算法笔记（1）- 并查集

算法笔记（1）

1. 并查集

并查集，在一些有N个元素的集合应用问题中，我们通常是在开始时让每个元素构成一个单元素的集合，然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并，其间要反复查找一个元素在哪个集合中。并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。

主要有两种操作：

• **合并（union）：**把两个不相交的集合合并为一个集合。
• **查询（find）：**查询两个元素是否在同一个集合中。

并查集的引入：

并查集的重要思想在于，用集合中的一个元素代表集合。有一个有趣的比喻，把集合比喻成帮派，而代表元素则是帮主。接下来用这个比喻，看看并查集是如何运作的。

最开始，所有大侠各自为战。他们各自的帮助自然就是自己。（对于只有一个元素的集合，代表元素自然是唯一的那个元素）。

现在1号和3号比武，假设1号赢了（这里具体是谁赢的不重要），那么3号就认1号做帮主（合并1号和3号所在的集合，1号为代表元素）

现在2号想和3号比武（合并3号和2号所在的集合），但3号表示，别跟我打，让我帮主来收拾你（合并代表元素）。不妨设这次又是1号赢了，那么2号也认1号做帮主。

现在我们假设4，5，6号也进行了一番帮派合并，江湖局势变成下面这样：

现在假设2号想和6号比，和刚才说的一样，喊帮主1号和4号出来打一架。1号战胜后，4号认1号为帮主，当然他的手下也都是跟着投降了。

好了，比喻结束了。如果你有一点图论基础，相信你已经觉察到，这是一个树状的结构，要寻找集合的代表元素，只需要一层一层往上访问父节点（图中箭头所指的圆），直达树的根节点（图中橙色的圆）即可。根节点的父节点是它自己。我们可以直接把它画成一棵树：

用这种方法，我们可以写出最简单的并查集代码。

初始化

public void init(int n){
    for(int i = 0;i<=n;i++){
        fa[i] = i;
    }
}

假如有编号1，2，3，…，n的n个元素，我们用一个数组fa[]来存储每个元素的父节点（因为每个元素有且只有一个父节点，所以这样是可行的）。一开始，我们先将它们的父节点设为自己。

查询

public int find(int index) {
    while(fa[index] != index){
        index = fa[index];
    }
    return index;
}

要判断两个元素是否属于一个集合，只需要看它们的根节点是否相同即可。

合并

public void union(int i,int j){
    fa[find(i)]=find[j];
}

合并操作也很简单，先找到两个集合的代表元素，然后将前者的父节点设为后者即可。当然也可以将后者的父节点设为前者。

2. 路径压缩

最简单的并查集效率是比较低的。例如，看下面的这个场景：

现在我们想要union(2,3)，于是从2找到1，fa[1]=3，于是变成了这样：

然后我们又找来了一个元素4，并需要执行union(2,4)：

从2找到1，再找到3，然后fa[3]=4，于是变成了这样：

这样可能会形成一条长长的链，随着链越来越长，我们想要从底部找到根节点会变得越来越难。

我们就可以使用路径压缩的方法。既然我们只关心一个元素对应的根节点，那我们希望每个元素到根节点的路径尽可能的短，最好只需要一步，像这样：

只要我们在查询的过程中，把沿途的每个节点的父节点都设为根节点即可。

合并（路径压缩）

public int find(int x){
    if(x==fa[x])
    	return x;
    else{
        fa[x]=find(fa[x]);//父节点设为根节点
        return fa[x];//返回父节点
    }   
}