排列数 组合数

一、定义

从 \(n\) 个不同元素种取出 \(m(m≤n)\) 个元素的所有不同排列（1234与4321属不同排列）的个数，叫做从 \(n\) 个不同元素种取出 \(m\) 个元素的排列数，用符号 \(A_{n}^{m}\) 表示。
从 \(n\) 个不同元素种取出 \(m(m≤n)\) 个元素的所有不同组合（1234和4321属相同组合）的个数，叫做从 \(n\) 个不同元素种取出 \(m\) 个元素的组合数，用符号 \(C_{n}^{m}\) 表示。

二、基础公式

\(A_{n}^{m}=\frac{n!}{(n-m)!}\)
\(C_{n}^{m}=\frac{n!}{(n-m)!*m!}\)
\(C_{n+1}^{m}=C_{n}^{m}+C_{n}^{m-1}\)
\(C_{n}^{m+1}=\frac{n-m}{m+1}*C_{n}^{m}\ \ (C_{n}^{0}=1)\)

三、常见恒等式

(1) 二项式定理：\((a+b)^n=\sum_{i=0}^{n}{C_{n}^{i}}a^i*b^{n-i}\)

(2) \(\sum_{i=0}^{n}{C_{n}^{i}}=2^n\)

　　法一：令二项式定理中 \((a+b)^n\) 的 \(a=b=1\) ，
　　　　　故 \((1+1)^n=\sum_{i=0}^{n}{C_{n}^{i}}=2^n\)。
　　法二：一个含有 \(n\) 个元素的集合总共有 \(2^n\) 个子集。
　　　　　含有 \(0\) 个元素的集合总共有 \(C_{0}^{n}\) 个
　　　　　含有 \(1\) 个元素的集合总共有 \(C_{1}^{n}\) 个
　　　　　含有 \(2\) 个元素的集合总共有 \(C_{2}^{n}\) 个
　　　　　......
　　　　　含有 \(n\) 个元素的集合总共有 \(C_{n}^{n}\) 个，故\(2^n=\sum_{i=0}^{n}{C_{n}^{i}}\)。

(3) \(\sum_{i=0}^{n}{2^{i}*C_{n}^{i}}=3^n\)

　　证法：令二项式定理中 \((a+b)^n\) 的 \(a=2,b=1\) ，
　　　　　故 \((1+2)^n=\sum_{i=0}^{n}{2^{i}*C_{n}^{i}}=3^n\)。

(4) \(\sum_{i=0}^{n}{(-1)^{i}*C_{n}^{i}}=0\)

　　法一：令二项式定理中 \((a+b)^n\) 的 \(a=1,b=-1\) ,
　　　　　故 \((1-1)^n=\sum_{i=0}^{n}{(-1)^{i}*C_{n}^{i}}=0\)。
　　法二：设 \(T\) 是一个有 \(n\) 个元素的集合，对 \(T\) 中的某一个元素 \(a\)，
　　　　　从 \(T\) 中选取 \(r\) 个元素，从元素 \(a\) 的角度讲，这 \(r\) 个元素的组合只分包含 \(a\) 和不含 \(a\) 两类，
　　　　　假设 \(r\) 为奇数，那么假如 \(r\) 个元素中没有包含 \(a\) 则可以加入 \(a\) ；否则可以删去 \(a\) 。
　　　　　故每一个奇数的组合总能对应一个偶数的组合。
　　推论：\(C_{n}^{0}+C_{n}^{2}+C_{n}^{4}+...=C_{n}^{1}+C_{n}^{3}+C_{n}^{5}+...\)

（5）\(\sum_{i=1}^{n}{i*C_{n}^{i}}=n*2^{n-1}\)

　　证法：令二项式定理中 \((a+b)^n\) 的 \(a=x,b=1\) ，
　　　　　故\((1+x)^n=\sum_{i=0}^{n}{C_{n}^{i}*x^i}\) 。
　　　　　对左边取导得 \(((1+x)^n)^{'}=n*(1+x)^{n-1}\) ,
　　　　　对右边取导得 \((\sum_{i=0}^{n}{C_{n}^{i}*x^i})^{'}=\sum_{i=1}^{n}{C_{n}^{i}*x^{i-1}*i}\) 。
　　　　　分别带入 \(x=1\) ，由于函数相等，所以任意一点的斜率必然相等，即
　　　　　\(n*2^{n-1}=\sum_{i=1}^{n}{i*C_{n}^{i}}\) 。

(6) \(\sum_{i=0}^{m}C_{n+i}^{i}=C_{n+m+1}^{m}\)

　　证法：\(C_{n+1}^{0}=C_{n}^{0}+0\) ，
　　　　　\(C_{n+2}^{1}=C_{n+1}^{1}+C_{n+1}^{0}\) ，
　　　　　\(C_{n+3}^{2}=C_{n+2}^{2}+C_{n+2}^{1}\) ，
　　　　　......
　　　　　\(C_{n+m+1}^{m}=C_{n+1}^{m}+C_{n+1}^{m-1}\) ，
　　　　　将每个式子的左右分别相加，删去部分左边项与右边第二项即可发现 \(\sum_{i=0}^{m}C_{n+i}^{i}=C_{n+m+1}^{m}\) 。

(7) \(C_{n}^{k}*C_{k}^{m}=C_{m}^{n}*C_{m-n}^{m-k}\)

　　证法：\(C_{n}^{k}*C_{k}^{m}=\frac{k!}{n!*(k-n)!}*\frac{m!}{k!(m-k)!}=\frac{m!}{n!*(k-n)!*(m-k)!}=\frac{m!(n-m)!}{n!*(n-m)!*(k-n)!*(m-k)!}=C_{m}^{n}*C_{m-n}^{m-k}\)
（持续更新）