牛顿迭代法 求解方程

ax^3+bX^2+cx+d=0

根的关系:

x1 + x2 + x3 = - b / a;

x1 * x2 + x1 * x3 + x2 * x3 = c / a;

x1 * x2 * x3 = - d / a;

牛顿迭代解方程(x0附近的根)

01	double Newton_Iterative(double a,double b,double c,double d,double x0)

02

{

03	double f0,f0d,x;

04

x = x0;

05

do

06

{

07

x0 = x;

08	f0 = ((a * x + b) * x + c) * x + d;

09	f0d = ( 3 * a * x + 2 * b ) * x + c;

10	x = x0 - f0 / f0d;

11

}

12	while(fabs(f0) >= 1e-12);

13

return x;

14

}

牛顿迭代法

　　牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在 



17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非



常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。

方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。

牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根

附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广泛用于计算机编程中。

　　

设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，

过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，

求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，

称x1为r的一次近似值。

过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，

称x2为r的二次近似值。

重复以上过程，得r的近似值序列，

其中x(n+1)=x(n)－f(x(n)) /f'(x(n))，

称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。



　　解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。

把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +…

取其线性部分，作为非线性方程f(x)=0的近似方程，

即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=f(x)=0 设f'(x0)≠0

则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 

这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。

 

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