2。这个值求出来后赋给mid。
（2）对当前的mid对应的节点执行最大堆堆化操作，然后mid递减，直到mid>0时停止，这步就能完成构建堆的任务。
13. 最大堆化思路继续整理下：
（1）传入的索引，要检查下是否存在子节点，也就是检查下（2i)是否小于序列长度。还是使用上面的数学公式设计这个边界条件。满足则执行下面的其它操作，否则直接返回。
（2）找当前索引i的最大的子节点的索引mc，这里找到的还是索引，所有的操作均再索引上进行。
（3）比较当前索引i和索引mc对应的节点值的大小，如果当前找到比i对应节点还大，则交换位置，同时递归调用最大堆化操作
14. 最大子节点思路继续整理：
（1）输入当前索引i,找到左孩子索引（2i)，右孩子索引（2i+1).
（2）如果左孩子大于当前节点，则最大值等于左孩子，否则还是当前节点最大。
（3）如果右孩子大于最大节点，则最大值等于右孩子。
（4）最后返回当前节点索引下找到的最大值对应节点的索引
15. 好，算法整体完成，思路啰嗦点，但是递归看起来很清晰，时间复杂度么：构造——O(n)，最大堆化——O(logn)，完整算法代码如下，里面包含了打印功能：
#coding=utf-8
from __future__ import print_function
import math, random
import heapq
class BinHeap:
def __init__(self):
self.heapList = [0]
self.currentSize = 0
def max_heapify_rec(self, i):
if (i * 2) <= self.currentSize:
mc = self.maxChild(i)
if self.heapList[i] < self.heapList[mc]:
tmp = self.heapList[i]
self.heapList[i] = self.heapList[mc]
self.heapList[mc] = tmp
print("%d-th -> %d-th node, seq is:%s" % (i, mc, self.heapList))
self.max_heapify_rec(mc)
def maxChild(self, i):
leftchild = i * 2
rightchild = i * 2 + 1
if leftchild <= self.currentSize and self.heapList[leftchild] > self.heapList[i]:
largest = leftchild
else:
largest = i
if rightchild <= self.currentSize and self.heapList[rightchild] > self.heapList[largest]:
largest = rightchild
return largest
def max_heapify(self, i):
while (i * 2) <= self.currentSize:
mc = self.maxChild[i]
if self.heapList[i] < self.heapList[mc]:
tmp = self.heapList[i]
self.heapList[i] = self.heapList[mc]
self.heapList[mc] = tmp
i = mc
def buildHeap(self, alist):
mid = len(alist) // 2
self.currentSize = len(alist)
self.heapList = [0] + alist[:]
print("The initial seq is %s:" % self.heapList)
while (mid > 0):
self.max_heapify_rec(mid)
mid = mid - 1
return self
def heapsort(alist):
sortedh = []
heapify(alist)
while alist:
sortedh.append(heappop(alist))
return sortedh
def print_tree(array):
index = 1
depth = math.ceil(math.log(len(array), 2))
sep = ' '
for i in range(int(depth)):
offset = 2 ** i
print(sep * (2 ** (int(depth) - i - 1) - 1), end = ' ')
line = array[index:index+offset]
for j, x in enumerate(line):
print("{:>{}}".format(x, len(sep)), end = ' ')
interval = 0 if i == 0 else 2 ** (int(depth) - i) - 1
if j < len(line) - 1:
print(sep * interval, end = ' ')
index += offset
print()
- 调用上述代码：
A = [45, 36, 18, 53, 72, 30, 48, 93, 15, 35]
bh = BinHeap()
bh.buildHeap(A)
print_tree(bh.heapList)
- 好了对照下标准库，大部分库函数的操作都是O(n)的时间复杂度，里面有个函数heapify(x)，将列表x转化为一个堆，时间复杂度时O(len(x))，其实我们实现的buildheap函数也是实现了这个功能，当然时间复杂度是一样的。
- 标准库的_siftup_max函数和我们实现的max_heapify_rec类似，就是将更大的孩子用冒泡的思路移动起来。
- 其它的还有一些好用的函数可以琢磨使用下，就不多说了，大家自己挖掘去吧。