ACM：数论专题(3)——约瑟夫问题

(p.s: 以前做约瑟夫问题都是用链表模拟，今天发现了一个效率更高的方法，受教了。。。)

题目描述：

    小Hi和小Ho的班级正在进行班长的选举，他们决定通过一种特殊的方式来选择班长。

    首先N个候选人围成一个圈，依次编号为0..N-1。然后随机抽选一个数K，并0号候选人开始按从1到K的顺序依次报数，N-1号候选人报数之后，又再次从0开始。当有人报到K时，这个人被淘汰，从圈里出去。下一个人从1开始重新报数。

    也就是说每报K个数字，都会淘汰一人。这样经过N-1轮报数之后，圈内就只剩下1个人了，这个人就作为新的班长。

    举个例子，假如有5个候选人，K=3：

    初始 0: 0 1 2 3 4 
    从0号开始报数，第1次是2号报到3
         1: 0 1 - 3 4   // 0 1 2, 2号候选人淘汰 
    从3号开始报数，第2次是0号报到3
         2: - 1 3 4     // 3 4 0, 0号候选人淘汰
    从1号开始报数，第3次是4号报到3
         3: 1 3 -       // 1 3 4,   4号候选人淘汰
    从1号开始报数，第4次是1号报到3
         4: - 3         // 1 3 1, 1号候选人淘汰
    
    题目要求给定人数n和k值后，求出最后获选班长的人的编号。

 解答：
    本题最原始的办法是用环形链表模拟所有候选人的编号，当一个候选人淘汰时就将对应的节点从链表中删除，直到整个链表中只剩下一个节点时结束。这样的算法的时间复杂度为O(nk),效率比较低，并且如果n很大的话，会占用庞大的内存空间，这是不现实的。
    下面给出两种基于递推的解法：

·递推方法(1)：
         设f(x)为给定k值的情况下，有x个候选人时，最后获选的人的编号。显然：
                f(1) = 0 (只有1个人候选人时，他就是最后的获选者).
      当 x>1 时，f(x)的值可以用下面的递推公式计算：
                f(x) = (k + f(x - 1)) % n.
      该公式的证明如下：如果有n个候选人，则第一个淘汰的候选人一定的编号为k-1的候选人，如下图：

淘汰掉编号为k-1的候选人后，还剩n-1个候选人，此时对这n-1个人重新编号，编号为k的候选人改为编号0，编号为k+1的候选人改为编号1 ...... 编号为n-1的候选人则改为编号n-k-1，然后，编号为0的候选人改为编号n-k，编号为1的候选人改为n-k+1 ...... 编号为k-2的候选人则改为编号n-2。如下图：

    此时，假设已经知道了n-1个候选人时的最后获选人的编号，那么此时将该编号作为新编号再转化为旧编号时，就是n个候选人时最后获选的人的编号。
    可以发现：在mod n的范围内，新旧编号的差别在于旧编号比新编号增加了一个k值，即：
            （new + k) % n = old.
而对应到递推式中，旧编号就是要求的编号f(n)，而新编号就是已经求得的结果f(n-1),于是：
            f(n) = (f(n-1) + k)%n
于是，以上递推式得证。
    利用该定理，可以在O(n)的时间内得到结果。

·递推方法(2):
    第2种递推方法是对第一种递推方法的改进，使得f(n)的值不再直接从f(n-1)求得，在枚举计算时实现了一定距离的“跳跃”。方法如下：
    对于n个候选人，当对所有的候选人扫描一次后，所有编号取模k的结果为k-1的候选人均被淘汰。即：满足编号 s % k = k-1时，就会被淘汰，此时，共淘汰了n-n/k个人。如下图：

此时，和方法1类似，从最后一个被淘汰者之后重新设置编号，如下(假设图中3k-1之后没有淘汰者)：

    

此时，观察新旧编号的关系，可以发现：图中绿色部分的编号关系为新编号加n-n%k取模n后就是旧编号：
        old = new + n - n%k
而前面蓝色的部分，新旧编号的关系则不是那么明显，主要的原因在于蓝色部分的序列并不是连续的。可以看到，删除的数据把整个蓝色部分划分为为若干个长度为k-1的连续序列。所以这部分的新旧编号的转换关系则由新编号覆盖了多少个k-1序列来决定，每覆盖一个k-1序列，那么就编号就要在原有的转换结果(方法1中的转换方式)的基础上再偏移1位。
    因此：蓝色部分的转换公式如下：
        old = (new + n - n%k) % n + (new - n % k) / (k - 1) 
            = new - n%k + (new - n%k) / (k-1)
以上是第2种递推计算方法，该方法要求n必须不小于k。
    
    因此在解答本题时的思路便是：首先判定n是否大于k，如果n>k,那么利用方法(2)将f(n)转换为一个较小规模的问题f(n - n/k),反复运用方法(2)直到n     
    利用以上算法就可以在O(n)的时间复杂度下完成求解。

输入输出格式：
    输入：首先输入一个正整数t表示测试数据的组数；接下来的t行每行为2个整数n，k。 
    输出：对于每组测试数据输出一行，表示最后获选者的编号。

数据范围：
     1≤t≤100
     2≤n≤1,000,000,000
     2≤k≤1,000 

程序代码：

/****************************************************/
/* File        : Hiho_Week_94.cpp                   */
/* Author      : Zhang Yufei                        */
/* Date        : 2016-04-19                         */
/* Description : HihoCoder ACM program. (submit:g++)*/
/****************************************************/

#include

/*
 * This function deals with one test case.
 * Parameters:
 *		None.
 * Returns:
 *		None.
 */
void function (void);

/*
 * This function get the result of the given n and k.
 * Parameters:
 *		@n: The number of candidate.
 *		@k: The 'k' parameter in this question.
 * Returns:
 *		The result for the given n and k.
 */ 
int compute(int n, int k);

/*
 * The main program.
 */
int main (void) {
	int t;
	scanf("%d", &t);
	
	for(int i = 0; i < t; i++) {
		function();
	}
	
	return 0;
}

/*
 * This function deals with one test case.
 * Parameters:
 *		None.
 * Returns:
 *		None.
 */
void function (void) {
	int n, k;
	scanf("%d %d", &n, &k);
	
	printf("%d\n", compute(n, k)); 
}

/*
 * This function get the result of the given n and k.
 * Parameters:
 *		@n: The number of candidate.
 *		@k: The 'k' parameter in this question.
 * Returns:
 *		The result for the given n and k.
 */ 
int compute(int n, int k) {
	if(n == 1) {
		return 0;
	} 
	
	if(n < k) {
		return (k + compute(n - 1, k)) % n; 
	} else {
		int r = compute(n - n / k, k);
		if(r < n % k) {
			return r - n % k + n;
		} else {
			return r - n % k + (r - n % k) / (k - 1);
		}
	}
}