leetcode **315. 计算右侧小于当前元素的个数（逆序数对数）（待深究）

【题目】**315. 计算右侧小于当前元素的个数

给定一个整数数组 nums，按要求返回一个新数组 counts。数组 counts 有该性质： counts[i] 的值是 nums[i] 右侧小于 nums[i] 的元素的数量。

示例:

输入: [5,2,6,1]
输出: [2,1,1,0] 
解释:
5 的右侧有 2 个更小的元素 (2 和 1).
2 的右侧仅有 1 个更小的元素 (1).
6 的右侧有 1 个更小的元素 (1).
1 的右侧有 0 个更小的元素.

【解题思路1】冒泡排序/暴力算法

稳定的排序方法都可求解这个问题。冒泡排序每交换一次消除一对逆序，使用一个索引数组记录消除的次数。
抛开部分design题（比如skiplist），本题涉及leetcode数据结构的几个天花板——线段树（segment tree）、树状数组（也有叫binary index tree，二叉索引树）

【解题思路2】插入排序

从右往左进行插入排序，根据插入的位置计算右边小于该元素的个数。
优化：先使用二分法查找位置，再插入。可以降低内循环查找的时间复杂度O(nlogn)，但是元素交换的次数还是O(n2)。
只要把输入数组反过来插入一个有序数组（降序）中，插入的位置就是在原数组中位于它右侧的元素的个数。

初始状态：
原数组为：[5,2,6,1]
排序数组：[]
结果数组：[]

第一轮：
原数组为：[5,2,6]
排序数组：[1]
插入的下标为 0，记入结果数组：[0]

第二轮：
原数组为：[5,2]
排序数组：[1,6]
插入的下标为 1，记入结果数组：[0,1]

第三轮：
原数组为：[5]
排序数组：[1,2,6]
插入的下标为 1，记入结果数组：[0,1,1]

第四轮：
原数组为：[]
排序数组：[1,2,5,6]
插入的下标为 2，记入结果数组：[0,1,1,2]

class Solution {
    public List<Integer> countSmaller(int[] nums) {
        if(nums == null || nums.length == 0) return new LinkedList<>();
        //使用链表头插法
        LinkedList<Integer> res = new LinkedList<>();
        int len = nums.length;
        //反向插入排序
        for(int i = len - 2; i >= 0; i--){
            int j = i + 1, temp = nums[i];
            while(j < len && nums[j] >= temp){
                nums[j - 1] = nums[j];
                j++;
            }
            nums[j - 1] = temp;
            //len - j就表示计数个数
            res.addFirst(len - j);
        }
        //添加最后一个数
        res.add(0);
        //LinkedList也是List
        return res;
    }
}

【解题思路3】归并排序 + 索引数组

比较两个子数组，后数组的元素小于前数组，产生逆序。
优化：可以在merge方法的参数列表中添加aux辅助数组，每次sort完成后，下一组的merge交换index和aux，这样可以避免来回复制。

class Solution {

    private int[] index;
    private int[] aux;
    private int[] counter;

    public List<Integer> countSmaller(int[] nums) {
        List<Integer> res = new ArrayList<>();
        int len = nums.length;
        if (len == 0) return res;
        aux = new int[len];
        counter = new int[len];
        index = new int[len];
        for (int i = 0; i < len; i++) index[i] = i;
        //归并排序并统计
        mergeAndCount(nums, 0, len - 1);
        //遍历获取统计结果
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            res.add(counter[i]);
        }
        return res;
    }
    //归并排序入口
    private void mergeAndCount(int[] nums, int l, int r) {
        if (l == r) return;
        int m = l + (r - l) / 2;
        mergeAndCount(nums, l, m);
        mergeAndCount(nums, m + 1, r);
        //检查已排序的部分
        if (nums[index[m]] > nums[index[m + 1]]) {
            sortAndCount(nums, l, m, r);
        }
    }
    //子数组排序并统计
    private void sortAndCount(int[] nums, int l, int m, int r) {
        for(int i = l; i <= r; i++) aux[i] = index[i];
        int i = l, j = m + 1;
        for (int k = l; k <= r; k++) {
            if (i > m) {
                index[k] = aux[j++];
            } else if (j > r) {
                index[k] = aux[i++];
                //排序的是索引数组，仍然可以通过索引找到原来数组中的元素，并更新统计值
                //右边先走完，那么右边的都是逆序
                counter[index[k]] += (r - m);
            } else if (nums[aux[i]] <= nums[aux[j]]) {
                index[k] = aux[i++];
                //插入左边的元素时，统计已经产生的逆序部分
                counter[index[k]] += (j - m - 1);
            } else {
                index[k] = aux[j++];
            }
        }
    }
}