概率论 —— 概率

【事件与频率】

1.基本概念

1）随机试验：可在相同条件下重复进行，每次试验的结果可以不止一个且能事先明确所有结果，进行一次试验前并不能确定哪一个结果出现的试验

2）样本空间：记作 S，某个随机试验所有可能的结果的集合，其元素即为试验的每个结果（样本点）

3）基本事件：由一个样本点组成的单个元素的集合

2.事件

1）和事件：记作  或 A+B，当且仅当事件 A 和事件 B 至少一个发生时，事件  发生

2）积事件：记作  或 AB，当且仅当事件 A 和事件 B 同时发生时，事件  发生

3）互斥事件：记作 ，事件 A 和事件 B 不能同时发生

4）对立事件： 且 ，事件 A 和事件 B 必有一个且仅有一个发生

3.频率与概率

1）频率：相同条件下进行 n 次试验，这 n 次试验中，事件 A 发生了 N 次， 即为事件 A 发生的频率

2）概率：在大量重复进行同一试验时，试验 A 发生的频率总是在某种意义下接近某个常数，并在他附近摆动，该常数即为事件 A 的概率 P(A)

3）概率的性质：

• 非负性：对于任意一个事件 A，0<=P(A)<=1
• 规范性：对于必然事件 A，P(A)=1；对于不可能事件 A，P(A)=0
• 容斥性：对于任意两个事件 A、B，
• 互斥事件可加性：对于互斥的 n 个事件，
• 独立事件可乘性：对于对立的 n 个事件：
• 重复 n 次的伯努利试验：一次试验中某个事件发生的概率是 p，那么重复 n 次独立试验中这个事件恰好发生 k 次的概率为 

【古典概率】

古典概率指的是：随机事件中各种可能发生的结果、出现的次数均由演绎、外推法得知，无需经过任何统计实验即可计算各种结果发生的概率。

其有以下几个特点：

• 试验的样本空间有限：
• 试验中每个结果出现的可能性相同
• 试验中所能发生的事件互不相容

在计算古典概率时，如果在全部可能出现的基本事件范围内构成事件 A 的基本事件有 a 个，不构成事件 A 的事件有 b 个，则出现事件 A 的概率为：

【条件概率】

1）条件概率公式

假设有两个独立的事件 A、B，在事件 B 发生的前提下，事件 A 发生的概率为 P(A|B)；两个事件 A、B 同时发生的概率为 P(AB)，那么有：P(A|B)=P(AB)/P(B)

2）贝叶斯公式

对于两个独立的事件 A、B 来说，两个事件 A、B 同时发生的概率为 P(AB)=P(A)P(B)

那么，有：P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)

3）全概率公式

当样本空间 S 分成若干不相交的部分 B1,B2,...,Bn，有：P(A)=P(A|B1)*P(B1)+P(A|B2)*P(B2)+...+P(A|Bn)*P(Bn)

【例题】

• Birthday Paradox（LightOJ-1104）：点击这里
• Island of Survival（LightOJ-1265）：点击这里
• Coin（2017 ACM-ICPC 亚洲区(西安赛区)网络赛 B）(n 重伯努利实验)：点击这里
• Weather Patterns（2017 ACM-ICPC 亚洲区(南宁赛区)网络赛 A）(马尔科夫链+阅读理解)：点击这里