贝塞尔曲线(Bezier Curve)原理及公式推导

1. 定义

贝塞尔曲线(Bezier curve),又称贝兹曲线贝济埃曲线,是应用于二维图形应用程序的数学曲线。一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线,贝兹曲线由线段节点组成,节点是可拖动的支点,线段像可伸缩的皮筋,我们在绘图工具上看到的钢笔工具就是来做这种矢量曲线的。贝塞尔曲线是计算机图形学中相当重要的参数曲线,在一些比较成熟的位图软件中也有贝塞尔曲线工具,如PhotoShop等。

贝塞尔曲线的一些特性:

  • 使用 n n n个控制点 { P 1 , P 2 , . . . , P n } \{P_1,P_2,...,P_n\} {P1,P2,...,Pn}来控制曲线的形状
  • 曲线通过起始点 P 1 P_1 P1和终止点 P n P_n Pn,接近但不通过中间点 P 2 P_2 P2~ P n − 1 P_{n-1} Pn1

2. 直观理解

Step 1. 在二维平面内选三个不同的点并依次用线段连接

贝塞尔曲线(Bezier Curve)原理及公式推导_第1张图片

Step 2. 在线段 A B AB AB B C BC BC上找到 D D D E E E两点,使得 A D D B = B E E C \frac{AD}{DB}=\frac{BE}{EC} DBAD=ECBE

贝塞尔曲线(Bezier Curve)原理及公式推导_第2张图片

Step 3. 连接 D E DE DE,并在 D E DE DE上找到 F F F点,使其满足 D F F E = A D D B = B E E C \frac{DF}{FE}=\frac{AD}{DB}=\frac{BE}{EC} FEDF=DBAD=ECBE(抛物线的三切线定理)

贝塞尔曲线(Bezier Curve)原理及公式推导_第3张图片
Step 4. 找出符合上述条件的所有点


上述为一个二阶贝塞尔曲线。同样的有 n n n阶贝塞尔曲线:

曲线 图示
一阶 贝塞尔曲线(Bezier Curve)原理及公式推导_第4张图片
三阶 贝塞尔曲线(Bezier Curve)原理及公式推导_第5张图片
四阶 贝塞尔曲线(Bezier Curve)原理及公式推导_第6张图片
五阶

3. 公式推导

3.1 一次贝塞尔曲线(线性公式)

定义:给定点 P 0 P_0 P0 P 1 P_1 P1,线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线,这条线由下式给出,且其等同于线性插值:
B ( t ) = P 0 + ( P 1 − P 0 ) t = ( 1 − t ) P 0 + t P 1 ,   t ∈ [ 0 , 1 ] B(t)=P_0+(P_1-P_0)t=(1-t)P_0+tP_1,\text{ } t\in[0,1] B(t)=P0+(P1P0)t=(1t)P0+tP1, t[0,1]

贝塞尔曲线(Bezier Curve)原理及公式推导_第7张图片

其中,公式里的 P 0 P_0 P0 P 1 P_1 P1同步表示为其 x x x y y y轴坐标。

假设 P 0 P_0 P0坐标为 ( a , b ) (a,b) (a,b) P 1 P_1 P1坐标为 ( c , d ) (c,d) (c,d) P 2 P_2 P2坐标为 ( x , y ) (x,y) (x,y),则有:

x − a c − x = t 1 − t ⇒ x = ( 1 − t ) a + t c (3-1) \frac{x-a}{c-x}=\frac{t}{1-t} \Rightarrow x=(1-t)a+tc \tag{3-1} cxxa=1ttx=(1t)a+tc(3-1)

同理有:

y − b d − y = t 1 − t ⇒ x = ( 1 − t ) b + t d (3-2) \frac{y-b}{d-y}=\frac{t}{1-t} \Rightarrow x=(1-t)b+td \tag{3-2} dyyb=1ttx=(1t)b+td(3-2)

于是可将 ( 3 − 1 ) ( 3 − 2 ) (3-1) (3-2) (31)(32)简写为:

B ( t ) = ( 1 − t ) P 0 + t P 1 ,   t ∈ [ 0 , 1 ] (3-3) B(t)=(1-t)P_0+tP_1 ,\text{ } t\in[0,1] \tag{3-3} B(t)=(1t)P0+tP1, t[0,1](3-3)

3.2 二次贝塞尔曲线(二次方公式)

定义:二次贝塞尔曲线的路径由给定点 P 0 P_0 P0 P 1 P_1 P1 P 2 P_2 P2的函数 B ( t ) B(t) B(t)给出:
B ( t ) = ( 1 − t ) 2 P 0 + 2 t ( 1 − t ) P 1 + t 2 P 2 ,   t ∈ [ 0 , 1 ] B(t)=(1-t)^{2} P_0+2t(1-t)P_1+t^2P_2,\text{ } t\in [0,1] B(t)=(1t)2P0+2t(1t)P1+t2P2, t[0,1]

假设 P 0 P 1 P_0P_1 P0P1上的点为 A A A P 1 P 2 P_1P_2 P1P2上的点为 B B B A B AB AB上的点为 C C C(也即 C C C为曲线上的点。则根据一次贝塞尔曲线公式有:

A = ( 1 − t ) P 0 + t P 1 B = ( 1 − t ) P 1 + t P 2 C = ( 1 − t ) A + t B (3-4) \begin{array}{l} A=(1-t)P_0+tP_1 \\ B=(1-t)P_1+tP_2 \\ C=(1-t)A+tB \end{array} \tag{3-4} A=(1t)P0+tP1B=(1t)P1+tP2C=(1t)A+tB(3-4)

将上式中 A A A B B B带入 C C C中,即可得到二次贝塞尔曲线的公式:

B ( t ) = ( 1 − t ) 2 P 0 + 2 t ( 1 − t ) P 1 + t 2 P 2 ,   t ∈ [ 0 , 1 ] (3-5) B(t)=(1-t)^{2} P_0+2t(1-t)P_1+t^2P_2,\text{ } t\in [0,1] \tag{3-5} B(t)=(1t)2P0+2t(1t)P1+t2P2, t[0,1](3-5)

3.3 三次贝塞尔曲线(三次方公式)

同理可得三次贝塞尔曲线公式:

B ( t ) = ( 1 − t ) 3 P 0 + 3 t ( 1 − t ) 2 P 1 + 3 t 2 ( 1 − t ) P 2 + t 3 P 3 ,   t ∈ [ 0 , 1 ] (3-6) B(t)=(1-t)^{3} P_0+3t(1-t)^2P_1+3t^2(1-t)P_2+t^3P_3,\text{ } t\in [0,1] \tag{3-6} B(t)=(1t)3P0+3t(1t)2P1+3t2(1t)P2+t3P3, t[0,1](3-6)

3.4 n n n次贝塞尔曲线(一般参数公式)

定义:给定点 P 0 , P 1 , . . . , P n P_0,P_1,...,P_n P0,P1,...,Pn,则 n n n次贝塞尔曲线由下式给出:
在这里插入图片描述

n n n次贝塞尔曲线的公式可由如下递归表达:

P 0 n = ( 1 − t ) P 0 n − 1 + t P 1 n − 1 ,   t ∈ [ 0 , 1 ] (3-7) P_0^n=(1-t)P_0^{n-1}+tP_1^{n-1},\text{ }t\in[0,1] \tag{3-7} P0n=(1t)P0n1+tP1n1, t[0,1](3-7)

进一步可以得到贝塞尔曲线的递推计算公式:

P i k { P i ,   k = 0 ( 1 − t ) P i k − 1 + t P i + 1 k − 1 ,   k = 1 , 2 , . . . , n ;   i = 0 , 1 , . . . , n − k P_i^k \begin{cases} P_i , \text{ } k=0 \\ (1-t)P_i^{k-1}+tP_{i+1}^{k-1} , \text{ } k=1,2,...,n; \text{ } i=0,1,...,n-k \end{cases} Pik{Pi, k=0(1t)Pik1+tPi+1k1, k=1,2,...,n; i=0,1,...,nk

这就是德卡斯特里奥算法(De Casteljau’s algorithm)

参考

[1] https://www.jianshu.com/p/0c9b4b681724
[2] https://www.jianshu.com/p/8f82db9556d2

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