【技术点】数据结构--二叉树之红黑树（三）
文章目录
- 前言
- 红黑树
- 为什么要有红黑树
- 红黑树的特征
- 新增节点
- 问题：如何判断用旋转还是用变色的手段来满足红黑树的规则？
- 最坏情况
- 删除
- 总结
- 下一步
前言
前面两篇文章：
【技术点】数据结构–二叉树（一）
【技术点】数据结构–二叉树（二）
讲了普通二叉树然后再到平衡搜索二叉树(BBST，Balance Binary Search Tree，又称AVL树)。
这一篇来讲讲更厉害(也就是更复杂)的一种树：红黑树(RBTree, Red Black Tree)。
红黑树
为什么要有红黑树
前面讲到的AVL树在搜索性能上已经达到了二分查找的性能：O(lgn)。
在插入时的性能也是最多两次旋转就可以调整完成，所以插入性能是 O(1)
那么为啥还有折腾一个红黑树出来呢？
我们回到上一篇文章，在上一篇文章讲删除节点的时候，我留了个问题：
foreach(node in allNode){ //新增节点后，计算所有节点的平衡因子，这有更好的算法，不需要每次都从头开始，这个不是这篇文章的内容，就按最简单的来写，最主要的是说明LL旋转
depth = getDeptInfo(node)
...
}
在删除的时候，把所有的节点的平衡因子全部计算一遍，看是否有需要调整的地方，当然这种笨办法不行。
实际上，删除一个节点，只会影响当前这边子树的平衡因子，因此，只需要从删除的这个因子往上找，一直找到根节点就可以了。那么，删除节点的性能就会是 O(lgn)
可以看下下面这棵树的删除过程：
由于删除7节点，造成了祖父节点6成为不平衡节点，因此需要做一次旋转。
我们的代码可以改成：
function delNodeToAVL(root, delNode){
parent = delNode.parent
del(root, delNode) //该函数就是将节点从树种删除，参考上一篇文章的内容
while(parent is not root){
depth = getDeptInfo(node)
if (depth > 1){
if (newNode.key ＜ node.left.key){
ll_rotate(node)
}else if (newNode.key > node.right.key){
rr_rotate(node)
}else if (newNode.key > node.left.key){
rr_rotate(node)
ll_rotate(node)
}else if (newNode.key < node.right.key){
ll_rotate(node)
rr_rotate(node) //旋转是以不平衡节点来旋转的，不是root，所以这里应该还有其他处理步骤，懒得写了，也就是一些指针的调整了
}
parent = parent.parent
}
}
}
但是呢，如果一颗查询树的增删操作很多时，AVL树就有点力不从心了，大量的遍历和旋转操作暂用大量的时间，因此，红黑树就横空出世了。
红黑树的特征
红黑树首先是一个自平衡的二叉树，与AVL不同的是，红黑树的每个节点增加一个颜色属性：color，颜色或红色 (red) 或黑色 (black)。 红黑树除了有普通二叉查找树(BST)的一般特征外，还有如下特征：
- 规则1：节点是红色或黑色。
- 规则2：根节点是黑色。
- 规则3：所有叶子都是黑色，这里的叶子节点是空节点(NIL)
- 规则4： 每个红色节点的两个子节点都是黑色。（从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点）
- 规则5：从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点。
来看看一颗典型的红黑树：
作为一颗平衡二叉树，搜索性能是O(lgn)。
我们来看一下怎样根据上面的原则来构建一颗红黑树。
新增节点
在新增节点时，为了达到接近二分查找的查找性能，和AVL树一样，我们会在新增节点之后，对树做一些调整操作，那么，红黑树的调整有两种方式：
- 变色
- 旋转
因为规则5的存在，假设一棵树已经是红黑树了，那么再加入新的节点时，如果新增黑色的节点，肯定会破坏规则导致调整，所以在实际中，我们引进规则6：
- 规则6：新插入的节点必须为红色。
通过一张图来看，插入数字顺序为 [5, 7, 9, 3, 1]，每一个箭头为一步。
- 新增节点为5，为红色
- 新增节点为根节点，根据规则2，将节点变成黑色
- 增加节点7，为红色
- 增加节点9，为红色，违反规则4，此时无法通过变色来满足所有条件，所以我们使用旋转，为一次RR旋转
- 根据规则2，将节点7变成黑色，根据规则5，将节点5变成红色
- 增加节点3，为红色，违反规则4，此时我们选择变色，将节点3与其叔节点一起变色为黑色
- 增加节点1，此时就不平衡了，我们需要对齐进行平衡操作，有两种操作可以使树平衡，那就是 变色 + 旋转
这里有一个问题：
问题：如何判断用旋转还是用变色的手段来满足红黑树的规则？
这里可以分成两种情况：
- 情况1：新增节点的叔叔节点为红色，如图
那么我们对应的操作就可以是
A. 新增节点的父节点与叔叔节点的颜色变成黑色
B. 如果祖父节点为根节点，则不变化，否则祖父节点变成红色(如果不变，多出的一层黑色节点会破坏规则5)
- 情况2：叔叔节点为黑色
此时就需要进行旋转了，观察新节点、父节点、祖父节点的关系，来判断是LL/RR/LR/RL四种旋转之一。
A. 旋转(LL/RR/LR/RL之中的一种)
B. 旋转之后的新的root节点变成黑色，root的两个子树节点(如果是叶子就不变)变成红色。
根据上述的情况，我们可以判断写一段伪代码了:
function addNodeToRBT(root, newNode){
newNode.color = 'red'
addNode(root,newNode)
if (newNode.uncle = 'red'){ //获取uncle节点的方式有很多种
newNode.parent.color = 'red'
if (newNode.parent.parent != root){
newNode.parent.parent.color = 'red'
}
}else (newNode.uncle = 'black'){ //获取uncle节点的方式有很多种
rotate(root) //参考上一篇文章
root.color = 'black' //这里的root是指当前子树的root，不是整棵树的root
root.left = root.right = 'red'
}
}
那么，上面的问题就可以按照前面的步骤来实施：
最坏情况
假设我们继续增加根节点的左子树，把这颗树增加到很高，有100层，从规则上分析：
最坏情况下，这颗红黑树可以全部是黑色，然后在root的左子树中，每个一层黑色节点增加一层红色，就可以保证红色节点的子节点都是黑色（规则4），理论上可以增加50层红色节点进去。
想象一下右子树不停的延伸，而左子树延伸时全部补黑色节点。
那么最坏情况下，两个子树的高度差会是 K/2（K为整颗树的高度），那么，这颗红黑树的搜索性能是不如AVL树的。
但是，因为红黑树在一半的情况下插入只需要修改颜色即可，而不需要进行旋转，如果树结构会经常变动，总的性能来说还是要强于AVL树。
删除
删除是红黑树操作里最复杂的部分，但是我们可以去仔细拆解这一过程：
和AVL树一样，我们可以将删除操作看成两个部分：
- 删除节点(参考【技术点】数据结构–二叉树（一）)
- 平衡操作，AVL有AVL的操作，红黑树就按照红黑树的操作来。
在二叉树的删除操作中，我们分了三个场景。这里可以抽象一下，综合成一个场景：
删除某个节点后，这个节点是通过其后继节点来替代(场景三，使用右子树里最小的)。如果删除节点没有后继节点，我们就使用其前继节点(场景二，只有左子树)来替代，如果都没有，直接删除。
前继和后继节点的概念，我借用一张图来说明(引用自30张图带你彻底理解红黑树)：
把二叉树所有结点投射在X轴上，所有结点都是从左到右排好序的，所有目标结点的前后结点就是对应前继和后继结点。
所以，实际上我们把删除某个节点X，转换成了两个步骤。
也就是上述的步骤1可以拆分成两个步骤：
1.1. 找到后继或者前继节点P，并将该节点的值复制到删除节点上
1.2 删除后继或者前继节点P。
这里还隐藏了一个问题需要说明一下，可能有的同学就会说，删除后继或者前继节点会不会影响这个节点的子树？实际上，我们仔细想一下就可以确定两点：
- 前继节点没有右子树，不然这个右子树就更接近删除节点的值
- 后继节点没有左子树，不然这个左子树就更接近删除节点的值
所以删除的时候，按照删除逻辑里的有一颗或者无子树的逻辑删除即可，结构调整相对比较简单。
所以，接下来，我们就是要考虑一个问题，在前继或者后继节点删除了之后怎么平衡的问题。从规则来看，一般都是删除了节点从而破坏了规则4或者规则5。
我们可以从替代节点(后继或者前继)的颜色和位置信息来分析，列出若干种删除场景来：
先看下颜色：
-
场景1：替代节点为红色
替代节点去替代删除节点，相当于替代节点本身被删除，因为是红色节点，所以不会破坏替代节点原有位置的平衡，所以不需要考虑替代节点的位置信息了，我们就只需要将替代节点放置在删除节点之后，将原删除节点的颜色复制给替代节点即可。function deleteRedReplace(root, delNode){ p = find_next(root, delNode) delNode.value = p.value del(root, p) } -
场景二，替代节点为黑色，因为替代节点会被删除掉，从而破坏规则5(路径上的黑色节点数肯定会被破坏掉)，因此需要考虑替代节点的位置信息了。
我们考察一下，删除节点会影响到哪些位置信息，假设删掉的节点为X，那么会影响到的就是子树（节点N）、兄弟节点（节点S与其两个子树：SL & SR）、父节点（节点P）的三中位置关系。
根据上文的几条假设：
2.1 X为黑色。
2.2 X为后继或者前继节点，只会存在一个子树。
再加上子树、兄弟节点、父节点可以是黑色或者红色，我们可以分成如下几种子场景 -
场景2.1 子树、兄弟节点、父节点均为黑色，
这种情况下，删掉X，会影响从X往其子树的路径，所有的经过X的路径全部要减1。此时，我们只需要将X的兄弟节点变色为红色即可。也就是说从兄弟节点这里过去的所有黑色节点全部减1就可以保持平衡了。
这里举的例子是X为前继 （从删除节点的左子树里面选出了替代节点X），如果X是后继，逻辑上是一样的。大家可以推理一下。
-
场景2.2 N为红色，其他均为黑色
这种情况下，删掉X，会影响从X往其子树的路径，所有的经过X的路径全部要减1。此时，我们只需要将X的兄弟节点变色为红色即可。也就是说从兄弟节点这里过去的所有黑色节点全部减1就可以保持平衡了。
也就是说N不管是黑是红，对操作没啥影响，都是把S改成红色。其实也很好理解，删除的是X，不管后面是红是黑，都需要减1。所以场景2.1和2.2可以合并。子树颜色可以不作为一个变量 -
场景2.3 S为红色，其他均为黑色
在X这条路径减1的情况下，已经无法靠变色来解决了，需要进行旋转：
可以从图中看出，做完一个RR旋转之后还是无法满足，从新的S出发的左子树多1，还需要做两个变色，S变成黑色，P变成红色。 -
场景2.4 父节点为红色在一般情况下，删除X不会有什么影响，知识在上述的2.3场景中，不需要对P进行变色了。但是代码实际上统一一份：
p.color = 'red' -
场景2.5 SL为红色
这种情况也是比较麻烦，直接上图：
从图中可以看出，因为不知道SR的其他子树是什么状况，不能直接把SR改成红色，不然引入一个递归的判断就没法收敛了。所以只能在这个小区域中解决，先做一个RR旋转，然后再将N变为红色。 -
场景2.6 SR为红色
上图：
同样是一个RR旋转后，由于SL转成了P的有子树，导致原来的路径增加了1，所以SL需要变成红色，SR要变成黑色才能保持平衡。 -
场景2.7 SR与SL均为红色
和场景2.6类似，但是这里因为SL为红色，没有破坏原来左子树的平衡，所以之需要将SR变成黑色即可。 -
上述场景都是以X为前继节点来举例的，实际上后继节点是类似的，也是旋转之后变色，基本上就是上面几种场景的镜像，就不一一列举了。
总结
写红黑树比之前的二叉树和AVL树都困难得多，一是因为红黑树的结构确实复杂。二是红黑树给出的那几条规则只是一个指导性的规则。没有一个针对插入，特别是删除的一个很明确的指导性的操作。比如AVL的四中旋转方式，在某种情况下就采用某种旋转。
所以只能仔仔细细的一种一种场景推导及分析(删除节点的影响的环境变量分析得出场景)，利用两种平衡操作(旋转 + 变色)对树进行平衡操作。
希望在文章中能把推导过程写清楚，让大家能看懂为什么有这么多的场景，每种场景又可以怎么去做。而不是直接丢出几种场景，那样不好理解和记忆。
好在是终于成文了，有不足和遗漏的地方欢迎补充，如有帮助请收藏。
下一步
二叉树的内容基本上是差不多了。下一步准备扩展一下，把其他的一些经典的树结构来讲一讲，比如B+树等。
敬请期待。