Unity3D--四元数【Quaternion】

   四元数

    定义：简单来说，四元数本质上是一种高阶复数，是一个四维空间，相对于复数的二维空间。（我们高中的时候应该都学过复数，一个复数由实部和虚部组成，即x = a + bi，i是虚数单位，如果你还记得的话应该知道i^2 = -1。而四元数其实和我们学到的这种是类似的，不同的是，它的虚部包含了三个虚数单位，i、j、k，即一个四元数可以表示为x = a + bi + cj + dk。）

    在Unity 中，tranform组件有一个变量名为rotation，它的类型就是四元数。 

    而 rotation是属于一种旋转，说到旋转就简单有三种：

    1. 矩阵旋转

• • 优点：
    • 旋转轴可以是任意向量；
  • 缺点：
    • 旋转其实只需要知道一个向量+一个角度，一共4个值的信息，但矩阵法却使用了16个元素；
    • 而且在做乘法操作时也会增加计算量，造成了空间和时间上的一些浪费；

    2. 欧拉旋转

• • 优点：
    • 很容易理解，形象直观；
    • 表示更方便，只需要3个值（分别对应x、y、z轴的旋转角度）；但按我的理解，它还是转换到了3个3*3的矩阵做变换，效率不如四元数；
  • 缺点：
    • 之前提到过这种方法是要按照一个固定的坐标轴的顺序旋转的，因此不同的顺序会造成不同的结果；
    • 会造成万向节锁（Gimbal Lock）的现象。这种现象的发生就是由于上述固定坐标轴旋转顺序造成的。理论上，欧拉旋转可以靠这种顺序让一个物体指到任何一个想要的方向，但如果在旋转中不幸让某些坐标轴重合了就会发生万向节锁，这时就会丢失一个方向上的旋转能力，也就是说在这种状态下我们无论怎么旋转（当然还是要原先的顺序）都不可能得到某些想要的旋转效果，除非我们打破原先的旋转顺序或者同时旋转3个坐标轴。
    • 由于万向节锁的存在，欧拉旋转无法实现球面平滑插值；
      

      3. 四元数旋转

• • 优点：
    • 可以避免万向节锁现象；
    • 只需要一个4维的四元数就可以执行绕任意过原点的向量的旋转，方便快捷，在某些实现下比旋转矩阵效率更高；
    • 可以提供平滑插值；
  • 缺点：
    • 比欧拉旋转稍微复杂了一点点，因为多了一个维度；
    • 理解更困难，不直观；

          說完了旋转的优缺点，不得不把四元数比较的难理解的部分粘贴出来；

         

          基础含义和公式计算

   我们可以使用一个四元数 q = ( ( x , y , z ) sin

θ2 , cosθ2) 来执行一个旋转。具体来说，如果我们想要把空间的一个点P绕着单位向量轴u = (x, y, z)表示的旋转轴旋转 θ角度，我们首先把点P扩展到四元数空间，即四元数p = (P, 0)。那么，旋转后新的点对应的四元数（当然这个计算而得的四元数的实部为0，虚部系数就是新的坐标）为：

p′=qpq−1

其中， q = (cosθ2 , ( x , y , z ) sin θ2 ) ， q−1=q∗N(q) ，由于u是单位向量，因此
N(q)=1，即q−1=q∗。右边表达式包含了四元数乘法。相关的定义如下：

• 四元数乘法：q1q2=(v1→×v2→+w1v2→+w2v1→,w1w2−v1→⋅v2→)
  
  
• 共轭四元数：q∗=(−v⃗ ,w)
  
  
• 四元数的模：N(q) = √(x^2 + y^2 + z^2 +w^2)，即四元数到原点的距离
  
  
• 四元数的逆：q−1=q∗N(q)
  
  

           例子： 把点P(1, 0, 1)绕旋转轴u = (0, 1, 0)旋转90°，求旋转后的顶点坐标。首先将P扩充到四元数，即p = (P, 0)。而q = (u*sin45°, cos45°)。求

p′=qpq−1 的值。建议大家一定要在纸上计算一边，这样才能加深印象，连笔都懒得动的人还是不要往下看了。最后的结果p` = ((1, 0, -1), 0)，即旋转后的顶点位置是(1, 0, -1)。

          四元数和其他类型的转换

         1. 轴角到四元数 ： 给定一个单位长度的旋转轴(x, y, z)和一个角度 θ 。对应的四元数为：

q = ( ( x , y , z ) sin θ2 , cosθ2) 

          2. 欧拉角到四元数：

                 给定一个欧拉旋转(X, Y, Z)（即分别绕x轴、y轴和z轴旋转X、Y、Z度），则对应的四元数为：

x = sin(Y/2)sin(Z/2)cos(X/2)+cos(Y/2)cos(Z/2)sin(X/2)
y = sin(Y/2)cos(Z/2)cos(X/2)+cos(Y/2)sin(Z/2)sin(X/2)
z = cos(Y/2)sin(Z/2)cos(X/2)-sin(Y/2)cos(Z/2)sin(X/2)
w = cos(Y/2)cos(Z/2)cos(X/2)-sin(Y/2)sin(Z/2)sin(X/2)
q = ((x, y, z), w)

      官方文档的链接：

       http://www.euclideanspace.com/maths/geometry/rotations/conversions/eulerToQuaternion/index.htm

       Euler to Quaternion

      Quaternion To Euler
      AngleAxis to Quaternion
      Quaternion to AngleAxis

        3. 四元数的插值

          插值指的是球面线性插值。 设t是一个在0到1之间的变量。我们想要基于t求Q1到Q2之间插值后四元数Q。它的公式是：

Q3  = (sin((1-t)A)/sin(A))*Q1 + (sin((tA)/sin(A))*Q2)

Q = Q3/|Q3|，即单位化

        四元数创建

       四元数在Unity 中常用的一些方法： http://www.ceeger.com/Script/Quaternion/Quaternion.AngleAxis.html