第三讲 三维空间的刚体运动

三维刚体运动，由平移和旋转构成。平移简单，旋转就麻烦些了。这一章的重点就是描述旋转，设计核心概念为：旋转矩阵，变换矩阵，四元数以及欧拉角。

一、旋转矩阵

1、向量的内积、外积及其几何意义

（1）内积a.b = |a|*|b|*cos，结果是一个数值而非向量，几何上表示向量间的投影关系

（2）外积a x b = a^b，结果是一个垂直于a,b向量构成的平面的向量，大小为|a|*|b|*sin，很容易注意到，其大小是a与b围成的三角形的面积，所以我们也把这样的结果叫做有向面积。显然，根据外积的值能推断出a到b的旋转角度，所以我们也可以用外积表示向量的旋转。

2、坐标系间的欧式变换

欧拉变换公式：a' = Ra + t

a'----物体位姿相对新坐标系的位姿

R----旋转矩阵，它是欧拉变换的关键

a----物体相对原坐标系的位姿

t----物体的平移

3、旋转矩阵的性质：

（1）它是一个行列式为1的正交矩阵(与其转置矩阵相乘结果为单位矩阵)，反之行列式为1的正交矩阵也一定是旋转矩阵

（2）特殊正交群：SO(n) = {R|R*R' = I,det(R) = 1}，其中R为一个nxn矩阵，R'是其转置矩阵，det(R)为其行列式。SO(n)就是n维空间中旋转矩阵的集合，当然我们讨论最多的就是SO(3)。

（3）有了旋转矩阵，我们描述相机位姿时，可以直接聊矩阵了，而无需从基（坐标系）开始。体现在欧拉变换公式上，公式右边的R和t都是绝对量，只有输入值（向量a）是一个相对量。就是说，我们用R和t两个参数，就完整的描述了坐标变换关系。

4、变换矩阵：如果坐标系经过多次变换，那么对应的欧拉变换式就会变得越来越复杂，所以我们引入了变换矩阵。这是一个数学技巧，它将旋转和平移都放入同一个矩阵（变换矩阵）中，使得多次变换对应的欧拉变换式依然是齐次的：C=T2*B = T2*T1*A。

二、Eigen实践

本节讲eigen的用法。这里有一份代码比较注释比较详细，就不写那么多了。我就在这里留点简介吧

1、eigen是一个流行的矩阵工具库，有了它，我们在进行矩阵、向量的计算时，就方便得多

2、作为一个软件工具库，它有个特点就是，只有h文件而没有.a、.so等二进制文件，所以在CMakeLists.txt中，我们只需要引入eigen库的头文件目录（include_directories，但更好的方式还是find_package），而无须链接库文件。

3、在mac上的使用步骤：

（1）先执行locate eigen3查看是否安装，ubuntu也可执行此命令

（2）homebrew安装eigen

（3）CMakeLists.txt中添加include_directories("/usr/include/eigen3")，ubuntu中也是这个默认路径。不同人默认路径可能不同，用find_package最好。

三、旋转向量与欧拉角：

1、意义：利用向量外积的定义，方向表示旋转方向（右手定则），大小表示旋转角度大小。

2、旋转向量与旋转矩阵之间有一个换算关系，背下来。

3、欧拉角：偏航-俯仰-滚转，很容易理解

四、四元数：

1、意义：对照复数来理解，实际上乘以虚数部分，就是旋转；

2、四元数与旋转的对应关系，背下来；

3、四元数的运算法则，只能理解加记忆了；

4、四元数与旋转向量、旋转矩阵的对应关系；

五、实践：visualizeGeometry

这里遇到的麻烦主要是pangolin的导入

1、跟着github地址上的步骤编译

2、执行sudo make install指令，成功后在/usr/local/include中生成了pangolin目录，将该目录添加到header search paths中，要报错，没解决

3、果断将跟着github上的https://github.com/gaoxiang12/slambook/tree/master/ch3/visualizeGeometry方式，使用cmake编译，运行成功！！