面试题 08.11. 硬币

面试题 08.11. 硬币 【中等题】【动态规划】

给定数量不限的硬币，币值为25分、10分、5分和1分，编写代码计算n分有几种表示法。(结果可能会很大，你需要将结果模上1000000007)

输入: n = 5
输出：2
解释: 有两种方式可以凑成总金额:
5=5
5=1+1+1+1+1

输入: n = 10
输出：4
解释: 有四种方式可以凑成总金额:
10=10
10=5+5
10=5+1+1+1+1+1
10=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

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题目讲解

解法1：动态规划【二维数组】

【核心思想】

• dp[ i ][ j ] = dp[ i - 1 ][ j ] + dp[ i ][ j - coins[ i ] ]

【数据结构】

• 二维数组

【思路】

1. 令 dp[ i ][ j ] 为遍历到当下这个硬币时，组成金额 j 的方法数目
2. 有两种可能性（1）当前这个硬币没有取，dp[ i ][ j ] = dp[ i - 1 ][ j ]；（2）当前这个硬币取了，dp[ i ][ j ] = dp[ i ][ j - coins [ i ] ]。最后的结果是两者的和
3. 将状态转移方程翻译成代码，并处理边界条件

【代码】

public int waysToChange(int n) {
     int[][] dp=new int[4][n+1];
     int[] coins={1,5,10,25};

     for(int i=0;i<=n;i++)
         dp[0][i]=1;
     for(int i=0;i<4;i++)
         dp[i][0]=1;
         
     for(int i=1;i<4;i++){
         for(int j=1;j<=n;j++){
             if(j>=coins[i])
                 dp[i][j]=(dp[i-1][j]+dp[i][j-coins[i]])%1000000007;
             else
                 dp[i][j]=dp[i-1][j];
         }
     }
     return dp[3][n];
 }

解法2：动态规划【一维数组】

【核心思想】

• 根据状态转移方程，化简上面的方法

【数据结构】

• 一维数组

【思路】

1. 从上面的状态转移方程可以看出，dp[ i ][ j ]只与dp[ i - 1 ][ j ]和dp[ i ][ j - coins [ i ] ]有关，所以完全可以把第一个维度除掉，只用一个一维数组存储

【代码】

public int waysToChange2(int n) {
    int[] dp=new int[n+1];
    int[] coins={1,5,10,25};

    for(int i=0;i<=n;i++)
        dp[i]=1;
    
    for(int i=1;i<4;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(j>=coins[i])
                dp[j]=(dp[j]+dp[j-coins[i]])%1000000007;
        }
    }
    return dp[n];
}

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