线性同余方程

定义

形如 \(ax \equiv c \pmod b\) 的方程称为线性同余方程
等价于 \(ax + by = c\) 因此有解条件为 \((a, b) \mid c\)

求解

任意的线性同余方程总可以判定为无解,或化为 \(x \equiv a \pmod m\) 的形式

方法

若 \((a, b) = 1\) ,则 \(x\) 有唯一解 \(x \equiv a^{-1}c \pmod b\)
否则设 \((a, b) = d, a = a'd, b = b'd, c = c'd\)
那么有 \(a'x + b'y = c'\), 即 \(a'x \equiv c' \pmod {b'}\)
因为 \((a' , b') = 1\)
所以 \(x \equiv (a')^{-1}c' \pmod b'\)
所以任意的线性同余方程总可以判定为无解,或化为 \(x \equiv a \pmod m\) 的形式