求伪逆的三种方法:直接,SVD,QR

求伪逆的三种方法:直接,SVD,QR - [专业理论]

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① 直接求解:

求导,令导数为0,结果如下: InvA=(ATA)-1AT

 % 直接求伪逆
 InvA = inv(A'*A)*A';

 

② SVD求解

%% SVD分解求伪逆
% 原理和公式:1. SVD分解得到的矩阵:U和V是正交阵,S是对角阵
%            2. 正交阵的逆=转置
%            3. 对角阵的逆=非零元素求倒
% Step1: 求解A的SVD分解
 [U,S,V] = svd(A); % A = U*S*V'
% Step2: 将S中的非零元素求倒
 T=S;
 T(find(S~=0)) = 1./S(find(S~=0));
% Step3: 求invA
svdInvA = V * T' * U';

 

③ QR求解

%% QR分解求伪逆
% 适用于稀疏矩阵
% 原理和公式:1. QR分解得到的矩阵:Q是正交阵,R是非奇异上三角阵
%            2. 正交阵的逆=转置
%            3. 上(下)三角矩阵的逆也仍然是上(下)三角矩阵。不必用高斯消去法,向前替换法解方程。
%               但是具体的我不知道怎么用程序来写,这里仍旧用了matlab的函数。
[Q,R] = qr(A);
InvR =  inv(R'*R)*R';
qrInvA =InvR*Q';

 

PS: 矩阵中非零元素的个数远远小于矩阵元素的总数,并且非零元素的分布没有规律,则称该矩阵为稀疏矩阵(sparse matrix)

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