hdu 2067 卡特兰数打表（求解多边形，圆形等分割问题，括号匹配）(一直在更新。。。)

百度百科：https://baike.baidu.com/item/%E5%8D%A1%E7%89%B9%E5%85%B0%E6%95%B0/6125746?fr=aladdin

不错的网易博客：http://blog.163.com/lz_666888/blog/static/1147857262009914112922803/

卡特兰数又称卡塔兰数，英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。

令h(1)＝1,h(0)=1，catalan数满足递归式：

　　h(n)= h(1)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(1) (其中n>=2)
　　另类递归式：
　　h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);

　　该递推关系的解为：
　　h(n+1)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)

其前几项为 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...百科上有的写的很深，不好理解，随着看的博文多了，理解的会深一些 。

分割问题

自己推的代码如下,当时并不知道这是卡特兰数，比赛时用了一个小时左右硬生生的推出来的：

#include

int main()
{
	int n;
	long long sum;
	long long dp[3005];
	dp[0]=1; dp[1]=1; dp[2]=2; dp[3]=5;
	for(int i=4;i<=3000;i++)
	{
		int tem=i;
		int cnt=tem/2;
		sum=0;
		for(int j=0;j

再看看比较官方的代码：

#include
#define mod 100000007

int main()
{
	int n;
	long long sum;
	long long dp[3005];
	dp[0]=1; dp[1]=1;
	for(int i=2;i<=3002;i++)
	{
		dp[i]=0;
		for(int j=0;j

官方代码Java大数版，在不要求取余的情况下用。

import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;


public class Main {

	public static void main(String[] args) {
		int n;
		Scanner cin = new Scanner(System.in);
		BigInteger[] bb = new BigInteger[105];
		bb[0] = BigInteger.valueOf(1);
		bb[1] = BigInteger.valueOf(1);
		
		for (int i = 2; i <= 100; i++) {
			bb[i] = BigInteger.valueOf(0);
			for (int j = 0; j < i; j++)
				bb[i] = bb[i].add(bb[j].multiply(bb[i - j - 1]));
		}
		while (cin.hasNext()) {
			n = cin.nextInt();
			if (n == -1)
				break;
			System.out.println(bb[n]);
		}
	}
}

另类递归式：

　　h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1); 在计算时就算是double 类型精度也不够,只能算前30个数，所以我用了java高精度，这里以hdu 2067为例。

代码如下：

import java.math.BigDecimal;
import java.util.Scanner;

public class Main {

	public static void main(String[] args) {
		Scanner cin=new Scanner(System.in);
		BigDecimal [] BB = new BigDecimal [40];
		int inde=0;
		BB[0]=BigDecimal.valueOf(1);
		BB[1]=BigDecimal.valueOf(1);
		for(int i=2;i<=36;i++)
		{
			BB[i]=BigDecimal.valueOf(4*i-2).multiply(BB[i-1]);
			BB[i]=BB[i].divide(BigDecimal.valueOf(i+1));
		}
		int n;
		while(cin.hasNext())
		{
			n=cin.nextInt();
			if(n==-1)
				break;
			System.out.printf("%d %d ",++inde,n);
			System.out.println(BB[n].multiply(BigDecimal.valueOf(2)));
		}
		cin.close();
	}
}

括号匹配问题：

对于n对括号，合法的排列共有C(n,2n) - C(n+1,2n)种.

分析：n对括号，n个左括号，n个右括号；这里可以假设有2n个空，随机选出n空，填入左括号，剩下的由右括号填充。

以两对括号为例 :

先把红色的放上。剩下的是填充的，这样前一半的递推式就解决了。

然后，分析这里面应该剔除的 C(n+1,2n) 种，这里这个方法十分的巧妙；首先假设左括号为1，右括号为-1，从左到右依次加起来，如果这个这个序列不合格的，必然存在一个k使得1~k的和为-1；将1~k这k个括号反转（转化一下，求解），则这n对括号会分为n+1个左括号，n-1个有括号；

综上所述，这样的序列一共C(n+1,2n)种，都是不合法的。

所以C(n,2n) - C(n+1,2n)，得证。