2019年CSP-J2第三题：纪念品（souvenir）题解
题目来源
2019年CSP-J第二轮认证，第三题纪念品。
题目链接：http://47.110.135.197/problem.php?id=5078。
题面
小伟突然获得一种超能力，他知道未来 T 天 N 种纪念品每天的价格。某个纪念品的价格是指购买一个该纪念品所需的金币数量，以及卖出一个该纪念品换回的金币数量。
每天，小伟可以进行以下两种交易无限次：
- 任选一个纪念品，若手上有足够金币，以当日价格购买该纪念品；
- 卖出持有的任意一个纪念品，以当日价格换回金币。
每天卖出纪念品换回的金币可以立即用于购买纪念品，当日购买的纪念品也可以当日卖出换回金币。当然，一直持有纪念品也是可以的。
T 天之后，小伟的超能力消失。因此他一定会在第 T 天卖出所有纪念品换回金币。
小伟现在有 M 枚金币，他想要在超能力消失后拥有尽可能多的金币。
输入
第一行包含三个正整数 T, N, M，相邻两数之间以一个空格分开，分别代表未来天数 T，纪念品数量 N，小伟现在拥有的金币数量 M。
接下来 T 行，每行包含 N 个正整数，相邻两数之间以一个空格分隔。第 i 行的 N 个正整数分别为 
，其中 
示第 i 天第 j 种纪念品的价格。
输出
输出仅一行，包含一个正整数，表示小伟在超能力消失后最多能拥有的金币数量。
样例输入
6 1 100
50
20
25
20
25
50样例输出
305数据规模与约定
对于 10% 的数据，T=1。
对于 30% 的数据，T ≤ 4, N ≤ 4, M ≤ 100，所有价格 10 ≤ Pi,j ≤ 100。
另有 15% 的数据，T ≤ 100, N = 1。
另有 15% 的数据，T = 2, N ≤ 100。
对于 100% 的数据，T ≤ 100, N ≤ 100, M ≤ 10^3，所有价格 1 ≤ Pi,j ≤ 10^4，数据保证任意时刻，小明手上的金币数不可能超过 10^4。
样例说明
最佳策略是：
第二天花光所有 100 枚金币买入 5 个纪念品 1；
第三天卖出 5 个纪念品 1，获得金币 125 枚；
第四天买入 6 个纪念品 1，剩余 5 枚金币；
第六天必须卖出所有纪念品换回 300 枚金币，第四天剩余 5 枚金币,共 305 枚金币。
超能力消失后，小伟最多拥有 305 枚金币。
题目分析
按照惯例，第三题开始涉及到算法。下面我们按照数据规模进行逐步分析。
骗分部分
从数据规模分析中，我们可以很容易知道，可以骗分的部分如下。
对10%数据，T = 1
表示只有一天。OK，那就没法买卖。最终的结果就是 M。
好的，这样 10% 的分数到手。
对于15%数据，N = 1
表示只有一件商品。哪么策略就是看价格的变化。
持续涨价持有，最高价格卖出，最低价格买入。比如提供的数据样例就是这样。
完整部分
这题是一个标准的动态规划问题。有人问为什么是动态规划？很简单啊，题目要求是最大值。
进一步分析，比较标准的完全背包问题。就是每天都是独立的，反复做背包处理。
首先，我们可以当天买，当天卖，所以可以第一天买了一个纪念品，第二天卖了再买，第三天再卖。所以我们只需处理每一天，完全背包，设 f[i][j] 为 i 个物品，成本为 j 时可以赚到的钱。对应的状态转移方程为
//不选，或（再）选一个
f[i][j] = max{f[i-1][j], f[i][j-value[i-1][j]] - value[i-1][j] + value[i][j]}
剩下的就是套用完全背包问题模板。
参考代码
//5078
//2019年CSP-J2第三题：纪念品
//http://47.110.135.197/problem.php?id=5078
#include
#include
#include
const int MAXN = 1e2 + 2;
int val[MAXN][MAXN] = {};//记录每个商品的价值
const int MAXM = 1e4 + 2;
int f[MAXN][MAXM] = {};
int main() {
int t,n,m;
scanf("%d%d%d", &t, &n, &m);
//读入商品价值，为了方便起见，我们从1开始
for(int i=1; i<=t; i++) {
for(int j=1; j<=n; j++) {
scanf("%d", &val[i][j]);
}
}
//数据处理
for(int i=2; i<=t; i++){//天数
memset(f, 0, sizeof(f));
for(int j=1; j<=n; j++){//物品
for (int k=0; k<=m; k++) {//本金
f[j][k] = f[j-1][k];
if (k >= val[i-1][j]) {
f[j][k] = std::max(f[j][k], f[j][k-val[i-1][j]]-val[i-1][j]+val[i][j]);
}
}
}
m += f[n][m];//加上赚到的价值
}
printf("%d\n", m);
return 0;
} P.S.
1、道歉，这么晚才发出这个题解，现在是真的忙到飞起。
2、这题在洛谷竟然有原题P2938，太不讲究了。https://www.luogu.com.cn/problem/P2938。