最速降线

最速降线

Brachistochrone Problem证明

参考：数学之美: 两点之间最快的路径

推导

只需下落垂直高度，就可以知道这点的速度

根据能量守恒定律：

12mv2=mgy

得

v=2gy‾‾‾‾√

.

对于路径s上的每一点，

ds=dx2+dy2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=1+y′2‾‾‾‾‾‾‾√dx

,

又由

dt=dsv

, 总时间

T=∫p2p11+y′22gy‾‾‾‾‾‾‾‾√dx

剩下的推导暂时不会了。

最终可得最速降线的参数方程：

x=K(θ−sinθ)y=K(1−cosθ)

运行轨迹是这样的：

用python画出来：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt 

def plot_speed_line(K):
    theta = np.linspace(-3*np.pi, 3*np.pi, 100)
    x = K * (theta - np.sin(theta))
    y = K * (1 - np.cos(theta))
    plt.figure(figsize=(8,6))
    plt.axis('equal')
    plt.plot(x, y, 'r', linewidth=2.0)
    plt.show()

plot_speed_line(8)