错排详解及案例

错排详解及案例

一、错排详解

问题：现有10本书按照顺序摆放，现要求重新排列，使得新的书的顺序中每一本书都不在原来的位置，求有多少种排列方式？

• 这个问题推广一下，就是错排问题，是组合数学中的问题之一。
• 考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D(n)。 研究一个排列错排个数的问题，叫做错排问题或称为更列问题
• OK，现在详细分析这个问题，我们要的最终结果就是书的编号与所在位置的编号都不相同，在这里，我们把n本书的错排操作数记为D(n)，那n-1本就是D(n-1)，n-2本就是D(n-2)啦，下面，我们把放置问题分为两步（初始位置号与书的编号相同）：
• 第一步：
• 我们取一本书，书的编号为m，现在这本书就在我们手中，注意，按照题目要求，最开始的时候这本书的位置号也是m号，按照题目要求，我们现在放书时不能放回这个位置m了，而是要选择其他位置，那么有多少种选择呢
• 想一下，总共有n本书，n个位置，现在我手里这本书不能把它放到位置m，那么剩下的n-1个位置我当然就是随便扔啦，也就是n-1种扔法
• 好，现在，我选择了位置k，我决定把手里这本书放到位置k这里，记住这个是位置编号k，那么，我肯定要把原来这里的编号为k的书拿出来，再把这本编号为n的书放进去喽。所以，现在我们手里的书的编号是k，我们需要对编号为k的书进行讨论：
• 第二步：
• 我们把手里这本编号为k的书本放到书架，注意，放的过程中我们又面临两种情况：
• 可以想到，此时此刻现在书架上编号m的位置是空着的，所以我们可以选择放在这个位置上，书的编号为k，位置编号为m，没错，满足题意，这是第一种情况
• 还有一种就是我不选择这个空着的位置m，我再重新选择一个新的位置，我们称之为第二种情况。下面详细分析：
• 第一种情况：
• 我把这本编号为k的书放到这个编号为m的地址，那现在我们面前是什么状况呢，就是位置k和位置m的书交换位置，也就是位置号不等于书号，即满足错排
• 总共n个位置，我们只动了m和k这两个位置，那么剩下的n-2个位置还是纹丝不动，保持一一对应的关系
• 那么对于剩下的这n-2本书的错排操作，我们又回到了问题的起点，求n-2本的错排操作数D(n-2)，结合第一步，我们可以得到第一种情况总共有(n-1)*D(n-2)种方法
• 第二种情况：
• 我们不选择这个空着的位置m啦，我们手持这本编号为k的书，我们从除了位置m以及位置k的剩下的n-2个位置中选择一个位置
• OK，我们现在开始想，我手里这本书不能放在这个位置m，嗯嗯，除了第一步我们放置的那本书m不用管了，我们还要把手里这本和剩下的n-2本，也就是n-1本，同时又要求手里这本k还不能放到位置m，这是不是就相当于把手里这本加上剩下的n-2本也就是n-1本书进行错排呢
• 哇哇哇，想一想，错排的定义，要求每本书都不能呆在某一个特定位置，是不是刚好符合呢qwq，所以，现在的问题就到了求手里这本和剩下的n-2本总共是n-1本书的错排操作数，我们记为D(n-1)，结合第一步，我们得出这第二种情况共有(n-1)*D(n-1)种方法
• 好的，现在我们总结两种情况，结果进行相加，就可以得到递推公式啦！递推公式为：D(n)=(n-1)*[D(n-1)+D(n-2)]

二、案例

1.年会抽奖

• 问题描述

今年公司年会的奖品特别给力，但获奖的规矩却很奇葩：

1. 首先，所有人员都将一张写有自己名字的字条放入抽奖箱中；
2. 待所有字条加入完毕，每人从箱中取一个字条；
3. 如果抽到的字条上写的就是自己的名字，那么“恭喜你，中奖了！”
   现在告诉你参加晚会的人数，请你计算有多少概率会出现无人获奖？

输入描述

输入包含多组数据，每组数据包含一个正整数n（2≤n≤20）。 

输出描述

对应每一组数据，以“xx.xx%”的格式输出发生无人获奖的概率。

示例1

输入
2

输出
50.00%

• 代码

#include
using namespace std;
 
double luck(double n)
{
	if(n == 1 || n == 2)
	{
		return n - 1;
	}
	
	return ((n - 1)*(luck(n - 1) + luck(n - 2)));
}
	
int main()
{
	double n;
	while (cin >> n)
	{
		//错排的方案数
		double lu = luck(n);

		//总的方案数
		double all = 1;
		for (double i = 1;i <= n;++i)
		{
			all *= i;
		}
		
		//概率
		lu = lu / all*100;
		
		printf("%.2f%%\n", lu);
	}
	return 0;
}

2.三国佚事——巴蜀之危

• 问题描述

话说天下大势，分久必合，合久必分。。。却道那魏蜀吴三国鼎力之时，多少英雄豪杰以热血谱写那千古之绝唱。古人诚不我欺，确是应了那句“一将功成万骨枯”。
是夜，明月高悬。诸葛丞相轻摇羽扇，一脸愁苦。原来是日前蜀国战事吃紧，丞相彻夜未眠，奋笔急书，于每个烽火台写下安排书信。可想，这战事多变，丞相运筹 帷幄，给诸多烽火台定下不同计策，却也实属不易。

谁成想这送信小厮竟投靠曹操，给诸葛丞相暗中使坏。这小厮将每封书信都投错了烽火台，居然没有一封是对的。不多时小厮便被抓住，前后之事却也明朗。这可急坏了诸葛丞相，这书信传错，势必会让蜀军自乱阵脚，不攻自破啊! 诸葛丞相现在想知道被这小厮一乱，这书信传错共有多少种情况。

Input

 题目有多组数据，处理到文件结尾，丞相共写了n（1 <= n <= 20）封书信，输入一个正数n。

Output

   输出书信传错的情况数。

Sample Input

1
3
6
Sample Output

0
2
265

#include 
typedef long long LL;

LL f[50] ; 
int main()
{
	f[0] = 0 ;
	f[1] = 0 ;
	f[2] = 1 ;
	
	int n ;
	for(int i = 3 ;i<= 20 ; i++)
	{
		f[i] = (i - 1) * (f[i - 1] + f[i - 2]) ;
	}
	
	while(~scanf("%d",&n))
	{
		printf("%lld\n",f[n]);
	}
	
	return 0 ;
}