悖论消解原理

[quote][B]以下是引用[I]paradoxes21[/I]在2002-12-6 1:53:54的发言：[/B][BR] :em18:  :em18:  :em18: 张铁声
（山西省社会科学院思维科学研究所，研究员，太原，030006）

“悖论”是一类简单得连中学生都能看懂、却使一代又一代一流思想家为之耗尽心力的超级难题。就这一点而言，它与数论中一些著名难题——如哥德巴赫猜想等颇为类似。若论重要程度，它较之后者也可说是有过之而无不及。这是因为，它似乎能从根本上动摇逻辑的可靠性乃至人类理性的根基，而不像后者那样影响仅局限于特定研究领域而无碍于大局。
“悖论”早在古希腊时代就已提出，很多大哲学家、大逻辑学家都试图解决它，但令人遗憾的是，人们一直未能找到公认的统一解法。
20世纪50年代初，大逻辑学家克林(S.C.Kleene)在《元数学导论》一书中总结此前半个世纪的“悖论”研究时不无遗憾地指出：“从悖论问题提出半个世纪以来，问题至今悬而未决，没有任何一种答案能得到普遍的认可。”二十几年后，他在为新版《大英百科全书》撰写的《数学基础》一文中仍坚持这一“悲观”看法：“现代悖论在古代的原型就是‘说谎者’悖论。……公元前四世纪的欧布里德斯提出：有一个人说：‘我现在说的这句话是谎话。’这句话，如真，即假；如假，则真。至今没有一个人能够使大家信服地明确指出悖论的推理中有任何谬误，从而解除悖论。”（转引自杨熙龄著《悖论文献访求漫记》，载于《国外社会科学》1984年第12期，转载于复印报刊资料《逻辑》1985年第1期）从那时起到现在二十多年又过去了，克氏此论似乎依然没有过时，至少就“语义悖论”而言是如此。
近年来，我们就“悖论”，特别是就“语义悖论”，提出了一个统一的、非特设性的消解原理（见《晋阳学刊》2000年3期《从“悖论”到新奇的真理》、《科学技术与辩证法》1999年2期《“语义学黑洞”之消解》、《山西师大学报》1998年3期《一类“语义悖论”之消解》等文），引起了学界的关注。这一原理的发现过程，可以说是一种基于相似性的探索过程。本文拟大体上循着这一思路引出这个原理。
在这样做之前，我们必须首先介绍一下有关“悖论”的基本背景。

　“悖论”及其实例

严格说来，两个相互矛盾的命题之合乎逻辑的相互推出谓之悖论。有时也称这样的命题为悖论，不过，就悖论研究而言，取那一种定义实际上是无关宏旨的。
应当指出的是，人们常在更为宽泛的意义上使用“悖论”一词。较为常见的是，称上述意义上的悖论为典型悖论，而称两个相互矛盾命题之合取的合乎逻辑的推出为非典型悖论。因而，这里的“悖论”亦即“典型悖论”，仅在使用“非典型悖论”时，才用“典型悖论”以示区别。
两个命题是相互矛盾的，当且仅当：其中一个为真，另一个即为假，其中一个为假，另一个即为真。由此可见，两个相互矛盾的命题必为一真一假。如此说来，悖论之存在便意味着，由真（命题）可以合乎逻辑地推出假（命题）。这显然意味着，逻辑乃是不可靠的。在比较宽泛的意义上，“悖论”实际上指的是可以证伪逻辑可靠性的论证。由此即可看出，悖论研究的确事关重大，无怪乎要引起诸多大思想家的关注。对此，斯蒂芬·里德（Stephen  Read）在《对逻辑的思考——逻辑哲学导论》（辽宁教育出版社、牛津大学出版社1998年中文版）一书的导论中曾经十分形象地写下这样一段话：“悖论既是哲学家的惑人之物，又是他们的迷恋之物。悖论吸引哲学家就像光吸引蛾子一样。……哲学家是巫师，其任务就是拯救我们，使我们摆脱这个恶魔。”
照理说，逻辑的可靠性是毋庸置疑的，因而，真正意义上的悖论是不可能存在的。然而，事实上，却的确有那么一些论证，被人们视为真正意义上的悖论。这些“悖论”被分为两大类，亦即“集合论悖论”和“语义悖论”。“集合论悖论”仅涉及类、关系、数等而与语义学概念无关，后者则涉及到语义学概念，如意义、定义等。
最著名的“集合论悖论”是所谓“罗素(B.Russell)悖论”。 弗雷格(G.Frege)说这个“悖论”动摇了数学的基础，塔斯基(A.Tarski)称其为现代逻辑面临的“最困难的问题”，哥德尔(K.Gödel)甚至认为它己使形式逻辑宣告破产，而蒯因(W.Quine)则名之曰“真正的悖论”。
　　罗素指出，集合可分为两类：一类以自身为元素，另一类则不以自身为元素。所有不以自身为元素的集合构成一个集合，此即所谓“罗素集”。由此便引出这样一个问题：该集合是否以自身为元素？于是便有：
如果罗素集以自身为元素，则有罗素集不以自身为元素；
如果罗素集不以自身为元素，又有罗素集以自身为元素。
此即所谓“罗素悖论”。
“罗素悖论”等“集合论悖论”的出现曾引发了“数学的第三次危机”。大逻辑学家弗雷格在接到罗素通报这个“悖论”的信件后，曾在其名著《基本规律》第二卷的后记中沮丧地写道：“对于一个科学工作者来说，最不幸的事情无过于：当他完成他的工作时，发现他的知识大厦的一块基石突然动摇了。正当本书的印刷接近完成之际，伯特兰·罗素先生给我的一封信便使我陷入这种境地。”（转引自威廉·涅尔、玛莎·涅尔著《逻辑学的发展》第807页，商务印书馆1985年版）
最主要的“语义悖论”有以下四个：
１．“说谎者悖论”
该“悖论”由“本语句为假”这个语句引出，其中的“本语句”系指该语句本身，于是便有：
如果“本语句为假”为真，则有“本语句为假”为假；
如果“本语句为假”为假，则有“本语句为假”为真。
此即所谓“说谎者悖论”。这个“悖论”出现得最早，也被公认为是最难解决的“悖论”之一。其原始形式是所谓“爱匹门尼德（Epimenides）悖论”。据说，爱匹门尼德是公元前六世纪时古希腊的一位先知，居住于克里特岛上，他说过这样一句话：“克里特岛人都是说谎者。”此处的“说谎者”应理解为从不说真话的人，于是便有，如果这句话是真的，它便是假的。不过，由它为假却推不出它为真来。这是因为，由它为假仅可推出，并非克里特岛人都是说谎者，亦即克里特岛人还有人说真话，但显然并不能由此断言，爱匹门尼德所说的上述那句话肯定就是真话。由此可见 ，“爱匹门尼德悖论”“悖”得还不够彻底，只“悖”了一半，有人因而称其为“半截子悖论”。而“说谎者悖论”的提出则似乎完全弥补了这一“缺憾”。
“说谎者悖论”还有一些变种。所谓“柏拉图-苏格拉底悖论”即是其中之一，它由以下两个句子引出：
柏拉图：苏格拉底说的下面这个句子是假的。
苏格拉底：柏拉图说的上面那个句子是真的。
于是似乎便有，由其中任何一个句子为真均可推出其为假，反之亦然。
事实上，可以将那两个句子进一步简化为：
A：句子B是真的。
B：句子A是假的。
于是似乎便有：
如果A是真的，则有A是假的；
如果A是假的，又有A是真的。
同样似乎还有：
如果B是真的，则有B是假的；
如果B是假的，又有B是真的。
与此类似，一位英国数学家提出，在一张卡片的两面分别写下一个句子也可造成“悖论”。其中一个句子是：
这张卡片背面的句子是真的。
另一个句子则是：
这张卡片背面的句子是假的。
有人指出，这类“说谎者悖论”之变种的意义就在于，它们表明，即便是避免了句子的自我相关也不足以消解“悖论”。
值得一提的是，1947年两个美国人曾将“本语句是错的”这个句子输入电子计算机，试图让一个检验语句正误的程序来加以判断。结果，机器无休止地打出“对、错、对、错……”，陷入了反复振荡的困境。
２．“强化的说谎者悖论”
这个“悖论”由“本语句非真”（其中的“本语句”仍指该语句本身）引出：
如果“本语句非真”为真，则有“本语句非真”非真；
如果“本语句非真”非真，则有“本语句非真”为真。
请注意，说一个句子非真与说一个句子为假是有所不同的，“非真”意味着“为假”或者“非真非假”。也就是说，该“悖论”不仅涉及到真、假，还涉及到第三个“值”，这便是“强化的说谎者悖论”这一名称的由来。也正因为如此，有人说它属于“三值悖论”。“强化的说谎者悖论”似乎比“说谎者悖论”更难消解，人送雅号“语义学黑洞”，意思是说，它能将所有消解方案统统“吸收”，使之归于无效、化作虚无。
３．“格雷林悖论”
这个“悖论”是在罗素发现他的著名“悖论”之后不久由格雷林（K.Grelling）提出的，它与形容词有关。将一形容词带入模式“‘ａ’是ａ”，如果由此得到的语句为真，就说它是自状的，否则就说它是非自状的。例如，“中文的”是自状的，因为“‘中文的’是中文的”为真，而“英文的”则是非自状的，因为“‘英文的’是英文的”并不是真的。现在考虑形容词“非自状的”本身是自状的还是非自状的，于是便有：
如果“非自状的”是自状的，则有“‘非自状的’是非自状的”为真，于是便有，“非自状的”是非自状的；
如果“非自状的”是非自状的，则有“‘非自状的’是非自状的”为真，于是又有，“非自状的”是自状的。
此即所谓“格雷林悖论”。
４．“理查德悖论”
理查德（J.Richard）晚于罗素但先于格雷林提出过一个有关数的可定义性的“悖论”，不过它显然并不属于上述意义上的典型悖论，因为那里并未出现两个“相互矛盾命题”的“相互推出”，而只是出现了它们的合取（关于这个“悖论”，我们在讨论“可定义悖论”那一节还会提及）。这里所谓的“理查德悖论”虽然与该“悖论”类似，也与数有关，却似乎属于典型悖论。所有有关自然数的性质描述语（如“是素数”、“是奇数”等，包括“是理查德数”、“是非理查德数”）可以按字典序排列，并由此获得一自然数编号。如果一自然数与与之对应的性质描述语组成的语句为真，就说它不是理查德数，否则就说它是理查德数。令“是理查德数”的自然数编号为ｉ，此时便有：
如果ｉ是理查德数，则有“ｉ是理查德数”为真，于是就有ｉ不是理查德数；
如果ｉ不是理查德数，则有“ｉ是理查德数”为真，于是又有ｉ是理查德数。
此即所谓“理查德悖论”。
两类“悖论”相较，“语义悖论”出现得更早，难度也更大，是当前悖论研究的重点所在。有人甚至断言，只要消解了“语义悖论”中的“说谎者悖论”，其它“悖论”也就好办了。例如，杨熙龄先生就曾指出：“‘说谎者’悖论是所有悖论中最纯粹的一个，能够解释它，也就解释了一切悖论。”（见其所著《奇异的循环——逻辑悖论探析》，辽宁人民出版社1986年版103页）由此可见，欲寻求“悖论”的统一消解原理，似乎宜从消解“语义悖论”，特别是消解“说谎者悖论”入手。

有关“说谎者”的种种见解

关于“说谎者悖论”和“强化的说谎者悖论”，人们提出过各种各样的见解。这些见解大体上可分为两大类：一类承认其确为悖论，一类则否认其为悖论。
在承认其为悖论的见解中，又可分为两类：一类主张它体现了某种特殊类型的真理，根本无须回避；另一类则主张其为谬误，理应设法回避。
在否认其为悖论的见解中，也可分为两类：一类主张导致“悖论”的语句是命题；另一类则主张这样的语句根本就不是命题。进一步细分，“命题说”中又有“真命题说”与“假命题说”之分，“非命题说”中又有“无意义说”与“非真非假说”之分。
尽管这些见解似乎穷竭了一切可能，然而，令人惊愕的是，迄今为止却无一得到公认。
唯心主义辩证法大师黑格尔（G.W.F.Hegel）在“语义悖论”中看到的是“直接的矛盾”，并且声称，“真理就是这个矛盾”。他在《哲学史讲演录》第２卷（121－123页）中如此写道：“有一种论辩叫做说谎者的论辩。如果有一个人承认自己说谎，那么他是在说谎还是说真话呢？要求作一个简单的回答；因为真理被认为是简单的、一方面的东西，因此另一方面便被排除了。如果问他是否说谎，他应当回答‘是’还是‘否’呢？如果说，他是说真话，那么便于他的话的内容相矛盾；因为他承认他说谎。如果他说‘是的’（他说谎），那么他说的又是真话了；因此他既不说谎，又说谎——同样情形，如果他说真话，他便与他所说的相违反了。然而因为真理是简单的，还是要求作一个简单的答复。一个简单的答复是不能有的。在这里，两个对立的方面，说谎与真话，是结合在一起的。（我们看到了直接的矛盾），这个对立面的结合，曾经在各个时代以各种不同的方式一再出现，并且引起人们经常注意。克吕西波，一个著名的斯多葛派，就曾经对这个题目写了六部书。另一个人柯斯的斐勒塔，便是由于用心研究解除这种二难困境的办法，操劳过度，因而得了痨病死去。与这是完全相似的事情就是我们在近代看到人们用尽气力钻研化圆为方的问题——一个几乎永垂不朽的问题。它们在不可通约的数目中间寻找简单的比例；这个混乱就在于要求给与一个具有矛盾的内容的问题一个简单的回答。……承认自己说谎的人是否说真话：他同时既说真话而又说谎，而真理就是这个矛盾。但是一个矛盾不能是真的；矛盾是不能进入通常观念的。……意识中出现了矛盾，出现了对立物的意识；矛盾可以毫不费力地在意识面前指出来，——矛盾出现在感性事物、存在、时间之中，它们的矛盾必须加以揭露。这些诡辩并不是一种矛盾的假象，而是有实在的矛盾存在。在上面的例子中预先给你两条路，要你作一选择；但是例子本身便是一个矛盾。”我国悖论研究家杨熙龄先生就此评论说，黑格尔认为这个悖论就是我们现在所说的“辩证矛盾”。他在《奇异的循环——逻辑悖论探析》一书（105—106页）中曾将黑格尔的有关论述概括为以下七个要点：
（１）真理决不是简单的、一方面的东西。一个真的概念不可能保留其某一方面的含义，而排除其另一方面的含义；
（２）真理就是这个矛盾：既是谎话，又是真话；
（３）通常观念认为矛盾不能是真的。这种观点不正确。矛盾，才是真的；
（４）从看去“无矛盾”的事物中，应该揭露其矛盾；
（５）看去是“诡辩”，实际上反映了真实的矛盾；换言之，黑格尔认为这个悖论就是我们现在说的“辩证矛盾”；
（６）不可能用简单的“是”或“否”来回答这个问题；
（７）这个悖论曾经在各个时代，以各种不同的方式一再出现，并且引起人们经常的注意。
大哲学家维特根斯坦（L.Wittgenstein）的看法与黑格尔颇为接近，在他的《关于数学基础的言论》（转引自杨熙龄《奇异的循环》133页）中有这样一段话：“如果有人说‘我现在在说谎——所以我不是在说谎——等等，从而出现矛盾，这个矛盾有什么害处呢？我的意思是在这样的情形下，一个命题产生了与它矛盾的命题，后者又产生前者，这难道真会削弱我们语言的作用吗？”他建议，人们可以考虑接受一种“自相矛盾的真理”。他甚至断言，把矛盾视为鬼怪乃是缺乏想象力的表现，“总有一天会出现包含着矛盾的数学演算研究，人们将会真正感到自豪，因为他们把自己从相容性的束缚下解放出来了”。（转引自夏基松、郑毓信《西方数学哲学》，人民出版社1986年版171页）
顺便提一下，维特根斯坦早在曼彻斯特大学工程系做研究学生时，就已经对“悖论”发生兴趣了。他在读了罗素的《数学原则》之后，即响应罗素在书末发出的解决“逻辑悖论”（“罗素悖论”）的呼吁，对这个“悖论”提出了自己的解决办法。不久之后，维特根斯坦又托人把自己的结果转交给罗素。不过，罗素做出的反应却令他感到十分遗憾，这位数理逻辑大师并不认为他的解法有什么新颖独特的地方，只觉得这个年轻人胆量不小。（参见张学广编著《维特根斯坦：走出语言囚笼》，辽海出版社1999年版，21页）
黑格尔的影响至今仍然没有消退。例如，罗马尼亚的昂利·瓦尔德（H.Wald）院士就认为悖论是辩证判断，非但如此，他甚至认为悖论所包含的乃是“最大限度的知识”。（参见《奇异的循环》253页）我国也有学者持类似的观点，不过，也有学者激烈地反对这种见解，说是辩证逻辑绝不应成为逻辑矛盾的庇护所。两者相较，我们更同情后一种观点。在我们看来，辩证真理即使从形式逻辑的角度看也应当是名副其实的真理，而绝不应当是什么既真且假的东西。
大逻辑学家塔斯基认为（参见其著名论文《真理的语义学概念和语义学的基础》，收入涂纪亮主编《语言哲学名著选辑》，三联书店1988年版），在自然语言（日常语言）以及类似自然语言的任何语义上封闭的语言中，只要坚持通行的逻辑推理规则，悖论就是无可避免的。所谓语义上封闭的语言是指这样的语言，它不仅包含了这种语言的表达式，也包含了这些表达式的名称，同时还包含了诸如指称这种语言中的语句的词项“真的”这样的语义学词项。与此同时，所有决定这个词项的适当使用的语句都能在这种语言中得到断定。显然，在这样的语言中可以构造出“本语句非真”这样的句子，而它无疑将导致强化的说谎者悖论。
塔斯基甚至沿用了波兰大逻辑学家卢卡西维茨（J.lukasiwicz）的做法，给出了这个“悖论”的“严格”推导。
在塔斯基看来，所谓公式（Ｔ）——
Ｘ是真的，当且仅当Ｐ
对任何一个语句都是成立的。换言之，将任何一个句子代入Ｐ，将这个句子的一个名称代入Ｘ所得到的（Ｔ）型等值式均成立。他给出的著名例子是：“雪是白的”是真的，当且仅当雪是白的。
　　于是，如用Ｓ指称“本语句不是真的”，便有
Ｓ是真的，当且仅当本语句不是真的。
　　由于Ｓ与“本语句”指称的是同一个对象，依据莱布尼兹定理即有：
Ｓ是真的，当且仅当Ｓ不是真的。
　　这恰恰正是（强化的）说谎者悖论。
既然我们不愿舍弃通行的逻辑推理规则，为了避免悖论我们便只能舍弃语义上封闭的语言。就人工语言而论，我们只能构造语义上不封闭的人工语言。那么，我们又如何谈论这种语言中句子的真假呢？我们可以采用另一种语言。前一种语言是所谓对象语言，亦即我们所要考察的语言，后一种语言则是所谓元语言，亦即用以研究前一种语言的语言。如此这般，我们便可以有效地回避悖论了。他的理论也可用于处理自然语言，那就是把自然语言分为无穷多个层次，最下面一层的语言（对象语言）根本不谈论句子为真与否，在它之上的那一层语言（元语言）可以谈论对象语言中句子的真假，更上一层语言（元元语言）则可谈论元语言句子的真假，如此等等，以至无穷。显然，如此一来，“本语句不是真的”（其中“本语句”系指该句子本身）这类句子就被彻底排除在外了，语义悖论，特别是说谎者悖论由是便得以避免。
对塔斯基理论的批评主要有二：一是所谓特设性，亦即该理论除了为了避免出现悖论外别无其他合理的理由；二是这种做法会陷入矛盾以至根本就行不通。克里普克（S.Kripke）以下面两个句子为例说明了这一点：迪安说：“尼克松关于水门事件所说的一切话都是假的。”尼克松则说：“迪安关于水门事件所说的一切话都是真的。”依照塔斯基的说法，两者都位于比对方更高的层次，由此可见, 他的语言分层理论是自相矛盾的, 根本站不住脚。有人甚至说，塔斯基是在把活生生的自然语言割裂成一具僵尸。
附带说一句，塔斯基的语言分层理论实际上可溯源于罗素的分支类型论。
另一位大逻辑学家哥德尔与塔斯基的观点颇为接近。哥德尔曾给出过“说谎者悖论”的一个变种，它由下面这个句子引出：“1934年5月4日我所表述的陈述句全都是假的。”（当天他只说过这么一句话。）哥德尔甚至由此断言，“英语中的假句子”不能在英语中表述。逻辑学家本奇在《数学谬论和悖论》一书中就此评论道：“这个‘证明’没有丝毫说服力！”（参见《奇异的循环》25页）
美国大逻辑学家皮尔士(P.S.Peirce)则断言：“这一个命题（指“说谎者”之所言），由于其自相矛盾，所以是假的；因此，它显然断言者是真的。但其内在含义（即关于其自身的真假）是假。”我国悖论研究家杨熙龄先生把他的意思概括为“这个命题企图真实地表明自己是一句假话”，并说这是一个“悖论式的解”。（参见《奇异的循环》112－113页）显然，这与其说是在解决悖论，倒不如说是在为之辩护。
应当指出的是，以上介绍的只是皮尔士的最终见解。事实上，他从事悖论研究长达30多年，曾先后提出过几种答案。皮尔士最初认为，“本命题是假的”根本“无意义”，因为它并未涉及“外部对象”的“外部关系”，而“逻辑法则则仅仅对具备一个对象的符号发生作用”。此后，他又取消了这一见解。这是因为，他发现它非但解决不了悖论，甚至还会重新陷于悖论：“说此句无意义，即是说它不真；但它正是说它不真，则它又是真的了。”后来皮尔士又主张，那个句子是“既真亦假”的。他论述说：“一张纸，一半红色一半蓝色。这张纸上的每一点，非红即蓝。……那么，在红蓝二色的交界线上，或者说这条界线本身是什么颜色？”他的回答是“既红亦蓝”。皮尔士认为，“说谎者悖论”的情况与此类似，我们绝不能说那个句子既非真亦非假，因为这会导致自相矛盾，而只能说它“既真亦假”，这样就不会导致自相矛盾了。在这之后，由于意识到说那个句子“既真亦假”依然摆脱不了矛盾，皮尔士才再度改变看法，主张把命题分为表面上的断言（explicit assertions）和内在含义（tacit meaning）两个方面。（参见杨熙龄《悖论文献访求漫记》）
芬斯勒（P.Finsler）则声称“说谎者”之所言是一个假命题。他论证说，当我断定命题A时，我根据事实说A是真的。因此，如果根据某种设计，命题A说它本身是假的，那么关于A的断言实际上是两个命题的合取，即A真并且A假。这个合取式是矛盾的，因此是假的；说谎者仅仅产生了一个假语句，所以根本不存在悖论。（参见林夏水主编《数学哲学译文集》，知识出版社1986年版177页）依照芬斯勒的说法，那个句子便是一个永假句，永假句当然是假的，可它明明在说自身是假的，所以就不能不是真的，这便陷入了自相矛盾。
古希腊哲学家克吕西波（Chrysippus）认为，“说谎者”之所言“完全丧失了语言的意义”，说那句话的人“只是发出了一些声音罢了，什么也没有表示”。（参见《奇异的循环》45－46页）
著名的英国牛津学派分析哲学家斯特劳森（P.F.Strawson）的看法与之十分类似。他指出，说这句话就有如先前什么都没说就说“同上”一样，严格说来，这并不是在作一个陈述，而只是发出了一串无意义的声音。（参见孙小礼等主编《科学方法》（下），知识出版社1990年版940页）
克吕西波和斯特劳森说那句话毫无意义，显然与事实不符，它明明在说一个句子（也就是它自身）是假的，无论如何也不能被说成是一点意义也没有。
美国著名逻辑学家、模态逻辑语义学创始人之一克里普克认为“本语句为假”是“无根基的”，意思是根本就不存在确定其真值的可能性。这也就是说，那个句子既不是真的也不是假的。他论证说，含有“真”这个概念的语句的真值只有通过考察其他语句才能确定，此一过程可一直进行下去。如果最后不再碰到包含“真”这个概念的语句，就能确定起初那个语句的真值。此时，“我们便说起初那个语句是有根基的”，否则，“我们就说那个语句是没有根基的”（参见涂纪亮著《分析哲学及其在美国的发展》，中国社会科学出版社1987年版776页）显然，在分析“本语句为假”时，就永远也不会碰到不包含“真”这个概念的语句，因而，那个句子是“无根基的”，根本无真假可言。
分析哲学家齐硕姆（R.Chisholm）也主张那个句子既非真也非假，实际上并无真假可言。在他看来，这个句子所表达的论断是“没有内容的”。所谓没有内容是说该论断的内容依赖于另一论断（两者可以相同），而后者的内容反过来又依赖于前者。这种没有内容的论断，“就其与任何事态相关而言，它就不是肯定那事态存在的信念或论断。”既然那个语句之所言实际上无关于任何事实，当然只能是非真非假的。（参见齐硕姆《知识论》，三联书店1988年版208－212页）
应当指出的是，此种观点至迟在十五世纪初就已有人提出过。据威廉·涅尔和玛莎·涅尔的《逻辑学的发展》（296页），当时的多产作家威尼斯的保罗（Paul of Venice）曾列举过十五种不同的“悖论”解法，其中第八种即类似以下意见：“没有一个不可解问题（当时对‘悖论’的称呼——引者注）是真的或假的，因为这类问题没有一个是命题。”
从表面上看，用克里普克以及齐硕姆的方案来消解“说谎者悖论”似乎是可行的，实则不然。这是因为，如果“本语句为假”是非真非假的，则由于它在说自身为假就不能不是假的，又由于它的确在说自身为假，便不能不是真的，这样我们就重新回到了原先的怪圈。尤为明显的是，这样的方案显然不适于消解“强化的说谎者悖论”。这是因为，非真非假的句子肯定是非真的。于是我们便有，如果“本语句非真”是非真非假的，它就不是真的，由于它恰恰在说自身非真，所以它就又成了真的。有人曾针对克里普克提出的概念“无根基的”，编造了下面这个句子——“本语句或者是假的或者是无根基的”，由此便可引出一个新的“悖论”：如果它是真的它就是假的或者无根基的；如果它是假的，它就是真的；如果它是无根基的，它也是真的。这表明，克里普克方案自身尚且摆脱不了“悖论”，遑论用它来消解“悖论”。事实上，我们还可构造出另一个句子——“本语句或者为假或者非真非假”，它同样可以引出“悖论”：如果它是真的它就是假的或者非真非假的；如果它是假的，它就是真的；如果它是非真非假的，它还是真的。
总而言之，尽管有关“说谎者”的见解如此之多，却都存在着这样那样的缺陷。现在，我们便可理解，为什么这些大思想家提出的的学说都得不到公认了。
从表面上看，这些说法似乎已经穷竭了一切可能，人们已再无他路可走了，这不禁令有些人对人类理性究竟能否走出这种“怪圈”产生怀疑。
事实上，大可不必如此悲观。我们不久便会看到，只要我们跳出思维定势，转换视角，便能找到一条尽管十分隐蔽却能通往光明的新路径。

“悖论”与反证法证明的相似性及其启示

显然，“悖论”有一个共同的特点，那就是似乎都可以由之进而推出“矛盾”来。以“说谎者悖论”为例：
如果“本语句为假”为真，则有“本语句为假”为假；于是便有“本语句为假”为真且为假，矛盾。
由反证法即有，“本语句为假”非真。
如果“本语句为假”为假，则有“本语句为假”为真；于是又有“本语句为假”为真且为假，矛盾。
由反证法又有，“本语句为假”非假。
将上述两个结果合取，我们便有，“本语句为假”非真非假。于是便有，“本语句为假”为假，于是又有“本语句为假”为真。最后我们就得到，“本语句为假”为真且为假，矛盾。
其他“语义悖论”亦复如是，甚至比“说谎者悖论”来得更为简单明快。例如，关于“强化的说谎者悖论”，我们有：
如果“本语句非真”为真，则有“本语句非真”非真；于是便有，“本语句非真”为真且非真，矛盾。
由反证法即有，“本语句非真”非真。
如果“本语句非真”非真，则有“本语句非真”为真；于是便有，“本语句非真”为真且非真，矛盾。
由反证法即有，“本语句非真”为真。
综合以上结果即有，“本语句非真”为真且非真，矛盾。
我们知道，在使用反证法的证明中，推出矛盾非但不令人不快，反倒是人们所刻意追求的。我们看到，由“语义悖论”恰可进而推出“矛盾”，这种相似性自然容易使人想到，我们也许可以将“语义悖论”嵌入某一个反证法证明，用来证明某种新奇的真理，并以此来解决“悖论”。
事实上，“悖论”与反证法证明之间的这种相似性早就引起过人们的注意。本奇在《数学证明和谬误》一书中就曾指出：“在数学中，你认为是悖论的，可能是一个证明。或者你当作一个证明的，会引出悖论。有时往往不容易看清是悖论，还是证明。”
更有学者提出，应通过将悖论化入反证法证明以解决悖论。例如，哈特在《罗素和兰姆赛》一书中就曾指出：“要解决一个悖论，只有用反证法把它变成一个证明，证明某种新奇的真理。”（以上二说均引自《奇异的循环》40页）
一位前苏联逻辑学家也提出过与此类似的悖论消解方法。设我们有一个导致悖论推断B&～B的前提体系Г，这里的“&”是合取记号，相当于日常语言中的连接词“并且”；符号“～”是逻辑否定记号，相当于词组“说……是不对的”。这时，我们除Г外再引入某一个补充前提Ａ1,得到公式：
（Ф1）(Г&Α1)→(B &～B),
这里的记号“→”是复合连接词“如果……则”的简写。按照命题演算规则由公式（Φ１）推出
（Φ2）Г→～А1
于是，每个悖论便都变成了关于某前提假的论断，该前提在构成这种悖论情况的条件体系中正好未被考虑（或被排斥）。（参见格·克劳斯（G.Klaus）著《形式逻辑导论》之俄文版注释，上海译文出版社1981年版487页，个别符号有改动）
尽管将“悖论”嵌入某一反证法证明以便最终解决“悖论”的设想很有道理，但真正的难点实际上并不在于想到这个主意，而在于必须找出恰好需要加以反证的命题。事实上，人们之所以迟迟未能实现这一构想，其症结端在于此。果不其然，我们不久就会看到，最终需要反证的命题与其说是“悖论”的前提，倒不如说是“悖论”的预设。
显然，就“说谎者悖论”这个所有“悖论”的“老祖父”而言，最容易想到的就是，可以用反证法证明“说谎者”之所言根本就不是命题。
不妨假设“本语句为假”是命题。
此时便有，“本语句为假”要么为真要么为假；并且，“说谎者悖论”的推理也因此而合乎逻辑。
如果“本语句为假”为真，则有“本语句为假”为假；亦即“本语句为假”既真且假，矛盾。
由反证法即有，“本语句为假”为假。
如果“本语句为假”为假，则有“本语句为假”为真；亦即“本语句为假”既真且假，矛盾。
由反证法即有，“本语句为假”为真。
综合以上两个子证明的结果即有，“本语句为假”既真且假，矛盾。证毕。
然而，证明了这一结果似乎根本于事无补。这是因为，我们很容易由此想到，“本语句为假”乃是非真非假的，这将使我们重蹈克里普克以及齐硕姆的覆辙，回到原先的怪圈之中：由于该语句是在说自身是假的，因此它就不能不是假的，又由于这正是它所断言的，于是它就是真的。
由此看来，我们的结论只能是，“本语句为假”既不是命题，又不是非真非假的。我们知道，语句有单义句、多义句（以及有歧义的语句）之分，单义句又有非真即假的命题与非真非假的单义句之分。如此说来，“本语句为假”就只能是多义句了。然而，这又与我们的直觉不符：这个句子简单至极，它只不过是在断言“本语句为假”这个句子是假的而已，看上去含义十分明确，又怎么会是多义句呢？这就迫使我们不能不仔细分析这个古怪句子的语义及其真值。

“说谎者悖论”：无穷嵌套的自相似结构及其多义性

　　“本语句为假”这个乍看上去简单已极的语句竟然会是多义句吗？是的，非但如此，它还具有无穷多种含义，且在每种含义下均取唯一确定的真值。
    试分析“本语句为假”这个句子。由于该语句中的“本语句”系指该语句本身，所以，该语句只不过是“‘本语句为假’为假”的简略形式。此种分析可一直进行下去，最后，我们将会发现，该语句只不过是下面这个无穷嵌套的自相似结构（亦即每一层子嵌套之结构均相同之无穷嵌套结构）的简略形式而已：
    （（（（......）为假）为假）为假）
两者虽形式有异而语义并无不同，故而我们只消揭示后者的多义句本质即可。
显然，我们可将这个无穷嵌套的语句作如下理解，即它是在说一个语句为假，那个语句又在说一个语句为假，如此等等，以至无穷。此时，它实际上便成了一个永远也说完的、语义不完整的语句，显然，在此含义下它只能是非真非假的。如此说来，克里普克称“本语句为假”为“无根基的”也绝非事出无因。然而请注意，我们同样可以把这个无穷嵌套的语句理解为是在断言上述含义下的无穷嵌套的语句为假，或者理解为是在断言上一种含义下的语句为假，如此等等，以至无穷。显然，该无穷嵌套的语句在这一系列含义下的真值将依次为假与真的交替出现。由此可见，这个无穷嵌套的语句的确具有无穷多种含义，且在每种含义下均取唯一确定的真值（此处指真、假、非真非假三值）。
由于“本语句为假”与上述无穷嵌套的自相似结构形异而义同，故此一结论对该语句自然也是成立的。
现在，我们已经找到了我们真正需要加以证明的命题，亦即“本语句为假”是多义句。事实上，借助反证法不难给出这个证明。
　　证明：
    不妨假设“本语句为假”为单义句。
    此时便有，该语句要么为真要么为假要么非真非假。
    请注意，在此假设下，任一断言该语句取某一真值的语句都是命题，故为正当的推理对象。
    如果该语句为真，则有该语句为假，矛盾。
    由反证法即有，该语句非真。
    如果该语句为假，则有该语句为真，矛盾。
    由反证法即有，该语句非假。
    如果该语句非真非假，则有该语句为假，矛盾。
    由反证法即有，该语句并非非真非假。
综合以上三个子证明的结果便有，该语句既不是真的，也不是假的，又不是非真非假的，矛盾，证毕。
既然我们业已揭示了“本语句为假”的多义句本质，“说谎者悖论”也就得以彻底消解了。由“本语句为假”是多义句，我们可以推得以下两个结论：
其一，“‘本语句为假’为真”以及“‘本语句为假’为假”是多义句；
其二，直接施推理于这两个多义句根本就不合乎逻辑（从语义不确定的多义句推不出任何确定的结论，即使是正确的推理规则也不能用于多义句，此乃逻辑之误用）。
由此可见，所谓“说谎者悖论”，并不象此前所认为的那样，是什么两个相互矛盾的命题（亦即非真即假的单义句）的合乎逻辑的相互推出，而只不过是两个貌似相互矛盾命题的多义句的不合逻辑的相互推出，因而根本就不是什么真正意义上的悖论。
迷惑人们长达两千余年的“说谎者悖论”至此始获彻底之消解。
请注意，被我们用反证法证伪的“本语句为假”是单义句并不是“说谎者悖论”的前提，因为它并未直接进入推理，而只能说是它的预设。从语义分析的角度看，“‘本语句为假’为真”以及“‘本语句为假’为假”之含义实分别为“本语句为假”的语义为真、“本语句为假”的语义为假，因而，依照弗雷格的预设理论，它们都预设了“本语句为假”有且仅有一个语义，亦即该语句为单义句。在这个意义上，也可以说，“说谎者悖论”预设了“本语句为假”是单义句。事实上，视“说谎者悖论”为真正的悖论的观点实际上都依赖于这个预设。在此预设下，断言“本语句为假”为真和为假的句子就成了命题，而“说谎者悖论”中的推理也就成了合乎逻辑的。仅当我们证伪了这个预设时，这个所谓“一步即成的奇异的循环”才现出了原形。
应当证伪的并不是“悖论”的前提，而应当是其预设，这正是用反证法消解悖论的尝试迟迟未能奏效的根本原因所在。
现在，我们也许可以把“说谎者悖论”修正为：
如果“本语句为假”在一种意义上为真，则它在另一种意义上就为假；
如果“本语句为假”在一种意义上为假，则它在另一种意义上就为真。
在我们看来，这倒不失为一种真理，无论是在形式逻辑的意义上，还是在辩证逻辑的意义上。

“强化的说谎者悖论”：无穷嵌套的自相似结构及其多义性

“强化的说谎者悖论”系由“说谎者悖论”变化而来，我们自然有理由期待，沿着同一思路来消解它。
果不其然，语义分析表明，导致这个“悖论”的语句——“本语句非真”也同样是多义句。
　　不难看出，“本语句非真”实际上与下面这个无穷嵌套的自相似结构形异而义同：
    （（（（......）非真）非真）非真）
    对这个无穷嵌套的语句同样可作无穷多种理解。一方面，我们可以把它理解成陷于“恶的无限”的、语义不完整的语句，另一方面，我们又可把它理解为是在断言上述含义下的语句非真的语句，如此等等，以至无穷。显然，它在这一系列含义下的真值将依次为非真非假以及真与假（而不是假与真）的交替出现。由此不难看出，“本语句非真”确为具有无穷多种含义的多义句，且在每种含义下均取唯一确定的真值。
同样，我们也可严格证明，该语句确为多义句。
　　证明：
    不妨假设该语句为单义句。
    此时便有，该语句要么为真要么非真。
    如果该语句为真，则有该语句非真，矛盾。
    由反证法即有，该语句非真。
    如果该语句非真，则有该语句为真，矛盾。
    由反证法即有，该语句并非非真。
综合以上两个子证明的结果便有，该语句既不是真的也不是非真的，矛盾，证毕。
由于“本语句非真”是多义句，“‘本语句非真’为真”与“‘本语句非真’非真”亦便成了多义句，与此同时，施推理于其上亦犯有施推理于多义句的错误，纯属逻辑之误用，根本不合逻辑。这样，我们看到，“强化的说谎者悖论”与“说谎者悖论”如出一辙，也并不是什么两个相互矛盾命题的合乎逻辑的相互推出，而是两个貌似相互矛盾命题的多义句的不合逻辑的相互推出，根本就不是真正的悖论。
多少有些出人意料的是，“强化的说谎者悖论”并不象人们以前普遍猜测的那样，比“说谎者悖论”更难消解。正如我们所看到的，两个“说谎者”可以用同一方式予以消解，而所谓“强化的说谎者悖论”之消解甚至来得更为简洁明快。

“强化的说谎者悖论”之卢卡西维茨－塔斯基推导不可靠

关于“强化的说谎者悖论”，卢卡西维茨给出过一个著名的推导。此一推导为塔斯基所沿用，并用来作为建立其形式语言真理论的依据。时至今日，该推导仍被视为无懈可击，以至于被称作是该“悖论”的“精确塑述”。本节之宗旨在于指出该推导实际上并不可靠。
首先，让我们审视一下卢卡西维茨－塔斯基推导。考虑如下句子：
印在本节第５行的句子不是真的。
为简明计，我们将用Ｓ指称这个句子。将“Ｓ”和这个句子本身分别代入公式（T）——
Ｘ是真的，当且仅当Ｐ。
中的Ｘ和Ｐ，即得如下（Ｔ）型等值式：
Ｓ是真的，当且仅当印在本节第５行的句子不是真的。
由于“Ｓ”与“印在本节第５行的句子”所指称的乃是同一个句子，依照莱布尼兹定理便有：
Ｓ是真的，当且仅当Ｓ不是真的。
这正是“强化的说谎者悖论”。
上述推导看似天衣无缝，实则不然。我们很快就会看到，该推导从一开始就有毛病：公式（Ｔ）实际上并不适用于语句Ｓ，换言之，将“Ｓ”及其所指称的句子代入公式（Ｔ）乃是错误的。
为说明这一点，先让我们论证公式（Ｔ）对多义句并不适用。
显然，卢卡西维茨—塔斯基推导建立在下述信念的基础上：公式（Ｔ）适用于所有语句。也就是说，对任一语句Ｐ，若其名称为Ｘ，恒有：
Ｘ是真的，当且仅当Ｐ。
这显然意味着，对任一语句Ｐ，若Ｘ是其名称，“Ｘ是真的，当且仅当Ｐ”之所言便为一事实，亦即“Ｘ是真的，当且仅当Ｐ”为真，这可以更确切地表述为，“Ｘ是真的，当且仅当Ｐ”之语义为真。依据弗雷格的预设理论，这便预设了“Ｘ是真的，当且仅当Ｐ”有且仅有一种语义。简言之，这一信念本质上可表述为：对任一语句Ｐ，若Ｘ是其名称，“Ｘ是真的，当且仅当Ｐ”有且仅有一种语义就是不言而喻的，进一步，它的这个唯一的语义还是真的。
显然，对任一单义句Ｐ而言，若Ｘ是其名称，“Ｘ是真的”亦为单义句，此时，“Ｘ是真的，当且仅当Ｐ”有且仅有一种语义的确是不言而喻的，进一步，根据“真”的用法，其唯一的语义也的确是真的。例如：“雪是白的”是真的，当且仅当雪是白的。这正是塔斯基举过的那个著名的例子。换言之，公式（Ｔ）的确适用于任一单义句。
然而，对任一多义句Ｐ而言，若Ｘ是其名称，“Ｘ是真的”便是多义句，“Ｘ是真的，当且仅当Ｐ”亦为多义句。此时，“Ｘ是真的，当且仅当Ｐ”有且仅有一种语义就非但不是不言而喻的，反倒是假的，当然也就更谈不上什么其唯一的语义是真的了。换言之，公式（Ｔ）对任一多义句均不适用。
事实上，我们还可以换一个角度理解上述结论。对任一多义句而言，在不事先明确其语义的情况下，根本就无从直接施推理于其上，否则便是逻辑之误用。须知，逻辑本质上毕竟是基于语义的，也正因为如此，逻辑总是不遗余力地拒斥多义性，而将自己的考察范围仅仅局限于单义句。由此可见，就任一名为Ｘ的多义句Ｐ而言，直接施推理于“Ｘ是真的”以及Ｐ便不合逻辑，更确切地说，是误用了逻辑，当然就更谈不上什么两者可以相互推出了。这显然意味着，“Ｘ是真的，当且仅当Ｐ”肯定不能成立。
接下来，再让我们论证语句S恰为多义句。
事实上，正如我们先前所见到的那样，用反证法极易证明，Ｓ确为多义句。
不妨假设Ｓ并非多义句。
此时便有，Ｓ为单义句，且要么为真要么非真。
若Ｓ为真，便有，印在本节第５行的句子不是真的，于是又有，Ｓ非真。矛盾。
由反证法即有，Ｓ并非为真。
若Ｓ非真，便有，印在本节第５行的句子不是真的，于是又有，“印在本节第５行的句子不是真的”为真，故而又有，Ｓ为真。矛盾。
由反证法即有，Ｓ并非非真。
于是就有，Ｓ既不是真的，又不是非真的，矛盾。证毕。
接下来让我们通过语义分析表明，Ｓ具有无穷多种语义，这无疑将有助于理解上述结论。
由于“印在本节第５行的句子”所指称的语句正是“印在本节第５行的句子不是真的”，所以如下语句异形而同义：
印在本节第５行的句子不是真的
“印在本节第５行的句子不是真的”不是真的
“‘印在本节第５行的句子不是真的’不是真的”不是真的
……………………………………
所以，语句Ｓ实际上也同义于如下无穷嵌套的自相似结构：
（（（（……）不是真的）不是真的）不是真的）不是真的
如前所述，对于后者显然可作无穷多种理解：一个永远也说不完的、语义不完整的语句（其真值为非真非假），断言上述意义上的语句非真的语句（其真值为真），断言上一种语句非真的语句（其真值为假），如此等等，以至无穷。
由于Ｓ与之同义，所以，Ｓ同样也具有无穷多种语义。如此说来，说Ｓ是多义句是完全可以理解的。
依照以上两个结论，我们立即可以看出，“强化的说谎者悖论”的卢卡西维茨－塔斯基推导在第一步就犯有致命错误。这是因为，公式（Ｔ）并不适用于多义句，而语句Ｓ又恰为多义句，故而将“Ｓ”和“印在本节第5行的句子不是真的”代入公式（Ｔ）便是错误的，由此得到的（Ｔ）型等值式并不可靠。
总而言之，“强化的说谎者悖论”的卢卡西维茨－塔斯基推导绝非无懈可击，纯属不可靠推导。

关于“语义学黑洞”

物理学中的“黑洞”系指一种密度至大的天体，能将靠近它的物质和光统统吸收。“强化的说谎者悖论”以及另外两个“语义悖论”则被称作“语义学黑洞”，意思是说，它们能够“吸收”任何一种消解方案，使之统统归于无效。
我们已经看到，“强化的说谎者悖论”实际上并不那么可怕，只要识破其本质，即可使之归于消解。本节拟讨论另外两个“语义学黑洞”，我们很快就会看到，其“悖论性语句”也可归结为无穷嵌套的自相似结构，属于多义句，是完全可以消解的，绝非真正意义上的语义学黑洞。
这两个“语义学黑洞”分别由以下两个语句引出：
“本语句或者是假的或者是悖论性的。”
“本语句或者是假的或者是无根基的。”
前者导致的“悖论”是：
如果“本语句或者是假的或者是悖论性的”是真的，则它就是假的或者是悖论性的；
如果“本语句或者是假的或者是悖论性的”是假的，则它就是真的；
如果“本语句或者是假的或者是悖论性的”是悖论性的，则它也是真的。
后者导致的“悖论”是：
如果“本语句或者是假的或者是无根基的”是真的，则它就是假的或者是无根基的；
如果“本语句或者是假的或者是无根基的”是假的，则它就是真的；
如果“本语句或者是假的或者是无根基的”是无根基的，则它也是真的。
首先让我们分析一下第一个语句。
显然，“本语句或者是假的或者是悖论性的”只不过是下面这个句子的简略形式：
“本语句或者是假的或者是悖论性的”或者是假的或者是悖论性的
两者形异而义同。
此种分析可一直进行下去，最后我们便会发现，“本语句或者是假的或者是悖论性的”原来同义于下面这个无穷嵌套的自相似结构：
（（（……）或者是假的或者是悖论性的）或者是假的或者是悖论性的）或者是假的或者是悖论性的
对这个无穷嵌套的自相似结构同样可作多种理解：一方面，我们可以把它理解为一个永远也说不完的、语义不完整的语句；另一方面，则可把它理解为是在断言上一种语句或者是假的或者是悖论性的；再一方面，我们还可把它理解为是在断言上一种语句或者是假的或者是悖论性的；如此等等，以至无穷。显然，它在这一系列语义下的真值将分别为非真非假以及假与真的交替出现。
由于“本语句或者是假的或者是悖论性的”与上述无穷嵌套的自相似结构虽形式有异而语义并无不同，故而它也具有无穷多种语义，且在每种语义下均取唯一确定的真值。既然该语句并非命题而是多义句，言其“是真的”、“是假的”以及“是悖论性的”之语句便也是多义句，“悖论”中的推理也因而犯有施推理于多义句的错误，根本不合逻辑。于是，我们便有双重的理由断言，这个“悖论”根本不是真正意义上的悖论，当然更谈不上是什么语义学黑洞了。
对“本语句或者是假的或者是无根基的”也可做类似的分析。
显然，该语句与下面这个无穷嵌套的自相似结构形异而义同：
（（（……）或者是假的或者是无根基的）或者是假的或者是无根基的）或者是假的或者是无根基的
对此结构同样可做多种理解：一方面，可以把它理解为一个永远也说不完的、语义不完整的语句；另一方面，可以把它理解为是在断言上一种语句或者是假的或者是无根基的；再一方面，可以把它理解为是在断言上一种语句或者是假的或者是无根基的；如此等等，以至无穷。显然，它在这一系列语义下的真值同样依次为：非真非假以及真与假的交替出现。
由于“本语句或者是假的或者是无根基的”同义于这个无穷嵌套的自相似结构，所以它也是具有无穷多种语义的多义句。同理，由它引出的“悖论”也根本不是真正意义上的悖论，更不是什么语义学黑洞。

“格雷林悖论”：无穷嵌套的自相似结构及其多义性

“说谎者悖论”和“强化的说谎者悖论”的统一消解模式自然令人想到，“格雷林悖论”以及“理查德悖论”中的“两个相互矛盾的命题”是否也是多义句呢？令人振奋的是，深入的语义分析表明，尽管这些句子表面上与两个“说谎者”中的句子截然不同——前者谈论的是形容词的分类或数的分类，后者谈论的则是语句的真值，但它们居然同后者一样，本质上也是多义句。令人惊讶的是，非但如此，这两对句子的语义与“强化的说谎者悖论”中相应句子的语义在某种意义上竟然可以说是同一的。
本节先来考察“格雷林悖论”。
　　让我们分析一下“‘非自状的’是非自状的”的语义。
    依照定义，“‘非自状的’是非自状的”同义于
    “‘非自状的’是非自状的”非真
    此种分析可一直进行下去，最后我们将会愕然发现，该语句居然同义于如下无穷嵌套的自相似结构：
    （（（（......）非真）非真）非真）
    也就是说，该语句居然同义于导致“强化的说谎者悖论”的那个语句。
    如前所述，这个无穷嵌套的语句具有无穷多种语义，故而“‘非自状的’是非自状的”亦当如是。
事实上，我们同样可以严格证明，该语句确为多义句。
　　证明：
    不妨假设该语句为单义句。
    此时便有，该语句要么为真要么非真。
    如果该语句为真，则有“非自状的”是非自状的，于是便有该语句非真，矛盾。
    由反证法即有，该语句非真。
如果该语句非真，则有“非自状的”是非自状的，于是又有该语句为真，矛盾。
由反证法即有，该语句为真。
综合以上两个子证明的结果便有，该语句既不是真的也不是非真的。矛盾，证毕。
现在让我们再来分析一下与该语句“相互矛盾”的另一个语句——”‘非自状的’是自状的”。
依照定义，该语句的含义无非是：“‘非自状的’是非自状的”为真。由于“‘非自状的’是非自状的”是多义句，所以，该语句亦便成了多义句。
于是，我们看到，“格雷林悖论”也并非两个相互矛盾命题的合乎逻辑的相互推出，而只不过是两个多义句的不合逻辑的相互推出。“格雷林悖论”由是即获彻底消解。
附带说一下，“‘非自状的’是非自状的”同义于“本语句非真”，也就同义于“‘本语句非真’非真”，而“‘非自状的’是自状的”则同义于（（（非自状的）是非自状的）为真），也就同义于“‘本语句非真’为真”。在这个意义上可以说，这对句子的语义与“强化的说谎者悖论”相应句子的语义竟可说是同一的。

“理查德悖论”：无穷嵌套的自相似结构及其多义性

在成功地消解了“格雷林悖论”之后，我们当然更有理由期待，“理查德悖论”也会以同样方式予以消解。
让我们先来分析一下“ｉ是理查德数”的语义。
　　依照定义，“i 是理查德数”只不过是“‘i是理查德数’非真”的简略说法，两者形异而义同， 此种分析可一直进行下去，最后我们将会发现，“i 是理查德数”原来同义于下面这个无穷嵌套的自相似结构：
    （（（（......）非真）非真）非真）
    如此说来，“理查德悖论”居然和“格雷林悖论”一样,也有一个“命题”与导致“强化的说谎者悖论”的语句同义。
如前所述，这个无穷嵌套的语句乃是多义句，故而“i 是理查德数”亦复如是。
我们同样可以严格证明，该语句确为多义句。
　　证明：
    不妨假设“i是理查德数”为单义句。
    此时便有该语句要么为真要么非真。
    如果该语句为真，则有i是理查德数，于是又有该语句非真，矛盾。
    由反证法可知，该语句非真。
    如果该语句非真，便有i是理查德数，于是又有该语句为真，矛盾。
    由反证法可知，该语句并非非真。
综合以上两个子证明的结果便有，该语句既不是真的又不是非真的。矛盾，证毕。
现在，让我们再来分析另一个“命题”——“ｉ不是理查德数”。依照定义，这个语句的含义是“‘ｉ是理查德数’为真”。由于“ｉ是理查德数”为多义句，故而这个句子也是多义句。
由此可见，“理查德悖论”也并非两个相互矛盾命题的合乎逻辑的相互推出，而是两个多义句的不合逻辑的相互推出。
“ｉ是理查德数”同义于“本语句非真”，自然意味着它也同义于“‘本语句非真’非真”。“ｉ不是理查德数”同义于“‘ｉ是理查德数’为真”，则意味着它同义于“‘本语句非真’为真”。在这个意义上可以说，这对句子的语义与“强化的说谎者悖论”相应句子的语义也可说是同一的。

自我否定句及其多义性

我们已经表明，以上四个“语义悖论”中的语句——“本语句为假”、“本语句非真”、“‘非自状的’是非自状的”、“ｉ是理查德数”均同义于一个无穷嵌套的自相似结构，具有无穷多种语义。不过，有人也许会心存疑虑。这是因为，尽管我们可以说，它们均同义于一系列有穷嵌套的结构（例如，“本语句非真”同义于“‘本语句非真’非真”、（（（本语句非真）非真）非真）等等），却未必有理由断言，它们均同义于一个无穷嵌套的自相似结构，并进而断言它们均具有无穷多种语义。
本节拟给出语句的同义关系的定义和性质，在此基础上再给出自我否定句的定义并一般地考察其语义与真值，从而回答这一问题。
　　首先考察一下语句的同义关系。
    语句可依据其可能具有的语义之数目分为单义句和多义句，语言学中所谓有歧义的语句即为多义句。我们把一个语句可能具有的不同语义之集合称为该语句的语义集。如果两个语句A与B的语义集全同，我们就称A与B同义或者A同义于B。
    语句的同义关系显然具有以下重要性质：
    (1)自返性，亦即A与A同义。
    (2)对称性，亦即如果A与B同义，则B与A同义。
    (3)传递性，亦即如果A与B同义，B与C同义，则A与C同义。
    (4)如果B为A之子语句，C与B同义，则以C置换A中之B所得之A*与A同义。
    显然，两个同义的单义句逻辑等值，两个同义的多义句在同一语义下逻辑等值，然而，两个同义的多义句在不同的语义下却未必逻辑等值。
    现在让我们给出自我否定句的定义：如果语句A同义于“A非真”或者“A为假”，则称A为自我否定句。
    由定义可知，自我否定句可分为两类，一类与言其非真的语句同义，一类与言其为假的语句同义，为便于讨论，我们称前者为非真型自我否定句，称后者为为假型自我否定句。
    事实上，典型的“语义悖论”——“强化的说谎者悖论”、“格雷林悖论”、“理查德悖论”以及“说谎者悖论”均为自我否定句——前三个语句为非真型自我否定句，第四个语句则为为假型自我否定句。兹分别说明如下：
    “强化的说谎者悖论”系指语句“本语句非真”。依照规定，该语句中之“本语句”系指“本语句非真”本身。这意味着，语句“本语句非真”与“‘本语句非真’非真”虽形式有别而语义并无不同，故两者同义。
    “格雷林悖论”系指语句“‘非自状的’是非自状的”。依照规定，如将一形容词代入语句形式“‘a’是a”所得之语句非真，则称该形容词为“非自状的”。这意味着，“‘非自状的’是非自状的”只不过是(((非自状的)是非自状的)非真)的另一种说法(由于我们只有双引号和单引号，故不得不以括号代替引号)，两者虽形式有别而语义并无不同，故两者同义。
    “理查德悖论”系指语句“i是理查德数”，自然数之性质描述语可按字典序排列从而获得一个自然数编号，故而每个自然数均对应于一个自然数性质描述语。依照规定，如一自然数与其所对应的性质描述语组成之语句为真，则称其为非理查德数，反之则称其为理查德数。“i”系指恰与“是理查德数”这个性质描述语对应的自然数。显然，“i是理查德数”只不过是“‘i是理查德数’非真”的另一种说法，两者虽形式有别而语义并无不同，故两者同义。
    “说谎者悖论”系指语句“本语句为假”。依照规定，该语句中之“本语句”系指“本语句为假”本身。这意味着，语句“本语句为假”与“‘本语句为假’为假”虽形式有别而语义并无不同，故两者同义。
    既然典型的“语义悖论”均为自我否定句，我们便可一般地考察自我否定句的性质，从而得出适用于这些“语义悖论”的结论。
    现在就让我们分析一下自我否定句之语义与真值。
    让我们先来考察非真型自我否定句。就任一非真型自我否定句A而言，均有“A非真”与A同义。由A出发，不断以“A非真”置换A，便可得到以下语句序列：
    A，“A非真”，“‘A非真’非真”，……
由同义关系的性质可知，该语句序列中任意两个语句均为同义。换言之，这些语句之语义集为同一个语义集。不难看出，该语句系列中的任何一个语句亦均为非真型自我否定句。
显然，如能确定A的一种语义，即可确定其每一个后续语句的一种语义，并且，这些语义还互不相同。由于所有这些语句之语义集全同，故所有这些语义均将为每一个语句，自然也为A所具有。
    由于A与“A非真”同义，故欲确定A的一种语义只消确定“A非真”的一种语义。“A非真”显然可理解为是在断言一个语句非真，但该语句却是A，故依然需要确定A的一种语义，亦即“A非真”的一种语义……。此种分析过程可一直进行下去。由此可见，可将A理解为这样的语句，它是在断言一个语句非真，该语句又是在断言一个语句非真，而那个语句还是在断言一个语句非真，如此等等，以至无穷。显然，如此理解下的A语义并不完整，既无理由言其为真，亦无理由言其为假，故其真值只能是非真非假。如借用克里普克(S．Kripke)的术语，也可以把它说成是“无根基的”。
    显然，在A的这一语义下，A的后续语句“A非真”、“‘A非真’非真”等等也将分别取得一个确定的语义。不难看出，它们在相应语义下的真值将依次为真与假的交替出现。
    由于所有这些语义均为A所具有，故对A可作无穷多种理解：既可将其理解为上述那种水远也说不完的、语义不完整的语句，也可将其理解为断言上一种语句非真的语句、断言上一种语句非真的语句，如此等等，以至无穷。显然，A在这一系列语义下的真值将依次为非真非假以及真与假的交替出现。
    对为假性自我否定句亦可作同样分析。就任一为假型自我否定句A而言，均有“A为假”与A同义。由A出发，不断以“A为假”置换A，便可得到以下语句序列：
    A，“A为假”，“‘A为假’为假”，……
由同义关系的性质可知，该语句序列中任意两个语句均为同义。换言之，这些语句之语义集为同一个语义集。容易看出，该语句序列中的任何一个语句亦均为为假型自我否定句。
    显然，如能确定A的一种语义，即可确定其每一个后续语句的一种语义，并且，这些语义还互不相同。由于所有这些语句之语义集全同，故所有这些语义均将为每一个语句，自然也为A所具有。
    由于A与“A为假”同义，故欲确定A的一种语义只消确定“A为假”的一种语义。“A为假”显然可理解为是在断言一个语句为假，但该语句却是A，故依然需要确定A的一种语义，亦即确定“A为假”的一种语义……。此种分析过程可一直进行下去。于是我们发现，可将A理解为这样的语句，它是在断言一个语句为假，该语句又是在断言一个语句为假，而那个语句还是在断言一个语句为假，如此等等，以至无穷。显然，如此理解下的语句A语义并不完整，既无理由言其为真，亦无理由言其为假，故其真值只能是非真非假。显然。在A的这一语义下，A的后续语句“A为假”、“‘A为假’为假”等等也将分别取得一个确定的语义。不难看出，它们在相应语义下的真值将依次为假与真的交替出现。
    由于所有这些语义均为A所具有，故对A可作无穷多种理解：既可将其理解为上述那种永远也说不完的、语义不完整的语句，也可将其理解为断言上一种语句为假的语句、断言上一种语句为假的语句，如此等等，以至无穷。显然，A在这一系列语义下的真值将依次为非真非假以及假与真(而不是真与假)的交替出现。
    概括以上结果便有，任一自我否定句均有无穷多种语义。且在每种语义下均取唯一确定的真值。
    附带提一下，由任一非真型自我否定句A出发，以“A非真”置换A，经无穷次置换即可得一无穷嵌套的语句——((((……)非真)非真)非真)。这个语句的特点是与言其非真的语句同形。两者既然同形自然也就同义，故该语句亦为非真型自我否定句。说这个无穷嵌套的非真型自我否定句具有一如上述的无穷多种语义是极易理解的，故可将其作为非真型自我否定句之语义分析模型。
    类似地，由任一为假型自我否定句A出发，以“A为假”置换A，经无穷次置换即可得一无穷嵌套的语句——((((……)为假)为假)为假)。这个语句的特点是与言其为假的语句同形。既然两者同形自然也就同义，故该语句亦为为假型自我否定句。说这个无穷嵌套的为假型自我否定句具有一如上述的无穷多种语义是极易理解的，故可将其作为为假型自我否定句之语义分析模型。


无穷嵌套的自相似结构及其在数学中的实例

我们已经看到，所有“语义悖论”实际上均含有一个这样的语句，它同义于一个无穷嵌套的自相似结构。如前所述，所谓“自相似”是指，它是这样一个无穷嵌套的结构，其每一层子嵌套（它自身可视为第０层子嵌套）都完全相同。
显然，这样的结构还有一个奇妙的性质，那就是，无论在其外面再“复制”几层（有限层），所得到的结构仍为同一个结构。
例如，
（（（（……）为假）为假）为假）为假
的每一层子嵌套都是完全一样的。并且，无论在其外面再添加几层（括号和）“为假”：
（（（（（……）为假）为假）为假）为假）为假
（（（（（（……）为假）为假）为假）为假）为假）为假
………………………………………………………………
所得到的仍为同一个结构。
另一个结构——
（（（（……）非真）非真）非真）非真
亦复如是。
正由于它们同义于无穷嵌套的自相似结构，具有奇妙的特性，才具有无穷多种语义。这是一种语言学家似乎未曾想到而又为逻辑学家所拒斥的有歧义的语句，在语言学家那里，所考察的是仅有有限种（通常也就两三种而已）歧义的语句。把这些“悖论性语句”归结为无穷嵌套的自相似结构并看出其奥妙所在，实为破解“语义悖论”灵感之由来。
有必要指出的是，在数学中也不乏这样的结构，并且，看出其特性往往会激发灵感，找到解决问题的捷径。
试看下面这道题，
证明
　　　　　　　１
　　　１＋————————　＝√１＋√１＋√１＋……
　　　　　　　　　１
　　　　　　１＋————
　　　　　　　　１＋……
乍看上去，这个等式十分复杂，简直无从下手。然而，只要我们能够看出，等式左面与等式右面的式子均为无穷嵌套的自相似结构，就有了灵感。
令左式＝ａ、右式＝ｂ，立即就有：
　　　　　　　１
　　　１＋——＝ａ　，√１＋ｂ＝ｂ
　　　　　ａ
将二式分别变形即有：
　　　ａ２－ａ－１＝０　，ｂ２－ｂ－１＝０
鉴于ａ、ｂ均大于０，故有ａ＝ｂ，证毕。
这个例子足以表明，无穷嵌套的自相似结构在其他领域也有助于“超级”难题的意外破解，而不仅仅局限于悖论研究领域。由此可见，对这种结构的研究是一个跨学科的有趣课题。

“悖论”的统一消解原理：证伪预设

我们已经看到，通过将“语义悖论”所含的一个“悖论性语句”归结为无穷嵌套的自相似结构并揭示其多义句本质，可以成功地消解这些“悖论”。现在的问题是，我们能否将将“集合论悖论”所含的一个“悖论性语句”也归结为这种结构，从而使之归于消解。回答是否定的，我们不能把“集合论悖论”的一个“悖论性语句”也归结为无穷嵌套的自相似结构。不过，令人欣慰的是，我们大可不必就此放弃寻找“悖论”统一解的理想。
如前所述，通过将“悖论”纳入一个反证法证明，证伪一个命题并发现一个新奇的真理从而消解“悖论”的思路是正确的。问题的关键在于，如何找出这样的命题。
事实上，我们已粗略地指出，对于“说谎者悖论”而言，这个命题实际上乃是这个“悖论”的一个预设（而并非其前提）。所谓“悖论”的预设实际上是指为其所含推理的起始语句所共有的预设。我们很快就会看到，我们可以把“语义悖论”的统一消解原理概括为：通过证伪其一个预设从而使之归于消解。进一步，我们还会看到，这一原理同样也适用于“集合论悖论”，这就为找到所有“悖论”的统一解带来了希望。
　　首先，让我们简略介绍一下由弗雷格开创的预设理论。
　　依照预设理论，并非每一个语句（陈述句）都是命题，语句若不满足某些必要的条件便不成其为命题。描述一个语句成为命题之必要条件的语句即为该语句之预设。
　　预设的一个常见定义是：语句Ａ是语句Ｂ的预设（或者语句Ｂ预设语句Ａ），当且仅当：
　　（１）Ｂ→Ａ
　　（２）～Ｂ→Ａ
其中，“→”系指意涵（entail）。
　　依此定义显然有，语句Ｂ的预设都是其否定～Ｂ的预设，反之亦然。换言之，Ｂ与～Ｂ之预设集全同。
　　不难看出，如果Ａ是Ｂ的预设，必有：
　　B∨～B→A
　　这表明，如果A不是真的，则B∨～B便不是真的，亦即B绝不会是命题（要么为真要么为假的单义句）。由此可见，一个语句的预设实质上便是描述该语句为命题之必要条件的语句。反之，描述B为命题之必要条件的语句亦必为B的预设。这是因为，由B和～B均可推出B为命题，而由B为命题又可推出任一描述其为命题之必要条件的语句。这表明，描述B为命题之必要条件的语句亦必为B的预设。简言之，B的预设与描述B为命题之必要条件的语句乃是同一个东西。
预设可依照其内容分为存在预设、种类预设、事实预设等。其中，发现最早也与本文关系最为密切的是存在预设，亦即断言某种事物存在的预设。依照弗雷格的见解，言说某个个体具有某种性质（不包括“存在”、“不存在”这类所谓“性质”——笔者注）的语句均预设了言说该个体存在的语句。例如，“那位1998年的法国国王是秃子”便预设了“1998年法国有且只有一位国王”。显然，后者乃是使前者成其为命题的必要条件。
事实上，通过证伪“语义悖论”的一个预设即可使之归于消解。现在让我们举例说明如下：
例１．“强化的说谎者悖论”
让我们重新审视一下这个“悖论”：
　　如果“本语句非真”为真，则有本语句非真，于是又有“本语句非真”非真；
　　如果“本语句非真”非真，则有本语句非真，于是又有“本语句非真”为真。　
　　先求“‘本语句非真’为真”的一个预设。　
“‘本语句非真’为真”之含义实为“本语句非真”之语义为真，这意味着，“本语句非真”有且只有一个语义，亦即该语句为单义句。
“‘本语句非真’为真”之否定——“‘本语句非真’非真”之含义实为“本语句非真”之语义非真，这意味着，“本语句非真”有且只有一个语义，亦即该语句为单义句。　
由此可见，“本语句非真”为单义句即为“‘本语句非真’为真”的一个预设。　
同理，这也是“‘本语句非真’非真”的一个预设。
这意味着，“本语句非真”为单义句是该“悖论”的一个预设。
　　现在让我们否证这个预设，亦即证明其否定——该语句为多义句。
　　证明：
　　假设该语句不是多义句而是单义句。　
　　于是便有，该语句要么为真要么非真。
　　也正因为如此，言其为真与言其非真的语句便成了命题，这意味着，该“悖论”的两个推理均合乎逻辑，故可“移植”于此。由反证法易知，该语句即不是真的又不是非真的，矛盾，证毕。
　　既然该“悖论”的一个预设为假，相互推出的语句就不是命题，更谈不上是什么相互矛盾的命题，因而所谓强化的说谎者悖论也就根本不是什么悖论。进一步，这种相互推出还误用了逻辑，犯有施推理于多义句的错误，根本不合逻辑，这就为得出上述结论提供了更加充分的理由。
　　“说谎者悖论”亦可仿此予以消解，兹不赘述。
　　例２．“格雷林悖论”
　　此“悖论”为：
　　如果“非自状的”是自状的，则有“‘非自状的’是非自状的”为真，于是便有，“非自状的”是非自状的。
　　如果“非自状的”是非自状的，则有“‘非自状的’是非自状的”为真，于是又有，“非自状的”是自状的。
　　先求“‘非自状的’是自状的”的一个预设。
　　依照定义，“‘非自状的’是自状的”之含义为“‘非自状的’是非自状的”为真，亦即该语句之语义为真，这意味着，该语句有且仅有一个语义，亦即该语句为单义句。
　　“‘非自状的’是自状的”之否定——“‘非自状的’不是自状的”之含义实际上就是“‘非自状的’是非自状的”，依照定义，其含义实为“‘非自状的’是非自状的”非真，亦即该语句之语义非真，这显然也意味着，该语句有且仅有一个语义，亦即该语句为单义句。
由此可见，“‘非自状的’是非自状的”为单义句乃是“‘非自状的’是自状的”之预设。
同理，这也是“‘非自状的’是非自状的”的一个预设。
这意味着，“‘非自状的’是非自状的”为单义句乃是该“悖论”的预设。
    现在让我们来否证该预设，亦即证明其否定——“‘非自状的’是非自状的”不是单义句而是多义句。
　　证明：
　　假设“‘非自状的’是非自状的”为单义句。
　　此时便有，该语句要么为真要么非真。
　　这同时也意味着，言其为真的语句与言其非真的语句——“‘非自状的’是自状的”以及“‘非自状的’是非自状的”乃是（取相反值的）命题。因而，该“悖论”的两个推理均合乎逻辑，故可“移植”于此。由反证法易知，上述两个语句同时为假，矛盾，证毕。
　　既然“格雷林悖论”的一个预设为假，相互推出的语句就不是命题，更谈不上是什么相互矛盾的命题，故而“格雷林悖论”也就根本不是什么悖论。进一步，由上述“新奇的真理”可知，这种相互推出还误用了逻辑，犯有施推理于多义句的错误，根本就不合逻辑，这就为得出上述结论提供了更加充分的理由。
所谓“理查德悖论”亦可仿此予以消解，兹不赘述。
现在让我们以“罗素悖论”为例表明，“集合论悖论”亦可以同一方式予以消解。
　　让我们重温一下“罗素悖论”的构成。
　　一集合要么以自身为元素，要么不以自身为元素。所谓“罗素集”即所有不以自身为元素的集合之集合。现在考虑罗素集是否以自身为元素，于是便有：
　　如果罗素集以自身为元素，则有罗素集不以自身为元素；
如果罗素集不以自身为元素，又有罗素集以自身为元素。
　　先求“罗素悖论”的一个预设。
　　“罗素集以自身为元素”及其否定——“罗素集不以自身为元素”显然都意味着罗素集存在，故“罗素集存在”即为这两个语句之共同预设，亦即“罗素悖论”的一个预设。
　　现在让我们来否证这个预设，亦即证明其否定——“罗素集不存在”。
　　证明：
　　假设罗素集存在。
　　此时“罗素集以自身为元素”与“罗素集不以自身为元素”便为命题，且为一真一假。
　　由于上述两个语句均为命题，该“悖论”的两个推理便合乎逻辑，故可移植于此。由反证法易知，这两个语句都是假的，矛盾，证毕。
既然“罗素悖论”的一个预设为假，相互推出的语句就都不是命题，更谈不上是什么相互矛盾的命题，故而所谓“罗素悖论”也根本不是什么真正意义上的悖论。
请注意，与“语义悖论”的情况不同，在这里，相互推出的语句并非多义句，而仅为非真非假的单义句。
事实上，我们完全可以一般地证明，对推理规则正确且推理之起始语句若为命题必相互矛盾的“悖论”而言，其预设必然为假。不妨假设其预设为真，此时便有，“悖论”中推理的起始语句乃是命题。因而，它们就是相互矛盾的命题，并且这些推理也是合乎逻辑的。再由反证法即可推出这两个命题之否定，并进而推出这两个命题之合取。矛盾，证毕。
由此可见，对如此这般的“悖论”而言，必能证伪其预设，而一旦做到了这一点，即可断定推理的起始语句必然不是命题，所谓悖论也就消解无存了。
所谓命题实即要么为真要么为假的单义句，故而这些语句只能是多义句或者非真非假的单义句。正如我们所看到的，果不其然，“语义悖论”所含的语句Ａ均为多义句，而诸如“罗素悖论”这样的“集合论悖论”所含的语句则为非真非假的单义句。
于是，我们便为所有“悖论”找到了一个统一的消解原理，那就是求得它的一个预设并以反证法否证之从而使之归于消解。
现在我们可以说，消解“悖论”的正确途径并不是在前提和推理规则上找毛病，而应当是在预设上找毛病。这一点长期以来一直为人们所忽略，而问题的关键却恰恰在于此。

关于“理发匠定理”

“罗素悖论”有两个通俗化的“版本”——“理发匠悖论”和“目录悖论”，有人曾提出所谓“理发匠定理”，试图由此给出“集合论悖论”的统一解。本节的目的在于指出，该“定理”虽然是正确的，却不能起到这个作用，而证伪预设对于消解“集合论悖论”则具有普适性。
　　“理发匠悖论”是罗素本人为使“罗素悖论”更易于理解提出的，可说是后者的通俗版。萨尔维村有这样一位理发匠，他是本村的男人，并且给且只给该村所有不给自己刮胡子的男人刮胡子。现在的问题是，这位理发匠是否给自己刮胡子?显然，如果他给自己刮胡子，他就不给自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子，他就给自己刮胡子。“悖论”由是得以产生。
    “目录悖论”是“罗素悖论”的又一个变种，由瑞士数学家贡赛斯（Gonseth）提出。所有可能的目录可分为两大类：一类是未收入自身的目录，在这样的目录中查不到关于它自身的条目，另一类则是收入自身的目录。所有未收入自身的目录有一个总目录，这个总目录既然也是目录，便有个是否收入自身的问题。显然，如果该总目录未收入自身，它便收入了自身；如果它收入了自身，则又未收入自身。
    由英国逻辑学家汤姆逊(J.F.Thomson)提出而由另一位英国逻辑学家麦基(J.L.Mackie)命名的“理发匠定理”可以消解“理发匠悖论”和“目录悖论”，却不能消解“罗素悖论”。(参见《西方数学哲学》162-167页)
    “理发匠定理”的内容为：设S是一个任意的集合，R是一个至少在S上有定义的任意的二元关系，则S中不存在这样的元素：它与且仅与S中所有那些与自身不具有R关系的元素具有R关系。有人用符号语言把它表为：
    ～(z)(z∈S∧(x)(x∈S∧～R(x,x)R(z,x))
    用反证法很容易证明该“定理”，下面让我们给出它的证明：
不妨假设该“定理”不成立。
此时便有，至少存在一个集合S和一个二元关系R，R在S上有定义，而S中却存在一个元素a，a与且仅与S中所有那些与自身不具有R关系的元素具有R关系。
    由于R在S上有定义，故R(a,a)有真假可言。
    如果R(a,a)为真，则a与自身有R关系，依假设便有a与a不具有R关系，亦即R(a,a)为假，此时便有R(a,a)既真且假，矛盾。
    依反证法即有，R(a,a)非真。
  如果R(a,a)为假，则a与自身不具有R关系，依假设便有a与a有R关系，亦即R(a,a)为真，此时又有R(a,a)既真且假，矛盾。
    依反证法即有, R(a，a)非假。
    于是便有R(a,a)非真非假，矛盾。
    依反证法便有，该“定理”成立，证毕。
利用该“定理”很容易消解“理发匠悖论”。
请注意, 萨尔维村的男人是一个集合，在该集合中任取两个成员x,y(可以相同)，则“x给y刮胡子”要么为真要么为假，这表明“…给…刮胡子”是一个至少在该集合上有定义的二元关系。因此，套用“理发匠定理”即可知道，在萨尔维村的男人中根本不存在这样的成员，他给且只给萨尔维村男人中所有不给自己刮胡子的人刮胡子。简言之，根本就不存在如此这般的理发匠。
利用该“定理”也很容易消解“目录悖论”。
所有可能的目录构成一个集合，从中任取两个目录x,y(可以相同)，则“x收入y”非真即假。因此，二元关系“…收入…”至少在该集合上有定义。由“理发匠定理”易知，根本就不存在这样的目录，它收入且仅收入所有那些未收入自身的目录。
    乍看上去，简单地套用“理发匠定理”即可消解“罗素悖论”。所有的集合也是一个集合（即所谓“大全集”），记作S*。从S*中任取两个集合x,y(可以相同)，则“x以y为元素”要么为真要么为假。这表明，“…以…为元素”是至少在S*上有定义的二元关系。由“理发匠定理”可知，S*中不存在这样的集合，它以且仅以S*中所有那些不以自身为元素的集合为元素。也就是说，所谓“罗素集”——由所有不以自身为元素的集合构成的集合根本就不存在。
    然而，上述证明根本无效。问题在于，该证明实际上是以所有集合的集合——亦即所谓“大全集”的存在为预设的，而“大全集”实际上并不存在。显然，如果“大全集”存在的话，它就以每一个集合为其子集，故有，“大全集”的基数≥任一集合的基数，亦即“大全集”为基数最大的集合。而康托尔定理却断言，对于任一集合，其幂集的基数都大于它的基数。由此不难推知，基数最大的集合根本就不存在。由于从“大全集”存在可以推出一个假命题——存在基数最大的集合，故由反证法即可证得，“大全集”并不存在。
    由此即可看出，关于“罗素集”不存在的上述证明乃是以一个假命题为预设的，其中出现了非命题语句，二值逻辑的推演规则特别是反证法失效，故而整个证明无效。这同时也就表明，不能通过简单套用“理发匠定理”来否定“罗素集”之存在。也正由于该“定理”的作用十分有限，麦基才不无调侃地把它贬称为“理发匠定理”。
    实际上，正如上一节指出的，我们完全可以利用“罗素悖论”本身来证明“罗素集”不存在。
    对于萨尔维村的理发匠以及未收入自身的目录之总目录的不存在，我们的直觉似乎很容易接受。然而，对于“罗素集”之不存在，我们的直觉却难以接受。也许，下面的讨论将使之更容易为我们所接受。
    我们很容易承认，最大的自然数是不存在的。与此多少有点类似，我们也易于承认，基数最大的集合是不存在的。由于“大全集”只能是基数最大的集合，所以，我们也能够接受，“大全集”是不存在的。显然，如果我们能够表明，“罗素集”存在实际上便意味着“大全集”存在，那末，前者之不存在就会更易于为我们所接受。
    事实上，如果“罗素集”存在，那末，“反罗素集”——以自身为元素的集合之集合便理应存在，它们的并集自然也就存在。显然，任何一个集合要么属于前者，要么属于后者。这意味着，“罗素集”与“反罗素集”之并集正是“大全集”。也就是说，“大全集”便理应存在。如此说来，“罗素集”之不存在也不是完全不可理解的。
    如前所述，“萨尔维村的理发匠”、“未收入自身的目录之总目录”以及“罗素集”实际上皆空无所指。显然，通过用反证法证伪这些“悖论”的预设即可得出上述结论，从而消解之，而“理发匠定理”则并不具有普适性。
    应当指出的是，弗雷格晚年曾意识到，“集合论悖论”是由无指称对象的专名引起的。他如此写道：“对思维可靠性的灾难是：存在一种用语言创造没有相应对象的专名的倾向。……一个特别值得注意的例证是，依据‘概念a的外延’把专名构成，譬如‘概念固定的星星的外延’。这个表达式似乎是指一个对象，因为它有定冠词，但不存在能以这种方法用语言指称的对象。由此就产生了集合论悖论。我自己就被这种骗人的外表所愚弄，我企图通过把它们看作集合而给出数的逻辑基础。”(见H．D．斯鲁格著《弗雷格》中文版第364页)
    上述分析结果表明，弗雷格晚年的直觉是正确的。不过，令人欣慰的是，那并不是什么真正意义上的悖论，因而并不会给思维的可靠性带来灾难。

“悖论”不包含矛盾

　　在消解了所谓“悖论”（“语义悖论”以及“集合论悖论”）之后，随之而来的问题自然就是：“悖论”究竟包不包含矛盾？回答应当是否定的。
　　纵观悖论研究现状，“悖论”包含矛盾的观点似乎仍然占据着主流地位——分歧仅仅在于它所包含的矛盾性质为何，而不在于它究竟是否包含矛盾。
确切地说，“悖论”包含矛盾的意思无非是：由“悖论”可以合乎逻辑地推出两个相互矛盾命题之合取。
我们知道，“悖论”看上去似为两个相互矛盾命题的合乎逻辑的相互推出。在此基础上，对这两个推理分别使用反证法，即可分别推出这两个命题，亦即可推出两者之合取。于是便有，由“悖论”可以合乎逻辑地推出一对相互矛盾的命题之合取。“这便是“悖论”包含矛盾说的由来。
例如，“强化的说谎者悖论”表现为：
如果“本语句非真”为真，则有“本语句非真”非真；
如果“本语句非真”非真，则有“本语句非真”为真。
    将反证法分别用于以上两个推理，即可推出：“本语句非真”非真，“本语句非真”并非非真。于是便有，“本语句非真”为真∧“本语句非真”非真。
再如，“罗素悖论”表现为：
如果罗素集以自身为元素，则罗素集就不以自身为元素；
如果罗素集不以自身为元素，则罗素集就以自身为元素。
　　将反证法分别用于以上两个推理，即可推出，罗素集不以自身为元素，罗素集并非不以自身为元素。于是又有，罗素集以自身为元素∧罗素集不以自身为元素。
显然，如果“悖论”中的那两个语句确为命题，上述推理即合乎逻辑，而“悖论”包含矛盾说自然也就是成立的。然而，正如我们已经看到的，“悖论”中的那两个语句实质上并不是命题。在此基础上，我们很容易看出，上述推理根本就不合逻辑。因而，结论只能是：由“悖论”不能合乎逻辑地推出两个相互矛盾命题之合取，而仅能不合逻辑地推出两个非命题语句的合取。这样，我们便有双重的理由说，“悖论”根本不包含矛盾。
关于这些语句之不是命题，此前我们已做过详细论证。正如我们所看到的，在“语义悖论”那里，它们实为多义句，在“集合论悖论”那里，它们实为非真非假的单义句，根本就不是什么命题，更谈不到是什么相互矛盾的命题。
以下我们仅想说明，由“悖论”到“矛盾”的推理不合逻辑。
我们已经看到，由“悖论”到“矛盾”的推理两次用到反证法，因此，我们只消指出，那里误用了反证法即可得出上述结论。
简言之，反证法无非是说，若从任一命题Ａ（以及若干真命题）可以合乎逻辑地推出一命题Ｂ及其否定之合取（亦即Ｂ∧～Ｂ），即可推得命题Ａ之否定（～Ａ）。
由此可见，反证法仅仅适用于命题，而不适用于非命题语句。
事实上，若Ａ为多义句，由于其语义不明确，施推理于Ａ即为逻辑之误用，根本就谈不上从中合乎逻辑地推出什么，反证法必不适用。若Ａ为非真非假的单义句，设其为真固无不可，但推出矛盾之后却只能断言它不是真的，却绝不能断言它是假的（此时排中律业已失效），更不能进而推得～Ａ（事实上它与Ａ一样是非真非假的），反证法亦不适用。
由此即可断言，由“悖论”到“矛盾”的推理误用了反证法，根本不合逻辑。
总之，由“悖论”并不能合乎逻辑地推出两个相互矛盾的命题之合取，而仅能不合逻辑地推出两个非命题语句之合取。这显然意味着，“悖论”根本不包含矛盾。
那么，导致这种错误认识的原因究竟何在呢？归根结底，就是把“悖论”中的非命题语句Ａ误当作命题了。
如此说来，不是“悖论”包含矛盾，而是我们对“悖论”中语句之性质的主观认识与客观实际相矛盾。

关于“可定义性悖论”

既然我们讨论到了“语义悖论”，就不能不提到有时也被称作“语义悖论”的“可定义性悖论”。
应当指出的是，这类“悖论”之所以被视为“悖论”，倒不是由于它们看上去是两个相互矛盾命题的合乎逻辑的相互推出，而只不过是由于它们看上去是两个相互矛盾命题之合取的合乎逻辑的推出。换言之，它们并非被看作典型悖论，而只不过是被看作非典型悖论。
我们很快就会看到，它们连非典型悖论也谈不上。这是因为，在那里，所谓“相互矛盾的命题”同样有一个虚假预设，因而根本就不是什么命题，而只不过是非真非假的语句。我们还会看到，“可定义性悖论”与其说是相似于“典型语义悖论”，倒不如说是更相似于“集合论悖论”，这是因为，两者提及的“个体”均不存在。
　　“可定义性悖论”包括所谓“理查德悖论*”（该“悖论”也被称作“理查德悖论”，为与前述“理查德悖论”相区别特加“*”号以示区别）、“策梅罗——康尼悖论”和“贝利悖论”等。这类“悖论”的共同构造特点是：把一类数依据能否用长度受到特定限制的词组定义分为两类，一类可以用该种方式定义，另一类则不能用该种方式定义；在此基础上，再给出一个不能用该种方式定义的数的定义，而这个定义所采用的又恰恰是该种方式；于是便有，这个数既可以用该种方式定义，又不能用该种方式定义，这显然是有悖事理的。
    “理查德悖论*”是法国第戊公立中学教授理查德（J．Richard）于1905年提出的。试考虑无穷十进位小数（以下简称“小数”）。所有可以用有限字数定义的小数构成一个集合E，由于这些定义可按字典序排列，故与之对应的小数亦可按相应次序排列成一个数表：
              0.XllX12X13……
0.X21X22X23……
0.X31X32X33……
…………………
沿着这个数表的“对角线”由左上至右下依次取一位数即可构造出如下小数：
              0.XllX22X33……
将此小数中的每一个Xii均改写为其后继（即Xii＋1），若其为9，则改写为0，由此即可得一小数,记作 e 。由于 e与该数表中的任何一个小数至少相差一位数字，故e显然不在该数表中，这意味着e不在E中，亦即e是不能用有限字数定义的。然而，依照e的构造过程，显然可以给出e的一个定义，并且这个定义还是字数有限的。于是便有，e既可以用有限字数定义又不能用有限字数定义，此即所谓“理查德悖论*”。往往为人们所忽视的是，理查德本人根本就不承认这是什么悖论。他明确指出，这里实际上并不存在矛盾，因为用有限字数可定义的小数集合完全不能理解为包含任何仅仅涉及整个集合才可定义的小数。
    几乎与此同时，康尼（J．Konig）也发表了一个“悖论”。实数是不可数的，而可以用有限字数定义的实数却是可数的，所以，不能用有限字数定义的实数不是空集。假如实数集可以被良序，则作为其子集的不能用有限字数定义的实数也可以被良序，并且其中有一个首元素。显然，这个首元素完全可以用有限字数定义。于是便有，这个首元素既可以用有限字数定义，又不能用有限字数定义。然而，值得注意的是，康尼本人同样不认为这是什么悖论，反倒是利用它推翻了前述假设，得出了实数集不能被良序的结论。策梅罗（E．Zermelo）此前业已证明了与此相反的结果并为人们广为接受。既然如此，康尼推出的矛盾似乎就真成了悖论，此即所谓“策梅罗——康尼悖论”。
此后不久，博德里安（Bodleian）图书馆的贝利（G.G.Berry）又发现一个“悖论”。贝利把它提供给罗素，由后者披露于世。试看“the least Integer not nameable in fewer than nineteen  syllables”（不能用少于 19个音节命名的最小整数）。为这个词组所指定的数（据罗素说是111777！见罗素著《逻辑与知识》，商务印书馆1996年版，72页）既是不能用少于19个音节命名的，又是可以用少于19个音节命名的，因为那个用以为之命名的词组仅含18个音节。“贝利悖论”有多种变体，下例即为其中之一。试看“the least positive integer which  can not be described In at most a hundred letters”（用至多100个字母所不能描述的最小的正整数）。为这个词组所描述的正整数既不能用至多100个字母描述，又可以用至多100个字母描述，因为那个用以描述它的词组仅含68个字母。
在“可定义性悖论”中，以“贝利悖论”最为简洁明快，有人誉之为“理查德悖论的一种深刻和天才的简化”。
    “可定义性悖论”不止以上3种。例如，巴勒莫数学小组早在1897年就发表过一个这样的“悖论”。超穷序数之中有一些是可以定义的，而另一些则不能定义。由于可以定义的超穷序数是可数的，而超穷序数是不可数的，因而必定存在不可定义的序数，并且其中有一个是最小的。然而，这个序数却可以被定义为“最小的不可定义的序数”。
    “可定义性悖论”是真正意义上的非典型悖论吗？迄今为止，肯定的看法似乎依然占据主流地位，而我们则试图作出否定的回答。
    如前所述，理查德本人根本不承认被冠以他的姓名的“悖论”是什么悖论。然而，他的论证却建立在“可以用有限字数定义的小数”有确定的外延的基础上。这实质上相当于把原先那个定义改成了“可以用有限字数但不借助‘可以用有限字数定义的小数’这个概念定义的小数”，而原先利用对角线方法给出的小数的定义也必须作相应修改。此时，这个被重新定义的小数虽然可以用有限字数定义，却绝不能不借助“可以用有限字数定义的小数”定义。换言之，这个小数根本不能用有限字数但不借助上述那个概念定义，而绝不会同时也可以用有限字数但不借助上述那个概念定义。矛盾由是得以避免。请注意，在这里，“可以用有限字数定义”变成了“可以用有限字数但不借助‘可以用有限字数定义的小数’定义”，这是两种判然有别的可定义性。由此可见，理查德实质上乃是通过修改定义或者说偷换概念来解决原先那个问题的。正由于理查德实际上并没有真正消解这个“悖论”，才留下了此后弄假成真的后遗症。
    既然问题出在定义上，出路也许就在于禁止使用某种引起麻烦的定义。彭加勒的想法是，应当禁止使用借助“可以用有限字数定义的小数”给出的小数定义以及诸如此类的东西。这些定义都属于所谓非直谓定义，一般认为，“非直谓定义”是指“旨在通过提及归属于一个概念的一切可能对象的整体来判别一个归属于那个概念的对象的定义”。也有人把这种定义的特征说成是：“它借助于一个整体来定义一个对象，而这个对象又属于这一整体。”彭加勒的结论是，非直谓定义乃是此类悖论甚或一切悖论的根源，只有禁止使用这种定义才能避免悖论。这不啻是说，“可定义性悖论”确为悖论，我们所能做的只不过是设法躲避它而已。
    罗素不但赞同此说，还进而提出了“恶性循环原则”。这个原则可表述为：“任何涉及一个集合整体的对象都不是这一集合的元素。”或者“如果承认某种汇集能构成一个整体，它就将包含那种只能借助于这一整体才能定义的元素，那么所说的这种汇集就不能构成整体。”（参见《西方数学哲学》，142页）依照罗素的看法，那些非直谓定义正是由于违反了这一原则而陷于恶性循环，才导致了悖论。
    此后，罗素的大弟子兰姆塞（F.P.Ramsey）又起而反对彭加勒和罗素的主张。在他看来，问题不能归咎于非直谓定义，因为这种定义非但不可或缺（否则许多数学概念如“上确界”以及相关的定理、证明都将无法表达），并且根本不会导致恶性循环。他主张，解决“可定义性悖论”甚或所有“语义悖论”均应从澄清字句的含混性人手。不过，他并没有拿出具体的解决办法。
    正由于“可定义性悖论”始终未被真正消解，所以，迄今为止，它们仍作为真正的悖论而被列人各种权威性工具书。
    在我们看来，此种“悖论”之解决完全不必仰仗修正或禁止相应的定义，而在于揭示所谓“相互矛盾的命题”的空洞性，亦即其主词之所指实际上并不存在。我们将主要就“贝利体论”这个最简单的“可定义性悖论”展开讨论，因为其他“可定义性悖论”亦可以同样方法予以消解。
为叙述方便，让我们看看“贝利悖论”的中文版：用少于二十个汉字不能定义的最小的正整数既不能用少于20个汉字定义，又能用少于20个汉字定义（因为上面给出的这个数的定义仅含19个汉字）。
在这里，似乎出现了两个相互矛盾的命题的合取。然而，问题同样在于，为这两个语句所共享的预设是否都是真的。显然，如果回答是肯定的，那么，“贝利悖论”就的确成了非典型悖论。反之，它们就根本不是命题，更谈不到是什么相互矛盾的命题，因而该“悖论”也就不是什么非典型悖论。
显然，根据预设理论，它们的一个共同预设是：存在且仅存在一个用少于20个汉字不能定义的最小的正整数。
为了证明这个预设是假的，我们只需证明用少于20个汉字所能定义的正整数之集合实际上并不存在。这是因为，如果事实的确如此，其“补集”——用少于20个汉字不能定义的正整数之集合就不存在，所谓其中最小的正整数自然也就无从谈起了。
与以前一样，我们完全可以将此“悖论”纳入一个反证法证明，证明用少于20个汉字所能定义的正整数的集合不存在。
    不妨假定这个集合是存在的，则其补集——不能用少于20个汉字定义的正整数的集合也是存在的，并且在这些正整数中还肯定有一个是最小的。然而，这个数又恰恰可以用少于20个汉字定义。于是便有，这个数既能又不能用少于20个汉字定义，矛盾。由反证法可知，用少于20个汉字所能定义的正整数之集合根本不存在。
由此可见，上述那两个语句有一个假预设——存在且仅存在一个用少于二十个汉字不能定义的最小的正整数。如此说来，它们根本就不是命题，而只不过是非真非假的单义句，“悖论”由是得以消解。
耐人寻味的是，我们为什么竟然会倾向于认为用少于20个汉字所能定义的正整数的集合是存在的。
这主要是因为，的确存在着用少于20个汉字所能定义的特定的正整数，例如，2便能用“最小的偶数”来定义。这便诱使我们相信，只要将正整数由小自大逐一过“筛子”，最后总能找出所有这样的数（因为少于20个汉字的汉字排列毕竟是有限的）。所有这些数的全体难道不正是用少于20个汉字所能定义的正整数的集合吗？然而，且慢。在这些数中，没有一个是由于可以用“用少于二十个汉字不能定义的最小的正整数”来定义而被列入其中的。要是我们把它们视为用少于20个汉字所能定义的正整数的集合，就可以在它们之外找出一个最小的正整数，并由于它可以用“用少于二十个汉字不能定义的最小的正整数”来定义而被迫将它添加到原先的集合之中。然而，这实际上便意味着，原先那个集合绝不真是用少于20个汉字所能定义的正整数的集合。这足以表明，我们先前的的直觉乃是错误的。那么，要是我们将这个扩充后的正整数的全体当作就是这样的集合，情况又会怎样呢？不难看出，我们同样不得不添加进一个新的正整数来做出修正。就像被推倒的多米诺骨牌那样，我们的希望一个接一个地破灭，永远找不到我们真正要找的东西。显然，这种努力在有限次之后就宣告终结，因为少于20个汉字的汉字排列之数目即为其上限。
同理，“理查德悖论*”、“策梅罗——康尼悖论”等“可定义性悖论”也都不是真正意义上的非典型悖论。
附带提一下，康尼实际上也是把“策梅罗——康尼悖论”纳人了一个反证法证明。令人遗憾的是，他并没有用它来否证那个潜在的预设，而是否证了一个真理。
如此说来，我们根本无须禁用非直谓定义以便避免悖论，因为那根本就不是悖论，所需要的只不过是对这种酷似悖论的佯悖的产生根源及其本质有一个正确的认识。
    值得注意的是，威廉·涅尔和玛莎·涅尔在《逻辑学的发展》一书中评论彭加勒有关非直谓定义的论文时，曾表示不同意对“非直谓定义”作上述理解，说是“从上下文可以看出，彭加勒只是想说明为什么一些看来象是定义的短语并不定义什么。”（811页）如果彭加勒的本意的确如此，则我们的看法可视为对其观点的发挥。
此前我们曾经提到，弗雷格经多年深思曾就“集合论悖论”发表过如下洞见；“对思维可靠性的灾难是：存在一种用语言创造没有相应对象的专名的倾向。……由此就产生了集合论悖论。我自己就被这种骗人的外表所愚弄，我企图通过把它们看作集合而给出数的逻辑基础。”（参见Ｈ.Ｄ.斯鲁格《弗雷格》，364页）现在我们看到，这种“用语言创造没有相应对象的专名的倾向”同样可以导致“可定义性悖论”。在这里，这种专名甚至表现为如此极端的形式，那就是对于不可定义的东西给出的定义。
现在我们可以说,证伪预设不仅适用于消解“悖论”，也适用于消解“可定义性悖论”这种“非典型悖论”。

关于日常语言中的“哥德尔语句”

　　最后，我们还想附带讨论一下由日常语言中的“哥德尔语句”引出的“悖论”。它很少为人提及，似乎也未正式归类，却值得引起注意。我们将会看到，消解“悖论”的统一原理对它也完全适用。
哥德尔表明，在包含数论的形式系统Ｓ中可构造一语句Ｇ，若Ｓ是一致的，则Ｇ与～Ｇ在Ｓ中均不可证，此即著名的哥德尔不完全性定理。语句Ｇ恰可解释为“Ｇ在Ｓ中不可证”，该解释显然为真。
由Ｇ的这个独特的解释即不难理解上述结果：在Ｓ一致（亦即对任一合式公式Ａ而言，Ａ与～Ａ不可能同时在Ｓ中得到证明）的前提下，对Ｇ而言，显然仅有以下三种可能：（１）Ｇ在Ｓ中可证而～Ｇ在Ｓ中不可证；（２）～Ｇ在Ｓ中可证而Ｇ在Ｓ中不可证；（３）Ｇ与～Ｇ在Ｓ中均不可证。假设Ｇ在Ｓ中可证，则有该解释为真，于是便有，Ｇ在Ｓ中不可证，矛盾，这便排除了（１）。假设～Ｇ在Ｓ中可证，则有该解释为假，因而又有，Ｇ在Ｓ中可证，亦即Ｓ不一致，矛盾，这又排除了（２）。由此可见，若Ｓ是一致的，必有Ｇ与～Ｇ在Ｓ中均不可证。
Ｇ在上述解释下的含义实为其自身在Ｓ中不可证。显然，它在日常语言中的对应物应为“本语句不可证”，此即本文所谓的日常语言中的哥德尔语句，简记作ｇ。
尽管有学者称，Ｇ可导致“哥德尔悖论”，却遭到多数人的反对。其理由主要是：虽说由Ｇ在Ｓ中可证可推出Ｇ在Ｓ中不可证，但由Ｇ在Ｓ中不可证却推不出Ｇ在Ｓ中可证。
然而，著名逻辑学家沈有鼎先生指出，与Ｇ不同，ｇ有导致悖论之嫌（参见张家龙《论语义悖论》，《哲学研究》1981年8期，复印报刊资料《逻辑》1981年８期）。此说自然有其道理，因为下述推理似乎的确是成立的：
如果ｇ可证，则ｇ就是真的，于是便有ｇ不可证；
如果ｇ不可证，则有ｇ，于是又有ｇ可证。
既然ｇ引出了“悖论”，就存在一个如何消解它的问题。根据我们业已找到消解“悖论”的统一原理，就应找出它的一个预设并否证之。请注意，在这里，“g可证”并非是指在特定的形式系统中形式地可证，而是指g的含义亦即其所断言的东西能否（由真前提）合乎逻辑地推出。如此说来，g有且仅有一个语义亦即g为单义句即应为“g可证”与“g不可证”之预设，亦即该“悖论”之预设。
现在，让我们证伪这个预设，亦即证明ｇ并不是单义句，而是多义句。
证明：
不妨假设“本语句不可证”为单义句。
此时便有，“本语句不可证”要么为真，要么为假，要么非真非假。
如果“本语句不可证”为真，便有本语句不可证，亦即“本语句不可证”不可证，于是便有“‘本语句不可证’不可证”可证，亦即“本语句不可证”可证，矛盾。
由反证法即有，“本语句不可证”非真。
如果“本语句不可证”为假，便有“本语句不可证”可证，于是便有“本语句不可证”为真，矛盾。
由反证法即有，“本语句不可证”非假。
如果“本语句不可证”非真非假，便有“本语句不可证”不可证，亦即有本语句不可证，于是便有“本语句不可证”为真，矛盾。
由反证法即有，“本语句不可证”并非非真非假。
综合以上三个子证明的结果即有，“本语句不可证”既不是真的，也不是假的，又不是非真非假的。矛盾，证毕。
既然ｇ不是单义句而是多义句，接下来的问题自然就是，它究竟有那些语义以及在每一种语义下取何真值。
我们知道，“本语句不可证”之中的“本语句”所指称的正是该语句本身，这意味着，“本语句不可证”只不过是“‘本语句不可证’不可证”的简略写法，二者形异而义同。同理，后者又只不过是（（（本语句不可证）不可证）不可证）的简略写法，二者亦形异而义同。此种分析可一直进行下去，最后我们便会发现，“本语句不可证”原来同义于下面这个无穷嵌套的自相似结构：
（（（（……）不可证）不可证）不可证）
对这个无穷嵌套的语句显然可作多种理解：
一方面，我们可以把它理解为是在说一个语句不可证，而那个语句又在说一个语句不可证，如此等等，以至无穷。此时，它便是一个永远也说不完的、语义不完整的语句，该无穷嵌套语句在这个语义下的真值只能是非真非假。
另一方面，由于其构造的特殊性，我们又可把它理解为是在说上述语义下的语句不可证。由于上述语义下的语句是非真非假的，显然不可证，故而该无穷嵌套语句在此语义下的真值显然为真。
再一方面，我们还可把它理解为是在说上述语义下的语句不可证，请注意，我们在前面实际上业已给出了上述语义下的该语句的一个证明，故而该无穷嵌套语句在此语义下的真值显然为假。
此种分析可一直进行下去。
由此可见，该无穷嵌套语句实际上具有无穷多种语义，且在每种语义下均取唯一确定的真值，依次为非真非假以及真与假的交替出现。
如前所述，ｇ同义于这个无穷嵌套的语句，故而ｇ实际上也具有一如上述的无穷多种语义，且在每种语义下均取唯一确定的真值。
基于上述结论，我们现在有双重理由否定这个“悖论”是真正意义上的悖论。
其一，由于ｇ为多义句，“ｇ可证”（以及“ｇ不可证”）亦便成了多义句，根本就不是命题。所以，在这个“悖论”中，并不是两个相互矛盾的命题在相互推出，而只两个多义句在相互推出。
其二，这种相互推出还犯有施推理与多义句的错误，纯属逻辑之误用，根本就不合逻辑。
由此可见，该“悖论”绝非真正意义上的悖论。
最后，我们仅想指出，这个“悖论”与著名的“说谎者悖论”等“语义悖论”本质上并无不同，同为两个多义句的不合逻辑的相互推出。

结语
　　
现在让我们回过头来整理一下我们的思路。
我们先是由“悖论”与反证法证明的相似性，想到可以利用反证法消解“悖论”。接着，我们便用反证法证明了导致“说谎者悖论”的“本语句为假”不是命题。这一点虽然是正确的，但思维定势却诱使我们以为它是非真非假的单义句。然而，我们很快就发现，这个想法尽管表面看上去有助于消解这个“悖论”，实际上却只能使我们重新回到“悖论”，这迫使我们寻找新的出路。通过对“说谎者”之所言的语义分析，我们领悟到，这个看似简单至极的语句原来同义于一个无穷嵌套的自相似结构。这个结构的特性给我们带来了灵感：“本语句为假”原来是一个具有无穷多种语义的多义句，且在每种语义下均取唯一确定的真值。这导致了反证法的第二次使用，这一次我们证明了，“本语句为假”乃是多义句。这个结论终于使“说谎者悖论”获致彻底消解：原来，它根本就不是什么两个相互矛盾命题的合乎逻辑的相互推出，而只不过是两个多义句的不合逻辑的相互推出。如此说来，我们本来就不该进行这种推理，这倒不单是因为这样做会引出悖论（否则，这一断言就是特设性的），而是出于一个十分基本也十分简单的原因，那就是逻辑根本就不适用于多义句。
沿着同一思路，我们很快就发现，其他“语义悖论”——“强化的说谎者悖论”、“格雷林悖论”以及“理查德悖论”中的“本语句非真”、“‘非自状的’是非自状的”、“ｉ是理查德数”完全类似于“本语句为假”，也同义于一个无穷嵌套的自相似结构，同样具有无穷多种语义，且在每种语义下取唯一确定的真值。与此同时，这些“新奇的真理”也都能通过反证法予以严格证明。这样，我们便为所有“语义悖论”找到了一个非特设性的统一消解原理，那就是：通过揭示其中一个语句的多义性本质，进而表明它们并非两个相互矛盾命题的合乎逻辑的相互推出，而只不过是两个多义句的不合逻辑的相互推出。
事后回想起来，我们也许还可沿着另一条思路发现“语义悖论”之上述“悖论性语句”的多义性。那就是，先证这些“悖论性语句”不是命题，再证它们不是非真非假的单义句，由此即可得出它们是多义句的结论。不过，省却了无穷嵌套的自相似结构这一环节，毕竟会使我们丧失生动的“直观”、对这些“悖论性语句”的语义和真值之无穷多样性的洞察以及此一结论的可信性。
进一步的思考表明，上述那些“新奇的真理”都是“语义悖论”的一个预设的否定，因而都可以通过证伪它们的一个预设得出。因而，消解“语义悖论”的方法也可概括为，通过证伪其一个预设来予以消解。这使我们进一步想到，同为“悖论”的“集合论悖论”也可以同样方式予以消解。于是，我们便最终找到了“悖论”的统一消解原理。
我们甚至还表明了，这一消解原理对作为“非典型悖论”的“可定义性悖论”也是同样适用的。
最后，我们还附带用这个原理成功地消解了由日常语言中的哥德尔语句引出的“悖论”。
回顾一下本文开头列举过的有关“说谎者悖论”（以及“强化的说谎者悖论”）的诸多见解，便会发现，它们虽种类繁多，却有一个共同的特点，那就是视“说谎者”之所言为单义句。正如我们所看到的，它们实际上并没有穷竭解决这一“悖论”的全部逻辑上的可能性。只要我们跳出这个思维定势，重新转换视角，就会豁然开朗，而“说谎者”亦将因此而展露其“庄严宝相”，从而为“悖论”之统一消解敞开大门。
应当指出的是，过去也曾有人疑心“悖论”可能与语言中的歧义性有关，却始终被视为是一条绝路。英国学者麦基在《真理、盖然性和悖论》一书中曾逐一批驳了西方悖论研究中８种比较流行的理论，其中第一种即与此有关。据杨熙龄先生介绍（见《悖论文献访求漫记》，《逻辑》1985年1期），这８种理论是：
一、认为悖论是无足轻重的问题，也很容易排除，因为它们是从语言的误用（例如语义含糊和语言缺乏含义等等）中产生的。
二、认为悖论对于集合论和数学基础说来，可能极关重要，对语言哲学说来也可能如此，但对一般哲学家说来，没有多大意义。
　　三、认为依靠形式逻辑的有效论证，即可解除这些悖论。
四　认为若干悖论促使我们去修正关于“集合”和“类”的素朴概念。
　　五、认为有些悖论使我们有必要明确区分“对象语言”、“元语言”、“元元语言”等等。
六、认为需要改变思维和语言习惯。
七、认为“自我涉及”（self-reference）在逻辑上和语言上是不正当的用法（应该
　　禁止）。
八、认为悖论可以分为完全不同的2类：语义悖论和逻辑数学悖论。
现在看来，这倒不是事出无因：语言学家注意的仅为有有限歧义的句子，而逻辑学家又从一开始就摈弃有歧义的句子，有谁又会想到，在我们的语言中，竟然存在这种貌似简单却具有无穷多种语义的多义句呢？
分析哲学家曾指出，形而上学命题乃是出于对语言的误解和逻辑的误用。现在我们可以说，这一断言至少对于“悖论”，特别是“语义悖论”是非常适用的。
大数学家哈代（G.H.Hardy）认为，真正伟大的定理应具有三个特点，即：精炼、必然、意外。（参见威廉·邓纳姆（W.Dunham）《天才引导的历程》，中国对外翻译出版公司1994年版，319页）我们相信，无论悖论研究的最终结论是什么，上述三大特点也必将为其所具有。
最后我们想说，消解“悖论”的意义绝不仅仅是消极的，更有其积极的一面。亦即其意义不仅仅在于驱散飘浮在逻辑乃至人类理性上空的一朵乌云，更在于由此发现新奇的真理，进而完善相关的理论体系。为此，我们想引用英国哲学家A.J.艾耶尔（Ayer）的一段话作为结束语：
“数学家竭力证明他们的系统的一致性，因为他们要保证它们不致陷入矛盾。他们之所以把避免矛盾看得如此重要，其原因恰好不是因为矛盾必定是假的，而是因为任何命题都可以从它推导出来。因而它威胁着系统整体的功用。但是我们必须把这种威胁看得如此严重吗？为什么我们不对矛盾或引起矛盾的命题分别进行检查呢？如果我们能把它们与系统主体分离开来，如果我们发现能对余下部分作有益的利用，我们为什么不这样做呢？”（见艾耶尔著《维特根斯坦》，中国社会科学出版社1989年版，112页）