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传输线方程与终端加载的无损耗传输线

目录

传输线方程

电压波和电流波

特性阻抗

无损耗传输线模型

终端加载的无损耗传输线

电压反射系数

传播常数与相速度

驻波与电压驻波比

传输线方程

将基尔霍夫电压、电流定律(KVL,KCL)应用于传输线微元的节点a

传输线方程与终端加载的无损耗传输线_第1张图片 传输线微元的电压回路和电流节点

这里需要说明一下，R、L、G和C表示的是单位长度传输线的量值，它们的单位是\Omega/m、H/m、S/m和F/m。

采用负数表示，由基尔霍夫电压定律可得

                                                              (R+j \omega L) I(z) \Delta z+V(z+\Delta z)=V(z)

将该式转化为微分方程，将微分传输线段两端的电压降组合成微商的形式

                                             \lim _{\Delta z \rightarrow 0}\left(-\frac{V(z+\Delta z)-V(z)}{\Delta z}\right)=-\frac{d V(z)}{d z}=(R+j \omega L) I(z)

即

                                                                            -\frac{d V(z)}{d z}=(R+j \omega L) I(z)                 (1)

对节点a应用基尔霍夫电流定律可得

                                                           I(z)-V(z+\Delta z)(G+j \omega C) \Delta z=I(z+\Delta z)

微分方程形式

                                                     \lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{I(z+\Delta z)-I(z)}{\Delta z}=\frac{d I(z)}{d z}=-(G+j \omega C) V(z)                (2)

传输线方程

                                                                    \left\{\begin{array}{l}{\frac{\mathrm{d} \mathrm{V(z)}}{d z}=-(R+j \omega L) I(z)} \\ {\frac{\mathrm{dI(z)}}{d z}=-(G+j \omega C) V(z)}\end{array}\right.

电压波和电流波

传输线方程(1)式对空间求导得

                                                                      \frac{d^2 V(z)}{d z^2}=-(R+j \omega L) \frac{I(z)}{dz}

将传输线(2)式带入上式得

                                                                          \frac{d^2 V(z)}{d z^2}-\gamma^2 V(z)=0

同理可得

                                                                          \frac{d^2 I(z)}{d z^2}-\gamma^2 I(z)=0

两式表示用复数描述电压和电流的特性，其中系数 \gamma 是已知的复传播常数

                                                      \gamma = \alpha +j\beta=\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}

其中\alpha为衰减常数，\beta称为相位常数。

两式解都是指数函数，对于电压

                                                                       V(z)=V^+e^{-\gamma z}+V^- e^{+\gamma z}

对于电流

                                                                       I(z)=I^+e^{-\gamma z}+I^- e^{+\gamma z}

以上两式，第一项代表向+z方向传播的波，而第二项代表沿-z方向传播的波。这是没有实际意义的，因为\alpha\geq 0,所以\beta前的负号保证了+z方向传播的波的幅度将逐渐减小。同样，沿-z方向传播的波由于递减的指数项而逐渐衰减。

特性阻抗

将V(z)=V^+e^{-\gamma z}+V^- e^{+\gamma z}代入-\frac{d V(z)}{d z}=(R+j \omega L) I(z)   可得

                                                           I(z)=\frac{\gamma}{(R+j \omega L)}\left(V^{+} \mathrm{e}^{-\gamma z}-V^{-} \mathrm{e}^{+\gamma z}\right)

因为电压与电流通常通过阻抗联系起来，引入传输线的特性阻抗(characteristic impedance)Z_{0}，其定义为

                                                             Z_{0}=\frac{(R+j \omega L)}{\gamma}=\sqrt{\frac{(R+j \omega L)}{(G+j \omega C)}}

电流表达式可以写成

                                                               I(z)=\frac{1}{Z_{0}}\left(V^{+} \mathrm{e}^{-\gamma z}-V^{-} \mathrm{e}^{+\gamma z}\right)

Z_{0}并不是常规意义上的阻抗，它的定义是基于正向和反向行进的电压波和电流波。这与基于总电压，总电流概念定义的常规电路阻抗完全不同。

无损耗传输线模型

对于较短的线段，忽略损耗不会引起明显的误差，这意味着R=G=0,此时特征阻抗可简化为

                                                                                    Z_{0}=\sqrt{L/C}

如果选取参数为L和C的平行板传输线，那么其特性阻抗为

                                                                                    Z_{0}=\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}\frac{d}{w}

其中，平方根项称为波阻抗，在自由空间(\mu=\mu_{0},\epsilon=\epsilon_{0})该值约为377\Omega。无损耗传输线的传播常数是纯虚数\gamma=j\beta，其中

\beta=\omega\sqrt{LC}。

终端加载的无损耗传输线

电压反射系数

假定负载位于z=0处，电压波从z=-l处耦合入传输线。如下图

传输线方程与终端加载的无损耗传输线_第2张图片

已道，传输线上任意处的电压

                                                                        V(z)=V^+e^{-\gamma z}+V^- e^{+\gamma z}

上式第二项的物理意义是在z<0的区间，终端负载阻抗产生的反射。引入反射系数(reflection coefficient)\Gamma_{0},它是反射电压波与入射电压波在负载（z=0）处的比值：

                                                                                         \Gamma_{0}=\frac{V^-}{V^+}

根据这个定义，电压波和电流波游客用反射系数表示为

                                                                       V(z)=V^{+} (e^{-\gamma z}+\Gamma _{0} e^{+\gamma z})

和

                                                                       I(z)=\frac{V^{+}}{Z_{0}} (e^{-\gamma z}+\Gamma _{0} e^{+\gamma z})

如果用V(z)除以I(z)，可得沿着z轴-l\leq z\leq 0q区间内任意点处，作为空间函数的阻抗Z(z)的表达式。在z=-l处的总输入阻抗通常记为Z_{in}。在z=0处，阻抗等于负载阻抗：

                                                                           Z(0)=Z_{L}=Z_{0}\frac{1+\Gamma_{0}}{1-\Gamma_{0}}

可求出反射系数

                                                                                   \Gamma_{0}=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}

上式更加常用，因为它只含已知电路参数，而与特定的电压波幅度之比无关。

当负载开路时Z_{L}=\infty，反射系数\Gamma_{0}=1，这意味着反射电压波与入射电压波有着相同的相位；

当负载短路时Z_{L}=0，反射系数\Gamma_{0}=-1，这意味着反射电压波与入射电压波有着相反的振幅；

当Z_{0}=Z_{L}(此时负载阻抗与传输线的特性阻抗相匹配),反射系数\Gamma_{0}=0，不发生反射，说明此时入射电压波完全被负载吸收了。

传播常数与相速度

对于无损耗的传输线R=G=0，复数传播常数的定义是具有非常简单的形式

                                                                            \gamma=\alpha+j\beta=j\omega\sqrt{LC}

其中，\alpha为衰减常数，\beta称为相位常数。且\alpha=0，\beta=\omega\sqrt{LC}。

此时

                                                                        V(z)=V^{+} (e^{-j\beta z}+\Gamma _{0} e^{+j\beta z})

                                                                         I(z)=\frac{V^{+}}{Z_{0}} (e^{-j\beta z}-\Gamma _{0} e^{+j\beta z})

相位常数与相速度的关系

                                                                                     \beta=\frac{\omega}{v_{p}}

则相速度v_{p}可由传输线参数 L 和 C 给出

                                                                                   v_{p}=\frac{1}{\sqrt{LC}}

由此可见传输线中相速度与频率无关。这表明了如果在传输线中传播的是脉冲信号，可以把脉冲分解为一些列频率谐波分量，而每个频率分量都以同一固定相速度传播。所以当原始脉冲到达不同的位置时，都能保持形状不变。这种现象叫做无色散(dispersion-free)传输。然而实际情况下常常要考虑相速度在某种程度上的频率相关性，或称色散，色散将引起信号畸变。

驻波与电压驻波比

把终端短路的传输线\Gamma_{0}=1放在新坐标系d中描述

传输线方程与终端加载的无损耗传输线_第3张图片

式V(z)=V^{+} (e^{-j\beta z}+\Gamma _{0} e^{+j\beta z})可改写成

                                                                      V(d)=V^{+}\left(e^{+j\beta d}-e^{-j\beta d}\right)

欧拉公式e^{ix}=cosx+isinx,上式括号中内容可改写为2jsin(\beta d),将上式从复数变换为时域形式得

                                                     \begin{aligned} v(d, t) &=\operatorname{Re}\left\{V e^{j \omega t}\right\}=\operatorname{Re}\left\{2 j V^{+} \sin (\beta d) e^{j \omega t}\right\} \\ &=2 V^{+} \sin (\beta d) \cos (\omega t+\pi / 2) \end{aligned}

其中，正弦项确保了在d=0处，任意时 t，电压都维持短路状态。c此时输入波与反射波的相位差是180\degree，导致波在空间位置为0，\lambda/2,\lambda,3\lambda/2等处出现了固定的爹加零点。

传输线方程与终端加载的无损耗传输线_第4张图片

将新坐标d引入V(z)=V^{+} (e^{-j\beta z}+\Gamma _{0} e^{+j\beta z}),该公式变为

                                                    V(d)=V^{+} e^{+j\beta d}(1+\Gamma_{0} e^{-2j\beta d})=A(d)[1+\Gamma(d)]

其中，设A(d)=V^{+} e^{+j\beta d}，并定义反射系数：

                                                                            \dpi{120} \Gamma(d)=\Gamma_{0} e^{-2j\beta d}

同理，在新的空间坐标系中，电流波的定义为

                                                    I(d)=\frac{V^{+}}{Z_{0}} e^{+j\beta z}(1-\Gamma_{0} e^{-2j\beta d})=\frac{A(d)}{Z_{0}}[1-\Gamma(d)]

在匹配条件下(\Gamma_{0}=0)，反射系数\Gamma(d)=0，此时只有向右传播的波。为了量化不匹配的程度，引入驻波比(standing wave ratio,SWR),又称驻波系数，即传输线上电压最大幅度(或电流)与电压最小幅度(或电流)的比值

                                                                           SWR=\frac{|V_{max}|}{|V_{min}|}=\frac{|I_{max}|}{|I_{min}|}

注意到\Gamma(d)的最大幅度是1，可将上式表示为下式

                                                                                    SWR=\frac{1+|\Gamma_{0}|}{1-|\Gamma_{0}|}

其取值范围是1\leq SWR\leq \infty。图像如下

传输线方程与终端加载的无损耗传输线_第5张图片

很多情况下，称SWR为电压驻波比(voltage standing wave ratio,VSWR)以区分功率驻波比(PSWR)。严格地说SWR只能运用于无损耗传输线，因为有损耗传输线电压与电流的幅值是距离的函数。但多数射频系统损耗很低，式SWR=\frac{1+|\Gamma_{0}|}{1-|\Gamma_{0}|}可以使用。观察\Gamma(d)=\Gamma_{0} e^{-2j\beta d}得，反射系数的实部(以及虚部)的最大最小值之间的距离为d=\lambda/4即2\beta d=\pi,最大值之间的距离是d=\lambda/2。

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    11、ADS使用记录之LNA设计基于ADS2022参考的书籍是卢益锋老师的ADS射频电路设计与仿真学习笔记前置教程：01、ADS使用记录之新建工程02、ADS使用记录之导入各类仿真模型导入03、ADS使用记录之DC仿真控制器的使用04、ADS使用记录之S仿真控制器的使用&椭圆低通滤波器设计05、ADS使用记录之集总参数匹配06、ADS使用记录之分布式参数匹配07、ADS使用记录之匹配Q值-宽带与窄
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