系统辨识——动态过程和信号的模型

本文将为浙大控制系朱豫才老师《系统辨识》课程的部分笔记

线性时不变SISO过程

微分方程描述 $\stackrel{Laplace}{⟶}$ 传递函数描述
微分方程描述 $\stackrel{辅助变量}{⟶}$ 状态空间描述 $\stackrel{C(sI-A{)}^{-1}B+D}{⟶}$ 传递函数
一个被采样的线性过程可以用一个差分方程或 $z$ 传递函数来描述。
假设传递函数 $G(q)$，若用变量 $z$ 来代替 $q$，则可以得到过程传递函数的 $G(z)$，若用单位圆来表示传递函数，取 $z=e^{iw}$，则可得到过程频率响应 $G(e^{iw})$。

无时延卷积模型：
$$G(q)=\sum _{k=1}^{\infty }{g}_k{q}^{-k}$$其传递算子为：
$$G(q)=\frac{b_0+b_1{q}^{-1}+...+b_n{q}^{-n}}{1+a_1{q}^{-1}+...+a_n{q}^{-n}}$$其可观规范型为：
$$A=\left[\begin{array}{ccccc}-a_1& 1& 0& \cdots & 0\\ -a_2& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ -a_{n-1}& 0& 0& \cdots & 1\\ -a_n& 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}{b}_1-a_1{b}_0\\ b_2-a_2{b}_0\\ ⋮\\ b_n-a_n{b}_0\end{array}\right]$$ $$C=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right],D=\left[b_0\right]$$

MIMO过程描述

对于MIMO $(p\times m)$ 过程，也可以将其写作
$$\mathbf{y}(t)=\mathbf{G}(q)\mathbf{u}(t)$$其中 $\mathbf{G}(q)$ 表示的是传递函数矩阵，矩阵的每一个元素都可以写作和单变量一样的有理函数形式。但是这种形式用于辨识是不方便的，也不适合于控制器的设计。
从辨识的角度出发，合理的描述为
$$\mathbf{A}(q)\mathbf{y}(t)=\mathbf{B}(q)\mathbf{u}(t)$$其中 $\mathbf{A}(q)$ 和 $\mathbf{B}(q)$ 都是多项式矩阵：
$$\begin{array}{rl}\mathbf{A}(q)& =\mathbf{I}+{\mathbf{A}}_1{q}^{-1}+...+{\mathbf{A}}_{\mathbf{n}}{q}^{-n}\\ \mathbf{B}(q)& ={\mathbf{B}}_0+{\mathbf{B}}_1{q}^{-1}+...+{\mathbf{B}}_{\mathbf{n}}{q}^{-n}\end{array}$$其中 ${\mathbf{A}}_i(p\times p),{\mathbf{B}}_j(p\times m)$ 均为常数矩阵。
如果 $\mathbf{A}(q)$ 可逆，则有
$$\mathbf{G}(q)=\mathbf{A}(q{)}^{-1}\mathbf{B}(q)$$

称之为矩阵分解描述（MFD），为了保证模型的唯一性，最简单的方式是采用对角型 MFD 的形式，通过这样的处理就可以将该MIMO过程分解为 $p$ 个 $m$ 输入单输出的子过程。

信号的描述

离散傅里叶变换把时域信号分解成频域成分，$U_N(w)$ 是在频率点 $w$ 的权重，称权重的绝对值平方为信号 $u(t)$ 的周期图，$|U_N(2\pi k/N){|}^2$ 是信号在频率点 $w=2\pi k/N$ 上的能量影响指标，因此信号的能量可以在时域或频域中通过 $Parseval$ 公式来确定。

信号谱

平稳随机过程不严格定义：均值和自相关函数不随时间改变
自相关函数和功率谱（谱密度）的定义：

$$\begin{array}{rl}{R}_v(\tau )& =Ev(t)v(t-\tau )\\ {\Phi }_v(w)& =\sum _{\tau =\infty }^{\infty }{R}_v(\tau )e^{-i\tau w}\end{array}$$由傅里叶逆变换的定义可以得到：
$$E{v}^2(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{\Phi }_v(w)dw$$

互相关函数和互谱的定义类似。
平稳过程经过稳态滤波器后还是平稳过程，且有

$$\begin{array}{rl}{\Phi }_s(w)& =|G(e^{iw}){|}^2{\Phi }_v(w)\\ {\Phi }_{sv}(w)& =G(e^{iw}){\Phi }_v(w)\end{array}$$

在实际应用中，无论过程是确定还是随机的，其自相关函数可以用时间平均算子代替数学期望的方法来做估计
$$R_v(\tau )=\frac{1}{N}\sum _{t=1}^{N}v(t)v(t-\tau )$$可以得到谱的估计
$${\Phi }_v(w)=\sum _{\tau =-{\tau }_m}^{{\tau }_m}{R}_v(\tau )e^{-i\tau w}$$${\tau }_m$ 要取合适的值，比如 ${\tau }_m=N/10$。

任意一个平稳随机过程可以用一个稳定的最小相位滤波器对白噪声进行滤波来得到
$$v(t)=H(q)e(t)$$ 其中$\{e(t)\}$ 为零均值方差为 $R$ 的白噪声。
由线性系统的性质及白噪声的特性可以得到 $\{v(t)\}$ 的功率谱

$${\Phi }_v(w)=|H(e^{iw}){|}^{2}R$$