计算机调度算法 - NP-Hard问题 的 “背包问题” 的简单总结

 

 

 

欢迎访问未来最具有影响力的的算法搜索网站的雏形 http://www.comiscience.com/Algorithm

这也是我为这个网站写的自己的第一个课堂算法总结。

 

背包问题是一个NP-Hard问题（这个问题的概念我不叙述，请wiki或者参考其他书籍），也就是说我们不能用一个算法肯定能求出他的最优解，所以，我们必定会提出一个 启发性算法，尽量用一个算法可以较优化的解决该问题，也就是说较快速的、较准缺的给问题一个尽量好的答案

 

问题：

我们有n种物品，物品j的重量为p_j，价格为w_j。我们假定所有物品的重量和价格都是非负的。背包所能承受的最大重量为P。

我们如何做，才能携带不超过P的重量的物品，且使携带物品的价格总和最大？

 

 

我们先给出已有数据：

     1     2     3    4     5

p   5     2     7    4     3    该行为5个物品对应的重量

w   7    3     4     2     6   该行为5个物品对应的价格

 

P = 13  也就是说背包的重量总和不得超过13

 

 

我们使用一个布尔二叉树（如下图）的方式，去对该问题进行遍历。这个方法同样适合许多类似情况问题。

从根节点开始，如果我们装第一个物品，我们走左边的线路x1=1;如果不装，我们走右变得线路x1=0       后面的都是一样的

 

（我不在这里多阐述文字了，因为对于一些没有基础的人，过多的文字叙述会使他们迷失方向）

 

直入主题，如何解决：

 

首先，我们计算 w_j / p_j 们也就是说，我们可以知道每一个物品其“单位价格”。我们按照每个物品单位价格递减的顺序，向包里填充物品。

按照这样子的方法，我们相当于把包的重量占满了，并且这个包一定乘了最贵重的物品。但实际上，我们的物品不能被分割后放进背包，比如一个完好无损的电视可能很值钱，但是你把它掰开两半，那谁还会要。

 

我们考虑1：我们通过物品单位价格递减的顺序装进包里，这时理想状态下，包里应该是装了重量为13的物品，，装的物品应该是物品2、5、1，以及2/3个物品4。 那么，我们在包外面的物品的价格综合是4.67。

上面所计算的东西，是我们在下面的算法二叉树中需要的 “下界”。 也就是说，我们实际最多只能背这么多价值的物品，也就是不能剩下价值比这个更小的物品了。 如下图所示：

 

我们再考虑2：我们继续按照物品单位价格递减的顺序，找到，我们最差也能装多少值钱的东西。很简单，我们按照实际情况，把单位价格最高的前几个装进袋子即可。即，我们将物品2、5、1装进袋子，我们保证这3个物品可以不被切割的装进袋子里（注意，如此装这并不是最优解，因为后面可能还有各种物品可以往这里装）。此时，在袋子外面剩下的物品的价值，我们至少可以保证肯定在6和6以下。如下图所示：

 

到目前为止，我们得到了两个关键数字，6和4.67 这分别是下面要遍历的二叉树的上界和下界。也就是说，在树中，我们只考虑在背包外存放的物品价值大于等于4.67和小于等于6的节点。当我们找到一个在这个范围内的整数节点时，我们得到一个解。直到遍历结束，我们对比一个最优解。 注意，在遍历过程中，下界这个值会更新。

 

对于下面图的解释（因为是课堂笔记，有些符号我要定义）

LB:下界

UB:上界

S:已经被放进包里面的物品

N:被取消放进包里面的资格的物品

A:还没有放进包里面的物品，并且没有被取消资格。

 

关于具体的遍历过程请看下图（如不清楚，可点击下载看）：

 

 

 

就先写这么多，明天还要上课，这东西写了我1个多小时呢，学这个才花了20分钟。。我太无私了！

如果不懂，请联系我，或者去wiki

http://fr.wikipedia.org/wiki/Problème_du_sac_à_dos

 

目前为止，法语网站的讲解最全，但是不如我这个好理解哈！