K-近邻算法(KNN)
文章目录
- 什么是K-近邻算法？
- 1 K-近邻算法实现流程
- 2 k值的选择
- 3 k近邻搜索-kd树
- 3.1 案例分析
- a. 树的建立
- b. 最近领域的搜索
- 4 距离度量
- 4.1 闵可夫斯基距离
- 4.2 标准化欧氏距离
- 4.3 余弦距离
- 4.4 杰卡德距离
- 4.5 汉明距离
- 4.6 马氏距离
什么是K-近邻算法？
K-近邻算法(k-Nearest Neighbors，KNN) 算法是一种
分类算法；
1968年由 Cover 和 Hart 提出，应用场景有字符识别、文本分类、图像识别等领域；
定义：如果一个样本在特征空间中的k个最相似(即特征空间中最邻近)的样本中的大多数属于某一个类别，则该样本也属于这个类别。
1 K-近邻算法实现流程
1）计算已知类别数据集中的点与当前点之间的距离
2）按距离递增次序排序
3）选取与当前点距离最小的k个点
4）统计前k个点所在的类别出现的频率
5）返回前k个点出现频率最高的类别作为当前点的预测分类
2 k值的选择
- K值过小：容易受到异常点的影响
相当于用较小的领域中的训练实例进行预测，“学习”近似误差会减小，只有与输入实例较近或相似的训练实例才会对预测结果起作用，与此同时带来的问题是“学习”的估计误差会增大，换句话说，K值的减小就意味着整体模型变得复杂，容易发生过拟合； - k值过大：受到样本均衡的问题
相当于用较大领域中的训练实例进行预测，其优点是可以减少学习的估计误差，但缺点是学习的近似误差会增大。这时候，与输入实例较远（不相似的）训练实例也会对预测器作用，使预测发生错误，且K值的增大就意味着整体的模型变得简单。 - 近似误差：对现有训练集的训练误差，关注训练集，如果近似误差过小可能会出现过拟合的现象，对现有的训练集能有很好的预测，但是对未知的测试样本将会出现较大偏差的预测。模型本身不是最接近最佳模型。
- 估计误差：可以理解为对测试集的测试误差，关注测试集，估计误差小说明对未知数据的预测能力好，模型本身最接近最佳模型。
3 k近邻搜索-kd树
根据KNN每次需要预测一个点时，我们都需要计算训练数据集里每个点到这个点的距离，然后选出距离最近的k个点进行投票。当数据集很大时，这个计算成本非常高，针对N个样本，D个特征的数据集，其算法复杂度为O(DN2)。
kd树：为了避免每次都重新计算一遍距离，算法会把距离信息保存在一棵树里，这样在计算之前从树里查询距离信息，尽量避免重新计算。其基本原理是，如果A和B距离很远，B和C距离很近，那么A和C的距离也很远。这样优化后的算法复杂度可降低到O(DNlog(N))。
3.1 案例分析
a. 树的建立
给定一个二维空间数据集：T={(2,3),(5,4),(9,6),(4,7),(8,1),(7,2)}，构造一个平衡kd树。
哪个维度方差大，哪个维度先切分
第一次切分（x轴）：对x轴进行排序，y轴伴随x轴排序；取中位数x=7位置，进行切分；
x轴：2，5，9，4，8，7 ===> 2，4，5，7，8，9
y轴：3，4，6，7，1，2 ===> 3，7，4，2，1，6
第二次切分（y轴）：(7,2)位置不动，对y轴的左右子树进行排序，x轴伴随y轴排序；取左子树中位数y=4，右子树中位数y=6位置，进行切分；
x轴：2，4，5，7，8，9 ===> 2，5，4，7，8，9
y轴：3，7，4，2，1，6 ===> 3，4，7，2，1，6
第三次切分（x轴）：(5,4)、(7,2)、(9,6)位置不动，其余都是叶结点，直接切分
x轴：2，4，5，7，8，9 ===> 2，5，4，7，8，9
y轴：3，7，4，2，1，6 ===> 3，4，7，2，1，6
b. 最近领域的搜索
假设标记为星星的点是 test point， 绿色的点是找到的近似点，在回溯过程中，需要用到一个队列，存储需要回溯的点，在判断其他子节点空间中是否有可能有距离查询点更近的数据点时，做法是以查询点为圆心，以当前的最近距离为半径画圆，这个圆称为候选超球（candidate hypersphere），如果圆与回溯点的轴相交，则需要将轴另一边的节点都放到回溯队列里面来。
- kd树的搜索过程
- 二叉树搜索比较待查询节点和分裂节点的分裂维的值，（小于等于就进入左子树分支，大于就进入右子树分支直到叶子结点）；
- 顺着“搜索路径”找到最近邻的近似点；
- 回溯搜索路径，并判断搜索路径上的结点的其他子结点空间中，是否可能有距离查询点更近的数据点，如果有可能，则需要跳到其他子结点空间中去搜索；
- 重复这个过程直到搜索路径为空。
4 距离度量
4.1 闵可夫斯基距离
闵氏距离不是一种距离，而是一组距离的定义，是对多个距离度量公式的概括性的表述。
其中n是维度；p是一个变参数，根据p的不同，闵氏距离可以表示某一种距离。
(1) 欧氏距离是最容易直观理解的距离度量方法，我们小学、初中和高中接触到的两个点在空间中的距离一般都是指欧氏距离。
(2) 在曼哈顿街区要从一个十字路口开车到另一个十字路口，驾驶距离显然不是两点间的直线距离。这个实际驾驶距离就是“曼哈顿距离”。
(3) 国际象棋中，国王可以直行、横行、斜行，所以国王走一步可以移动到相邻8个方格中的任意一个。国王从格子(x1,y1)走到格子(x2,y2)最少需要多少步？这个距离就叫切比雪夫距离。
- 闵氏距离的缺点：
(1) 将各个分量的量纲(scale)，也就是“单位”相同的看待了;
(2) 未考虑各个分量的分布（期望，方差等）可能是不同的。
4.2 标准化欧氏距离
标准化欧氏距离是针对欧氏距离的缺点而作的一种改进。
思路：既然数据各维分量的分布不一样，那先将各个分量都“标准化”到均值、方差相等。假设样本集X的均值(mean)为m，标准差(standard deviation)为s，标准化变量表示为X*。
如果将方差的倒数看成一个权重，也可称之为加权欧氏距离(Weighted Euclidean distance)。
4.3 余弦距离
几何中，夹角余弦可用来衡量两个向量方向的差异；机器学习中，借用这一概念来衡量样本向量之间的差异。
夹角余弦取值范围为[-1,1]。余弦越大表示两个向量的夹角越小，余弦越小表示两向量的夹角越大。当两个向量的方向重合时余弦取最大值1，当两个向量的方向完全相反余弦取最小值-1。
4.4 杰卡德距离
杰卡德相似系数(Jaccard similarity coefficient)：两个集合A和B的交集元素在A，B的并集中所占的比例，称为两个集合的杰卡德相似系数。
杰卡德距离(Jaccard Distance)：与杰卡德相似系数相反，用两个集合中不同元素占所有元素的比例来衡量两个集合的区分度
举例：X=[[1,1,0], [1,-1,0], [-1,1,0]]，经计算得：d = 0.5000 0.5000 1.0000
注：以下计算中，把杰卡德距离定义为不同的维度的个数占“非全零维度”的比例
4.5 汉明距离
两个等长字符串s1与s2的汉明距离(Hamming Distance)为：将其中一个变为另外一个所需要作的最小字符替换次数。
汉明重量：是字符串相对于同样长度的零字符串的汉明距离，也就是说，它是字符串中非零的元素个数：对于二进制字符串来说，就是 1 的个数，所以 11101 的汉明重量是 4。因此，如果向量空间中的元素a和b之间的汉明距离等于它们汉明重量的差a-b。
应用：汉明重量分析在包括信息论、编码理论、密码学等领域都有应用。比如在信息编码过程中，为了增强容错性，应使得编码间的最小汉明距离尽可能大。但是，如果要比较两个不同长度的字符串，不仅要进行替换，而且要进行插入与删除的运算，在这种场合下，通常使用更加复杂的编辑距离等算法。
举例：X=[[0,1,1],[1,1,2],[1,5,2]]，经计算得：d = 0.6667 1.0000 0.3333
注：以下计算方式中，把2个向量之间的汉明距离定义为2个向量不同的分量所占的百分比。
4.6 马氏距离
马氏距离是基于样本分布的一种距离。
- 马氏距离是由印度统计学家马哈拉诺比斯提出的，表示数据的协方差距离。它是一种有效的计算两个位置样本集的相似度的方法；
- 与欧式距离不同的是，它考虑到各种特性之间的联系，即独立于测量尺度；
- 马氏距离定义：设总体G为m维总体（考察m个指标），均值向量为μ=(μ1，μ2，… …，μm)， 协方差阵为∑=（σij），则样本X=（X1，X2，… …，Xm，）与总体G的马氏距离定义为：
马氏距离也可以定义为两个服从同一分布并且其协方差矩阵为∑的随机变量的差异程度：如果协方差矩阵为单位矩阵，马氏距离就简化为欧式距离；如果协方差矩阵为对角矩阵，则其也可称为正规化的欧式距离。 - 马氏距离特性：
- 量纲无关，排除变量之间的相关性的干扰；
- 马氏距离的计算是建立在总体样本的基础上的，如果拿同样的两个样本，放入两个不同的总体中，最后计算得出的两个样本间的马氏距离通常是不相同的，除非这两个总体的协方差矩阵碰巧相同；
- 计算马氏距离过程中，要求总体样本数大于样本的维数，否则得到的总体样本协方差矩阵逆矩阵不存在，这种情况下，用欧式距离计算即可；
- 还有一种情况，满足了条件总体样本数大于样本的维数，但是协方差矩阵的逆矩阵仍然不存在，比如三个样本点（3，4），（5，6），（7，8），这种情况是因为这三个样本在其所处的二维空间平面内共线。这种情况下，也采用欧式距离计算。
欧式距离&马氏距离：
