[ACM_数学] Fibonacci Nim(另类取石子，2-4组合游戏）

 

游戏规则：

　　有一堆个数为n的石子，游戏双方轮流取石子，满足：

　　1)先手不能在第一次把所有的石子取完；

　　2)之后每次可以取的石子数介于1到对手刚取的石子数的2倍之间（包含1和对手刚取的石子数的2倍）。

　　约定取走最后一个石子的人为赢家，求必败态。

 

问题分析：

　　这个和之前的Wythoff’s Game 和取石子游戏 有一个很大的不同点，就是游戏规则的动态化。之前的规则中，每次可以取的石子的策略集合是基本固定的，但是这次有规则2：一方每次可以取的石子数依赖于对手刚才取的石子数。

　　这个游戏叫做Fibonacci Nim，肯定和Fibonacci数列：f[n]：1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,… 有密切的关系。如果试验一番之后，可以猜测：先手胜当且仅当n不是Fibonacci数。换句话说，必败态构成Fibonacci数列。

　　就像“Wythoff博弈”需要“Beatty定理”来帮忙一样，这里需要借助“Zeckendorf定理”（齐肯多夫定理）：任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和。

 

处理思路：

　　齐肯多夫(zeckendorf)定理：任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和，且一定存在一种取法取到不超过它的最大Fib数。

　　CCR推测:如果n是Fib数那么先取石子的人取不到最后那个。

 

相关链接：

　　http://www.blogbus.com/yjq24-logs/46150651.html

　　

 

 1 #include <stdio.h>

 2 #include <iostream>

 3 #include <string>

 4 using namespace std;

 5 #define MAXN (40000+10)

 6 int f[MAXN];

 7 class Test {

 8 public:

 9     static int win (int   n)

10     {

11         f[0]=f[1]=1;

12         int size=1;

13         while (f[size]<n) size++,f[size]=f[size-1]+f[size-2];//计算斐波那契数组

14         if(f[size]==n){//如果n为斐波那契数则必败

15             return -1;

16         }

17         while(n){//否则找出最小的取石子数

18             while(f[size]>n)size--;

19             if(f[size]==n){

20                 return f[size];

21             }

22             n-=f[size];

23         }

24     }

25 };

26 int main()

27 {

28     int n;cin>>n;

29     cout<<Test::win(n)<<endl;   

30 }