第五章 数组和广义表
一、 数组和广义表的定义
数组和广义表可以视为是线性表的扩展，即线性表中的数据元素本身也是一个数据结构。
1. 二维数组定义
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
An*n= ……
am1 am2 … amn
An*n 可定义为一个线性表：
（1） A=（a1，a2，…，an），其中：每个数据元素aj（j=1，2，…,n）又是一个列向量的线性表，即：aj=（a1j，a2j，…，amj），1≤j≤n
（2） A=（B1，B2，…，Bm），其中：每个数据元素Bj（j=1，2，…,m）又是一个行向量的线性表，即：Bj=（aj1，aj2，…，ajn），1≤j≤m
2. 广义表定义
定义：数据元素可以使表的线性表。记为：LS=（d1，d2，…，dn）LS为表名，di（i=1,2，…，n），可以使单元素（用小写字母表示）；也可以是广义表（称为子表，用大写字母表示）；
n 为表的长度，当长度为0时称为空表；
称非空表的第一个元素d1为表头，其余元素组成的表（d2，…，dn）称表尾。（表尾一定是表，即使表尾只有一个元素或者没有元素也是表）
二、 数组和广义表的基本运算
1. 数组的基本运算
(1) 给定下标，存取相应的数据元素
(2) 给定下标，修改相应的数据元素
2. 广义表的基本运算
（1） 取表头HEAD(LS)；
（2） 取表尾TAIL(LS)。
三、 数组的存储结构
1. 数组的顺序存储结构
由于数组不作插入、删除操作，所以常采用顺序存储结构来实现数组，即用一组连续的存储单元，以行主（或列主）顺序依次存放数组的数据元素。
设每个数据元素占L个存储单元，di为第i维的下标上界，ci为第i维的下标下界，采用行主顺序存放，则二维数组中任一元素aij的存储地址为：
Loc[i，j]= Loc[c1，c2]+[（i-c1）*（d2-c2+1）+（j-c2）]*L
（Loc[c1，c2]逻辑上矩阵左上角的存放位置，也表示了整个数组存放的起始位置，c1为行下标下界，c2为列下标下界）
物理存放为一维向量顺序存储
Array：array[i]=itemi
不需要移动数据元素，我们可以
求长度，遍历数组，取数组元素，修改数组元素
不能进行的操作
Insertion，Deletion
2. 矩阵的压缩存储
（1） 对称矩阵
满足aij=aji，1≤i，j≤n
可以只存储n阶对称矩阵的上（或下）三角部分，将存储量从n2压缩到n（n+1）/2。
若用一维数组S(1……n（n+1）/2)，以行主顺序存放下三角部分，则S[k]和矩阵元素aij 的对应关系为：
i（i+1）/2+j当i≥j
k=
j（j-1）/2+i当i＜j
（2） 对角矩阵
所有非零元素集中在平行于主对角线的带状区域中。如下矩阵。
a11 a12
a21 a22a23
……
……
an-1n-1 an-1n-1
ann-1 ann
若将三对角矩阵的元素按行主顺序存放在数组B[1，…，3n-2]中，则B[k]和元素aij的对应关系为：k=2i+j-2
（3） 稀疏矩阵
非零元素较零元素少，且分布没有规律。对每一个非零元素aij可以用一个三元组（i，j，aij）来表示，其中i，j为aij的行列号，aij为元素的值。
1）三元组线性表的顺序存储结构称为三元组表
形式描述：
CONST maxnum=大于非零元素个数的常量；
maxmn=Max{m，n}；{行列最大值}
TYPE tuple3tp=RECORD
i，j：integer；
v：elemtp
END； {定义三元组}
稀疏矩阵可用一个三元组线性表和行列数来描述
TYPE sparmattp=RECORD
mu，nu，tu：integer；{mu总行数，nu总列数，tu非零元素总个数}
data：ARRAY[1……maxnum] OF tuple3tp
END；
另一种表示方法：
a[0].row=矩阵的总行数；
a[0].col=矩阵的总列数；
a[0].value=矩阵中非零元的总个数；
a[1]—a[maxnum]存放非零元。
行主顺序存放算法比较简单
2）矩阵转置算法
B=AT <=> b[j][i]=a[i][j]
设A,B是sparmattp型变量，且互为转置矩阵
由A求其转置矩阵B，需做以下事情：
（1） 矩阵的行列值互换，即若A为m*n，则B为n*m；
（2） 每个三元组的行列号互换，即aij对应于bji；
（3） A中三元组以原阵的行序，而B中三元组是以原阵的列序。
算法一：
以原阵的列序依次产生b中各三元组的值；
PROC trans_sparmat（VAR b:sparmattp；a：sparmattp）；
b．mu：=a.nu；b.nu：=a.mu；b.tu：=a.tu；
IF b.tu<>0 THEN
[q：=1；
FOR col：=1 TO a.nu DO
FOR p：=1 TO a.tu DO
IF a.data[p].j=col
THEN[b.data[q]：=a data[p]；q=q+1]
]
ENDP；{trans_sparmat}
该方法实现直观、易理解，空间上节约，时间复杂度为O（a.nu*a.tu）。如果矩阵不是稀疏的，则a.tu=a.nu*a.mu，则时间复杂度为O（a.nu2*a.mu）
适用于矩阵稀疏的情况，不是稀疏矩阵时，此算法时间复杂度太高，不适合使用。
算法二：
快速矩阵转置算法
以原阵的行序产生转置后的三元组，并置入b中的恰当位置。
算法思想：
（1） 设置num[1……a.nu] 和cpot [1……a.nu]两个辅助向量；
（2） 在a.data中求矩阵M的每一列中非零元素个数，存于辅助向量num[ ]的对应列中；
（3） 用递推公式算出每一列第一个非零元素在b.data中的位置，存于辅助向量cpot[]的相应列中，递推公式为：
cpot[1]=1
cpot[col]=cpot[col-1]+num[col-1]，col=2……a.nu
（4） 依次对a.data中的三元组进行转置，并按三元组的列号，从cpot的对应列取出该三元组应存放在b.data中的位置，然后将cpot该列中的值加1，使其记载该列下一非零元在b.data中的位置
（num的作用是初始化cpot）
算法实现：
PORC fast_transport（VAR b：=sparmattp; a:=sparmattp）
b.mu:=a.nu; b.nu:=a.mu; b.tu:=a.tu;
IF b.tu<>0 THEN
[q:=1;
FOR col:=1 TO a.nu DO num[col]:=0;
FOR t:=1 TO a.tu DO
Num[a.data[t].j]:=num[a.data[t].j]+1;{a.data[t]为当前扫描到的三元组}
cpot[1]:=1;
FOR col:=2 TO a.nu DO
cpot[col]:=cpot[col-1]+num[col-1];
FOR p:=1 TO a.tu DO
[col:=a.data[p].j; q:=cpot[col];
b.data[q].i:=a.data[p].j; b.data[q].j:=a.data[p].i;b.data[q].v:=a.data[p].v;
cpot[col]:=cpot[col]+1]
]
ENDP;{fast_transpos}
时间复杂度
Time complexity=O（a.nu + a.tu）
3. 三元组表线性表的链式存储结构称为十字链表
四、 广义表的存储结构
广义表中的数据元素可以是单元素，或是广义表，很难用顺序存储结构表示，常采用链式存储结构。
1. 表头表尾链存储结构
有两类结点：表结点和单元素结点。
| Tag=1 表结点 |
Hp 表头指针域 |
Tp 表尾指针域 |
| Tag=0 单元素结点 |
Data 值域 |
|
形式描述为：
TYPE nodeptr=↑nodetype
nodetype=RECORD
tag：0..1
CASE tag OF
0:（data：elemtp）
1：（hp，tp：nodeptr）
END；
特点：
最上层的表结点数即为广义表的长度；
层次清楚；
表结点数目多，与广义表中括号对的数目不匹配。
2. 同层结点链存储结构
有两类结点：表结点和单元素结点
| Tag=1 表结点 |
Hp |
Tp |
| Tag=0 单元素结点 |
Data |
Tp |
Tp为链接同层下一结点的指针域，其它域的含义同表头表尾链结构
特点：
表结点的数目与广义表的括号对数目一致；
写递归算法不方便。