数据结构回顾——时间复杂度分析

一 程序运行时间

程序运行时间受输入规模函数和输入数据分布等因素影响，通常把程序的运行时间描述成输入规模的函数:T(n)，一个算法在特定输入上的运行时间是指执行的基本操作数或步数。

二 插入排序分析

假设第i行的每次执行时间为ci，其中ci是一个常量

将代价与对应次数求积，得到如下运行时间：

通常采用最坏情况运行时间，原因：1、给定了运行时间上界，能确保该算法绝不需要更长的时间；2、对某些算法，最坏情况经常出现；3、“平均情况”往往与最坏情况大致一样差，而平均情况难于统计。

下面分析插入排序的最坏情况（数组反向排序）运行时间，该情况下，上述公式中tj=j，固有T(n)如下：

故最坏运行时间为：O(n^2)

三 归并排序分析——递归树

分治算法递归式：若问题规模足够小，如对某个常量c，n<=c，则直接求解需要常量时间O(1)；假设把原问题分解成a个子问题，每个子问题的规模是原问题的1/b，为了求解一个规模为n/b的子问题，需要T(n/b)的时间，所以需要aT(n/b)的时间来求解a个子问题。如果分解问题成子问题需要时间D(n)，合并子问题的解成原问题的解需要时间C(n)，那么得到递归式：

对于归并排序：

下面采用递归树求解上述递归式（方便起见，假设n刚好是2的幂）：

四 递归求斐波那契数分析——递归树

斐波那契数列递归式：

其时间复杂度递归式：

注意：合并F(n-1)和F(n-2)，只需要求其和，时间复杂度为常数。

五 主方法求解递归式

5.1 主定理

令a>=1和b>1是常数，f(n)是一个函数，T(n)是定义在非负整数上的递归式：

T(n)=aT(n/b)+f(n)

原问题被分解为a个规模为原问题n/b的子问题，f(n)是分解与合并的代价，T(n)有如下渐进界：