DTOJ 4671. graph

题意

给定一张 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，显然有向图的邻接矩阵 $A$ 是一个 $n$ 阶的布尔矩阵。

可以发现这个邻接矩阵的幂的序列具有一定的周期性（注：计算幂时要用布尔运算，即乘法为与，加法为或）。

求这个序列的周期 $d$ 。但是在某些时候还需要求满足等式 $A^k=A^{k+d}$ 的正整数 $k$ 的最小值。当然，这两个数可能会很大，所以只需要求其对
$10^9+7$ 取模后的余数。

有 $10\%$ 的数据：$n\le 50，m\le 1200，ty\ne 1$；

又有 $20\%$ 的数据：$n\le 50，m\le 1200，ty=1$；

又有 $30\%$ 的数据：$n\le 200，m\le 3000，ty=1$；

最后有 $40\%$ 的数据：$n\le 10^5，m\le 2\times 10^5，ty\ne 1$。

题解

直接在矩阵上不好做，考虑其意义：$A^k$即为一个点走$k$步能否到达另一个点。

考虑其周期性，对于图这样比较复杂的结构，先从特殊情况考虑：如果它是一个DAG，那么在$k$很大时整个矩阵都是$0$，周期为$1$。再考虑在上面加边形成环：只有一个环，周期即为这个环的长度；如果若干环是互相独立的（即不相交），那么周期即为这些环长的$lcm$。

对于相交的环之间的影响，容易想到考虑每个强联通分量：里面的点可以经过这个强连通分量中的若干环互相到达。对于两个互质的环，则在$k$足够大时，可以使每个$k$的矩阵内这些强连通分量的点之间都为$1$（用$exgcd$可证）。拓展一下可推得对两个环，周期为它们长度的$gcd$。于是对每个强连通分量内的所有环长求$gcd$，对两类之间求$lcm$即为周期$d$。

对于最小的$k$，因为其满足单调性，直接倍增判断即可。