求伪逆的三种方法：直接，SVD，QR

求伪逆的三种方法：直接，SVD，QR - [专业理论]

版权声明：转载时请以超链接形式标明文章原始出处和作者信息及本声明http://www.blogbus.com/shijuanfeng-logs/238839798.html

① 直接求解：

求导，令导数为0，结果如下: InvA=(A^TA)^-1A^T

 % 直接求伪逆

 InvA = inv(A'*A)*A';

 

② SVD求解

%% SVD分解求伪逆

% 原理和公式：1. SVD分解得到的矩阵:U和V是正交阵，S是对角阵

%            2. 正交阵的逆=转置

%            3. 对角阵的逆=非零元素求倒

% Step1: 求解A的SVD分解

 [U,S,V] = svd(A); % A = U*S*V'

% Step2: 将S中的非零元素求倒

 T=S;

 T(find(S~=0)) = 1./S(find(S~=0));

% Step3: 求invA

svdInvA = V * T' * U';

 

③ QR求解

%% QR分解求伪逆

% 适用于稀疏矩阵

% 原理和公式：1. QR分解得到的矩阵:Q是正交阵，R是非奇异上三角阵

%            2. 正交阵的逆=转置

%            3. 上（下）三角矩阵的逆也仍然是上（下）三角矩阵。不必用高斯消去法，向前替换法解方程。

%               但是具体的我不知道怎么用程序来写，这里仍旧用了matlab的函数。

[Q,R] = qr(A);

InvR =  inv(R'*R)*R';

qrInvA =InvR*Q';

 

PS: 矩阵中非零元素的个数远远小于矩阵元素的总数，并且非零元素的分布没有规律，则称该矩阵为稀疏矩阵(sparse matrix)