贝塞尔曲线（Bezier Curve）原理及公式推导
1. 定义
贝塞尔曲线(Bezier curve)，又称贝兹曲线或贝济埃曲线，是应用于二维图形应用程序的数学曲线。一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线，贝兹曲线由线段与节点组成，节点是可拖动的支点，线段像可伸缩的皮筋，我们在绘图工具上看到的钢笔工具就是来做这种矢量曲线的。贝塞尔曲线是计算机图形学中相当重要的参数曲线，在一些比较成熟的位图软件中也有贝塞尔曲线工具，如PhotoShop等。
贝塞尔曲线的一些特性：
- 使用 n n n个控制点 { P 1 , P 2 , . . . , P n } \{P_1,P_2,...,P_n\} {P1,P2,...,Pn}来控制曲线的形状
- 曲线通过起始点 P 1 P_1 P1和终止点 P n P_n Pn，接近但不通过中间点 P 2 P_2 P2~ P n − 1 P_{n-1} Pn−1
2. 直观理解
Step 1. 在二维平面内选三个不同的点并依次用线段连接
Step 2. 在线段 A B AB AB和 B C BC BC上找到 D D D、 E E E两点，使得 A D D B = B E E C \frac{AD}{DB}=\frac{BE}{EC} DBAD=ECBE
Step 3. 连接 D E DE DE，并在 D E DE DE上找到 F F F点，使其满足 D F F E = A D D B = B E E C \frac{DF}{FE}=\frac{AD}{DB}=\frac{BE}{EC} FEDF=DBAD=ECBE（抛物线的三切线定理）
Step 4. 找出符合上述条件的所有点
上述为一个二阶贝塞尔曲线。同样的有 n n n阶贝塞尔曲线：
| 曲线 | 图示 |
|---|---|
| 一阶 |  |
| 三阶 |  |
| 四阶 |  |
| 五阶 |
3. 公式推导
3.1 一次贝塞尔曲线（线性公式）
定义：给定点 P 0 P_0 P0、 P 1 P_1 P1，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线，这条线由下式给出，且其等同于线性插值：
B ( t ) = P 0 + ( P 1 − P 0 ) t = ( 1 − t ) P 0 + t P 1 , t ∈ [ 0 , 1 ] B(t)=P_0+(P_1-P_0)t=(1-t)P_0+tP_1,\text{ } t\in[0,1] B(t)=P0+(P1−P0)t=(1−t)P0+tP1, t∈[0,1]
其中，公式里的 P 0 P_0 P0、 P 1 P_1 P1同步表示为其 x x x或 y y y轴坐标。
假设 P 0 P_0 P0坐标为 ( a , b ) (a,b) (a,b)， P 1 P_1 P1坐标为 ( c , d ) (c,d) (c,d)， P 2 P_2 P2坐标为 ( x , y ) (x,y) (x,y)，则有：
x − a c − x = t 1 − t ⇒ x = ( 1 − t ) a + t c (3-1) \frac{x-a}{c-x}=\frac{t}{1-t} \Rightarrow x=(1-t)a+tc \tag{3-1} c−xx−a=1−tt⇒x=(1−t)a+tc(3-1)
同理有：
y − b d − y = t 1 − t ⇒ x = ( 1 − t ) b + t d (3-2) \frac{y-b}{d-y}=\frac{t}{1-t} \Rightarrow x=(1-t)b+td \tag{3-2} d−yy−b=1−tt⇒x=(1−t)b+td(3-2)
于是可将 ( 3 − 1 ) ( 3 − 2 ) (3-1) (3-2) (3−1)(3−2)简写为：
B ( t ) = ( 1 − t ) P 0 + t P 1 , t ∈ [ 0 , 1 ] (3-3) B(t)=(1-t)P_0+tP_1 ,\text{ } t\in[0,1] \tag{3-3} B(t)=(1−t)P0+tP1, t∈[0,1](3-3)
3.2 二次贝塞尔曲线（二次方公式）
定义：二次贝塞尔曲线的路径由给定点 P 0 P_0 P0、 P 1 P_1 P1、 P 2 P_2 P2的函数 B ( t ) B(t) B(t)给出：
B ( t ) = ( 1 − t ) 2 P 0 + 2 t ( 1 − t ) P 1 + t 2 P 2 , t ∈ [ 0 , 1 ] B(t)=(1-t)^{2} P_0+2t(1-t)P_1+t^2P_2,\text{ } t\in [0,1] B(t)=(1−t)2P0+2t(1−t)P1+t2P2, t∈[0,1]
假设 P 0 P 1 P_0P_1 P0P1上的点为 A A A， P 1 P 2 P_1P_2 P1P2上的点为 B B B， A B AB AB上的点为 C C C（也即 C C C为曲线上的点。则根据一次贝塞尔曲线公式有：
A = ( 1 − t ) P 0 + t P 1 B = ( 1 − t ) P 1 + t P 2 C = ( 1 − t ) A + t B (3-4) \begin{array}{l} A=(1-t)P_0+tP_1 \\ B=(1-t)P_1+tP_2 \\ C=(1-t)A+tB \end{array} \tag{3-4} A=(1−t)P0+tP1B=(1−t)P1+tP2C=(1−t)A+tB(3-4)
将上式中 A A A、 B B B带入 C C C中，即可得到二次贝塞尔曲线的公式：
B ( t ) = ( 1 − t ) 2 P 0 + 2 t ( 1 − t ) P 1 + t 2 P 2 , t ∈ [ 0 , 1 ] (3-5) B(t)=(1-t)^{2} P_0+2t(1-t)P_1+t^2P_2,\text{ } t\in [0,1] \tag{3-5} B(t)=(1−t)2P0+2t(1−t)P1+t2P2, t∈[0,1](3-5)
3.3 三次贝塞尔曲线（三次方公式）
同理可得三次贝塞尔曲线公式：
B ( t ) = ( 1 − t ) 3 P 0 + 3 t ( 1 − t ) 2 P 1 + 3 t 2 ( 1 − t ) P 2 + t 3 P 3 , t ∈ [ 0 , 1 ] (3-6) B(t)=(1-t)^{3} P_0+3t(1-t)^2P_1+3t^2(1-t)P_2+t^3P_3,\text{ } t\in [0,1] \tag{3-6} B(t)=(1−t)3P0+3t(1−t)2P1+3t2(1−t)P2+t3P3, t∈[0,1](3-6)
3.4 n n n次贝塞尔曲线（一般参数公式）
定义：给定点 P 0 , P 1 , . . . , P n P_0,P_1,...,P_n P0,P1,...,Pn，则 n n n次贝塞尔曲线由下式给出：
n n n次贝塞尔曲线的公式可由如下递归表达：
P 0 n = ( 1 − t ) P 0 n − 1 + t P 1 n − 1 , t ∈ [ 0 , 1 ] (3-7) P_0^n=(1-t)P_0^{n-1}+tP_1^{n-1},\text{ }t\in[0,1] \tag{3-7} P0n=(1−t)P0n−1+tP1n−1, t∈[0,1](3-7)
进一步可以得到贝塞尔曲线的递推计算公式：
P i k { P i , k = 0 ( 1 − t ) P i k − 1 + t P i + 1 k − 1 , k = 1 , 2 , . . . , n ; i = 0 , 1 , . . . , n − k P_i^k \begin{cases} P_i , \text{ } k=0 \\ (1-t)P_i^{k-1}+tP_{i+1}^{k-1} , \text{ } k=1,2,...,n; \text{ } i=0,1,...,n-k \end{cases} Pik{Pi, k=0(1−t)Pik−1+tPi+1k−1, k=1,2,...,n; i=0,1,...,n−k
这就是德卡斯特里奥算法（De Casteljau’s algorithm）
参考
[1] https://www.jianshu.com/p/0c9b4b681724
[2] https://www.jianshu.com/p/8f82db9556d2