8.1 BP神经网络极简史
在神经网络（甚至深度学习）参数训练中，BP(Back Propagation)算法非常重要，它都占据举足轻重的地位。在提及BP算法时，我们常将它与杰弗里•辛顿（Geoffrey Hinton）的名字联系在一起。但实际上，辛顿还真不是第一个提出BP算法的人，就像爱迪生不是第一个发明电灯的人一样。但人们记住的，永远都是那个让电灯“飞入平常百姓家”的功勋人物爱迪生，而不是它的第一发明人美国人亨利·戈培尔(Henry Goebel)。
如果说辛顿就是BP算法的“爱迪生”，那谁是BP算法的“戈培尔”呢？他就是保罗·沃伯斯（Paul Werbos）。1974年，沃伯斯在哈佛大学博士毕业。在他的博士论文里，首次提出了通过误差的反向传播来训练人工神经网络[1]。事实上，这位沃伯斯不光是BP算法的开创者，他还是循环神经网络（Recurrent Neural Network，RNN）的早期开拓者之一。在后期的系列入门文章中，我们还会详细介绍RNN，这里暂且不表。
说到BP算法，我们通常强调的是反向传播，但其实呢，它是一个典型的双向算法。更确切来说，它的工作流程是分两大步走：（1）正向传播输入信号，输出分类信息（对于有监督学习而言，基本上都可归属于分类算法）；（2）反向传播误差信息，调整全网权值（通过微调网络参数，让下一轮的输出更加准确）。
下面我们分别举例，说明这两个流程。为了简化问题描述，我们使用如图8-1所示的最朴素三层神经网络。在这个网络中，假设输入层的信号向量是[-1, 1]，输出层的目标向量为[1, 0]，“学习率”η为0.1，权值是随机给的，这里为了演示方便，分别给予或“1”或“-1”的值。下面我们就详细看看BP算法是如何运作的？
8.2.1正向传播信息
正向传播信息，简单说来，就是把信号通过激活函数的加工，一层一层的向前“蔓延”，直到抵达输出层。在这里，假设神经元内部的激活函数为Sigmod（
）。之所以选用这个激活函数，主要因为它的求导形式非常简洁而优美：
事实上，类似于感知机，每一个神经元的功能都可细分两大部分：（1）汇集各路链接带来的加权信息；（2）加权信息在激活函数的“加工”下，神经元给出相应的输出，如图8-2所示。
于是，在正向传播过程中，对于f1(e)f1(e)神经元的更新如图8-3所示，其计算过程如下所示：
接着，在同一层更新f2(e)f2(e)的值，过程和计算步骤类似于f1(e)f1(e)，如图8-4所示：
接下来，信息正向传播到下一层（即输出层），更新神经元3的f3(e)f3(e)（即输出y1y1的值），如图8-5所示。
然后，类似地，计算同在输出层求神经元f4(e)（即输出y2）的值，如图8-6所示。
到此，在第一轮信号前向传播中，实际输出向量已计算得到y′=[0.65,0.59]T，但我们预期输出的向量（即教师信号）是y=[1,0]T，这二者之间是存在“误差”的。于是，重点来了，下面我们就用“误差”信息反向传播，来逐层调整网络参数。为了提高权值更新效率，这里就要用到下文即将提到的“反向模式微分法则（chain rule）”。
8.2.2 求导中的链式法则
（砰！砰！砰！敲黑板！请注意：如下部分是BP算法最为精妙之处，值得细细品味！）
在前面信号正向传播的示例中，为了方便读者理解，我们把所有的权值都暂时给予了确定之值。而实际上，这些值都是可以调整的，也就是说其实它们都是变量，除掉图8-1中的所有确定的权值，把其视为变量，得就到更为一般化的神经网络示意图8-7。
这里为了简化理解，我们暂时假设神经元没有激活函数（或称激活函数为y=x），于是对于隐含层神经元，它的输出可分别表示为：
然后，对于输出层神经元有：
于是，损失函数L可表示为公式（8.2）：
这里YY为预期输出值向量(由y1,y2,...,yi,...等元素构成)，实际输出向量为fi(w11,w12,...,wij,...,wmn)。对于有监督学习而言，在特定训练集合下，输入元素xi和预期输出yiyi都可视为常量。由此可以看到，损失函数LL，在本质上，就是一个单纯与权值wij相关的函数（即使把原本的激活函数作用加上去，除了使得损失函数的形式表现得更加复杂外，并不影响这个结论）。
于是，损失函数L梯度向量可表示为公式（8.3）：
其中，这里的eij是正交单位向量。为了求出这个梯度，需要求出损失函数LL对每一个权值wij的偏导数。
BP算法之所以经典，部分原因在于，它是求解这类“层层累进”的复合函数偏导数的利器。为啥这么说呢？下面，我们就列举一个更为简化但不失一般性的例子来说明这个观点（以下案例参考了Chris Olah的博客文章[3]）。
假设有如下一个三层但仅仅包括a、b、c、d和e等5个神经元的网络，在传递过程中，c、d和e神经元对输入信号做了简单的加工，如图8-8所示。
假设变量aa影响cc，此时我们想弄清楚a是如何影响c的。于是我们考虑这么一个问题，如果a变化一点点，那么c是如何变化的呢？我们把这种影响关系定义为变量c相对于变量a的偏导数，记做∂c/∂a。
利用高等数学的知识，我们很容易求得，对于直接相连的神经元（如a对c，或b对d），可利用“加法规则”或“乘法规则”直接求出。例如，利用加法规则，∂c/∂a可表示为：
而对于表达式为乘法的求偏导规则为：
那么，对于间接相连的神经元，比如aa=对e，如果我们也想知道a变化一点点时e变化多少，怎么办呢？也就是说，偏导数∂e/∂a该如何求呢？这时，我们就需要用到链式法则了。
这里假设a=2，b=1。如果aa的变化速率是1，那么c的变化速率也是1（因为∂c/∂a=1)。类似地，如果c的变化速率为1，那么e的变化速率为2（因为∂e/∂c=d=2）。所以相对于a变化1，e的变化为1×2=2。这个过程就是我们常说的“链式法则”，其更为形式化的表达为（如图8-9所示）：
a对e的“影响”属于单路径的影响，还比较容易求得，但这并不是我们关注的重点。因为在神经网络中，神经元对神经元的连接，阡陌纵横，其影响也是通过多条路径“交织”在一起的。在图8-9中，我们研究一下b对e的影响，就能比较好理解这一工作机理。显然，b对e的影响，也可表达为一个偏导关系：
从图8-9可以看出，b对e影响，其实是“兵分两路”：（1）b通过影响c，然后通过c影响e；（2）b通过影响d，然后通过d影响e。这就是多维变量（这里“多”仅为2）链式法则的“路径加和”原则。
这个原则，看起来简单明了，但其实蕴藏着巨大代价。因为当网络结构庞大时，这样的“路径加和”原则，很容易产生组合爆炸问题。例如，在如图8-10所示的有向图中，如果X到Y有三条路径（即X分别以α、β和χ的比率影响Y），Y到Z也有三条路径（Y分别以δ、ε和ξ的比率影响Z）。
于是，很容易根据路径加和原则得到X对Z的偏导数：
上面用到的求偏导数方法，可称之为“前向模式微分（forward-mode differentiation）”，如图8-11-（a）所示。当网络结构简单时，即使X到Z的每一个路径都被“临幸（遍历）”一遍，总共才有 3×3=9条路径，但一旦网络结构的复杂度上去了，这种“前向模式微分”，就会让求偏导数的次数和神经元个数的平方成正比。这个计算量，就很可能是成为机器“难以承受的计算之重”。
有道是“东方不亮西方亮”。为了避免这种海量求导模式，数学家们另辟蹊径，提出了一种称之为“反向模式微分（reverse-mode differentiation）”。取代公式（8.4）的那种简易的表达方式，我们用公式（8.5）的表达方式来求X对Z的偏导：
或许你会不屑一顾，这又是在搞什么鬼？把公式（8.4）恒等变换为公式（8.5）又有什么用呢？
你可别急，这背后大有玄机，且听我慢慢道来。
前文提到的前向模式微分方法，其实就是我们在高数课堂上学习的求导方式。在这种求导模式中，强调的是某一个输入（比如X）对某一个节点（如神经元）的影响。因此，在求导过程中，偏导数的分子部分，总是根据不同的节点总是不断变化，而分母则锁定为偏导变量“∂X”，保持定不变（见图8-11-(a)）。
相比而言，反向模式微分方法则有很大不同。首先在求导方向上，它是从输出端（output）到输入端进行逐层求导。其次，在求导方法上，它不再是对每一条“路径”加权相乘然后求和，而是针对节点采纳“合并同类路径”和“分阶段求解”的策略。
拿8-11-(b)的例子来说，先求Y节点对Z节点的"总影响"（反向第一层）：
然后，再求节点X对节点Z的总影响（反向第二层）：
特别需要注意的是，∂Z/∂Y∂已经在第一层求导得到。在第二层仅仅需要求得∂Y/∂X，而∂Y/∂X∂ 容易求得(α+β+χ),然后二者相乘即可得到所求。这样一来，就大大减轻了第二层的求导负担。在求导形式上，偏导数的分子部分（节点）不变，而分母部分总是随着节点不同而变化，即[∂Z/∂]。
这样说来说去，好像还是不太明白！下面我们还是用图8-9所示的原始例子，对比二者的求导过程，一遍走下来，有了感性认识，你就能明白其中的差异。为了进一步方便读者理解，我们将图8-9重新绘制为图8-12的样子。
以求变量b偏导数的流程为例，我们先用前向模式微分法，来说明这种方法的求导过程。根据加法规则，对于求偏导值∂e/∂b的步骤可以分两步走：（1）求得所有输入（包括a和b）到终点e的每条路径上的偏导值乘积；（2）对所有条路径的导数值进行加和操作。
从8-12所示的图中，对于两个输入a和b，它们共有3条路径抵达终点e（分别计为①、②和③）。
对于第①条路径而言，输入a对e的影响为：
对于第②条路径而言，输入b对e的影响为：
对于第③条路径而言，输入b对e的影响为：
所以在整体上，输入a和b从三条路径上对e施加的“总影响”为：0+2+3=5.
或许读者已经注意到了，有些路径已经被冗余遍历了，比如在图8-12所示中，a→c→e（第①条路）和b→c→e（第②条路）就都走了路径c→e。
这些局部性的冗余也就罢了，更为“恶劣”的是，对于求∂e/∂a，上述三条路径，它们同样还得“一个都不能少”地跑一遍，如果求得的变量多了，这到底得有多少冗余啊！
可能你会疑问，对于∂e/∂b（∂e/∂a），第①（③）条路径明明可以不走的嘛？这种明智，是对人的观察而言的，而且是对于简单网络而言的。因为，如果网络及其复杂，人们可能就没有这么“慧眼识珠”，识别其中的路径冗余。
此外，对于计算机而言，有些时候，局部操作的“优化”，相对于整体操作的“规范化”，顶多算得上“奇淫巧技”，其优势可谓是“荡然无存”。有过大规模并行编程经验的读者，可能对这个观点会有更深的认知。
然而，同样是利用链式法则，反向模式微分方法就能非常机智地避开了这种冗余（下面即将讲到的BP算法，正是由于这么干，才有其优势的）。在这种方法中，它能做到对每一条路径只“临幸”一次，这是何等的节俭！下面我们来看看它是如何工作的。
相比于“前向模式微分法”是以输入（如图8-13-(a)所示的a和b）为锚点，正向遍历每一条可能的路径。反向模式微分法是以节点（或说神经元，如图8-13-(a)所示的e、c和d）为锚点，逐层分阶段求导，然后汇集每一个节点的外部路径（合并同类路径）。
如图8-13-(b)所示，在反向求导的第1层，对于节点c有：
类似的，对于节点d有：
在阶段性的求解完毕第一层的导数之后，下面开始求解第二层神经元变量的偏导。如图8-13-(c)所示，在反向第2层，对于节点a有如图8-14-(Ⅰ)所示的求导模式。
特别需要注意的是，8-14-(Ⅰ)所示的表达式“∂e/∂c×∂c/∂a”中左部“∂e/∂c”，已经在第1层求解过了，并“存储”在神经元cc中。此时，采用“拿来主义”，拿来就能用！这就是反向模式微分的精华所在！
类似地，在反向求导第2层，对于节点bb，由于它汇集“两路兵马”的影响，所以需要合并同类路径，有如图8-14-(Ⅱ)所示结果。
这样一来，如图8-13反向模式微分方法，每个路径仅仅遍历一次，就可以求得所有输出（如e节点）对输入（如a或b节点）的偏导，干净利落，没有任何冗余！
在第七章中，我们曾提到，“BP算法把网络权值纠错的运算量,从原来的与神经元数目的平方成正比，下降到只和神经元数目本身成正比。”其功劳，正是得益于这个反向模式微分方法节省的计算冗余
8.2.3 误差反向传播
有了前面“链式求导”的知识铺垫，下面我们就来细细讲解误差反向传播的过程。鉴于我们的系列文章是写给初学者（实践者）看的，下面我们尽量省略了其中较为复杂的推导公式，对该部分感兴趣的读者可参阅卡内基梅隆大学Tom Mitchell教授的经典著作《机器学习》[3]（对公式不感冒的读者，第一遍阅读可以直接跳过公式，直达图文解释部分）。
误差反向传播通过梯度下降算法，迭代处理训练集合中的样例，一次处理一个样例。对于样例d，如果它的预期输出（即教师信号）和实际输出有“误差”，BP算法抓住这个误差信号Ld，以“梯度递减”的模式修改权值。也就是说，对于每个训练样例d，权值wji的校正幅度为Δwji（需要说明的是，wji和wij其实都是同一个权值，wji表示的是神经元j的第i个输入相关的权值，这里之所以把下标“j”置于“i”之前，仅仅表示这是一个反向更新过程而已）：
在这里，Ld表示的是训练集合中样例d的误差，分解到输出层的所有输出向量，Ld可表示为：
其中：
yj表示的是第j个神经单元的预期输出值。
y′j表示的j个神经单元的实际输出值。
outputsoutputs的范围是网络最后一层的神经元集合。
下面我们推导出∂Ld/∂wji的一个表达式，以便在公式（8.7）中使用梯度下降规则。首先，我们注意到，权值wji仅仅能通过netj影响其他相连的神经元。因此利用链式法则有：
在这里，netj=∑iwjixji，也就是神经元jj输入的加权和。xji表示的神经j的第i个输入。需要注意的是，这里的xji是个统称，实际上，在反向传播过程中，在经历输出层、隐含层和输入层时，它的标记可能有所不同。
由于在输出层和隐含层的神经元对“纠偏”工作，承担的“责任”是不同的，至少是形式不同，所以需要我们分别给出推导。
（1）在输出层，对第i个神经元而言，省略部分推导过程，公式（8.8）的左侧第一项为：
为了方便表达，我们用该神经元的纠偏“责任（responsibility）”δ(1)描述这个偏导，即：
（2）对隐含层神经元j的梯度法则（省略了部分推导过程），有：
其中：
fj表示神经单元j的计算输出。
netj表示的是神经单元j的加权之和。
Downstream(j)表示的是在网络中神经单元jj的直接下游单元集合。
隐含层神经元的纠差职责，是通过计算前一步输出神经元的“责任”来实现的。
这里说的每层神经元“责任”，或者更为确切来说是“纠偏责任”，其实就是在8.2.2节讲到的“分阶段求解”策略。
在明确了各个神经元“纠偏”的职责之后，下面就可以依据类似于感知机学习，通过如下加法法则更新权值：
对于输出层神经元有：
对于隐含层神经元有：
在这里，η∈(0,1)表示学习率。在实际操作过程中，为了防止错过极值，η通常取小于0.1的值。hj为神经元j的输出。xjk表示的是神经单元j的第k个输入。
上面的公式依然比较抽象，难以理解。下面我们还是以前面的神经网络拓扑结构为例，用实际运算过程给予详细说明，以期望给与读者感性认识。
在这里，我们把每个神经元根据误差调参的“责任”记为δ，那么，根据公式（8.9）和（8.10），神经元3的“责任”可表示为：
在反向更新完毕输出层的权值后，下面。我们开始反向更新隐含层的网络权值，示意图如图8-17所示。
如果我们把反向传播误差的“职责（即δj）”，也看做一种特殊信息的话，那么在隐藏层的每个神经元都会有一个加权和影响，记为Δj，实际上，这里的Δj，就是公式（8.11）的加权求和Downstream(j)（其实也就是8.2.2所提及的“合并同类路径”）。
对于隐含层神经1，则有：
在计算出计算神经元1承担的“责任”之后，我们就可以更新与神经元1相连的两个输入变量权值：
类似的流程（示意图如图8-18所示），可以求得神经元2的累计加权影响有：
同样，计算出计算神经元2承担的“责任”之后，我们就可以更新与神经元2相连的两个输入变量权值：
从上面的推导过程，我们可以看到，经过一轮的误差逆传播，神经网络的权值前后确有不同。但由于学习率（即步长）较小（为0.1），所以前后的权值变化并不大(括号内的数值为原始权值)，如图8-19所示。
如此一来，整个网络的权值就全部得以更新。接下来，网络就可接受下一个训练样例，接着往下训练了，直到输出层的误差小于预设的容忍度。
BP算法，在很多场所的确非常有用。例如，1989年，Yann Lecun（又一位当下的深度学习大牛）等人就用BP算法，在手写邮政编码识别上有着非常成功的应用[5]，训练好的系统，手写数字错误率只有5%。Lecun借此还申请了美国专利，开了公司，发了一笔小财。
在发表BP算法之后的30年，2006年，辛顿等人在发表的有关“深度信念网”的经典论文中指出[8]，深度信念网（DBN）的组成元件就是受限玻尔兹曼机 (Restricted Boltzmann Machines, RBM)。而DBN的构建其实分两步走的：（1）单独“无监督”地训练每一层RBM网络，以确保特征向量在映射到不同特征空间时，能够尽可能多地保留特征信息；（2）在DBN的最后一层，设置BP网络，用以接收RBM的输出特征向量作为它的输入特征向量，然后“有监督”地训练实体关系分类器，对网络权值实施微调（Fine-Tune）。
现在你看到了，BP算法的影响力，一直渗透到“深度学习”骨子里！这就是为什么在讲深度学习时，我们绕不过BP算法的原因。
8.4 小结
在本章中，我们详细解释了反向传播（BP）算法，通过学习我们知道，BP算法其实并不仅仅是个反向算法，而是一个双向算法。也就是说，它其实是分两大步走：（1）正向传播信号，输出分类信息；（2）反向传播误差，调整网络权值。如果没有达到预期目的，重走回头路（1）和（2）。
BP算法很成功。但我们也要看到BP算法的不足，比如说会存在“梯度扩散（Gradient Diffusion）”现象，其根源在于对于非凸函数，梯度一旦消失，就没有指导意义，导致它可能限于局部最优。而且“梯度扩散”现象会随着网络层数增加而愈发严重，也就是说，随着梯度的逐层消减，导致它对调整网络权值的调整效益，作用越来越小，故此BP算法多用于浅层网络结构（通常小于等于3），这就限制了BP算法的数据表征能力，从而也就限制了BP的性能上限。
再比如说，虽然相比于原生态的BP算法，虽然它降低了网络参数的训练量，但其网络参数的训练代价还是不小，耗时非常“可观”。就拿LeCun的识别手写邮编的案例说事，其训练耗时就达3天之久。
再后来，与LeCun同在一个贝尔实验室的同事Vladimir Vapnik（弗拉基米尔·万普尼克），提出并发扬光大了支持向量机 (Support Vector Machine) 算法。
SVM作为一种分类算法，对于线性分类，自然不在话下。在数据样本线性不可分时，它使用了所谓“核机制(kernel trick)”，将线性不可分的样本，映射到高维特征空间 (high-dimensional feature space)，从而使其线性可分。自上世纪九十年代初开始，SVM逐渐大显神威，在图像和语音识别等领域，获得了广泛而成功的应用。
在手写邮政编码的识别问题上，LeCun利用BP算法，把错误率整到5%左右，而SVM在1998年就把错误率降到低至0.8%。这远超越同期的传统神经网络算法。
就这样，万普尼克又把神经网络研究送到了一个新的低潮！
在下一章中，我们将来聊聊“卷积神经网络”，这可是深度学习发展过程中的一个重要里程碑，希望你能关注。
8.5 请你思考
通过本章的学习，请你思考如下问题：
（1）正是由于神经网络具有强大的表示能力，“成也萧何，败也萧何”，BP算法常常遭遇“过拟合（overfitting）”，它可能会把噪音当做有效信号，你知道有什么策略来避免过拟合吗？
（2）利用梯度递减策略，BP算法常停止于局部最优解,而非全局最优解，这好比“只因身在此山中”，却不知“人外有人，山外有山”，你知道有什么方法可以改善这一状况吗？
（3）在BP算法流程中，我们看到的是反反复复的权值调整，而杰弗里•辛顿在文献[4]中提到的特征表示（representation），体现在什么地方？
【参考文献】
[1] Paul J. Werbos. Beyond Regression: New Tools for Prediction and Analysis in the Behavioral Sciences. PhD thesis, Harvard University, 1974
[2] Christopher Olah. Calculus on Computational Graphs: Backpropagation
[3]Tom Mitchell著.曾华军等译. 机器学习. 机器工业出版社. 2007.4
[4] Williams D, Hinton G. Learning representations by back-propagating errors[J]. Nature, 1986, 323(6088): 533-538.
[5] LeCun Y, Boser B, Denker J S, et al. Backpropagation applied to handwritten zip code recognition[J]. Neural computation, 1989, 1(4): 541-551.
[6]周志华. 机器学习. 清华大学出版社. 2016.1
[7] Mirosav Kubat著. 王勇等译. 机器学习导论. 机械工业出版社. 2016.11
[8] Hinton G E, Osindero S, Teh Y W. A fast learning algorithm for deep belief nets[J]. Neural computation, 2006, 18(7): 1527-1554.
文章作者：张玉宏，著有《品味大数据》一书。审校：我是主题曲哥哥。
（未完待续）