动态规划之矩阵路径问题

给定一个二维数组map，含义是一张地图，如下矩阵。

-2   -3   3

-5   -10  1

0   30   -5

骑士从左上角出发，每次只能向右或者向下走，最后到达右下角见到公主。地图每个位置如果是负数，骑士损失血量，如果是正数，骑士增加血量。其实走到任何一个位置血量都不能少一1。问骑士出发最低血量。

这是最小路径和的一个变形问题，首先按照最小路径和的思路来解决试试。

/* 龙与地下城问题使用动态规划方法，dp[i][j]代表走到m[i][j]的最低血量是多少。
	不过这个动态规划有点逆向思维，不能按常规顺序，从dp数组的左上角出发。一下是从左上角出发
	的代码打印出来的矩阵。
	*/

public int minHP(int [][] m){
		if(m==null||m.length==0||m[0]==null||m[0].length==0){
			return 1;
		}
		int row = m.length;
		int col = m[0].length;
		int dp[][] = new int[row][col];
		dp[0][0]=m[0][0];
		for(int i = 1;i=0?0:(dp[row-1][col-1])*-1;
	}

dp数组输出结果

 -2 -5 -2
 -7 -15 -1
 -7 23 18

可以看出，最后一个位置虽然是30，按理返回1，显然1滴血骑士在一开始就死了，所以这种方法是存在bug的，而且优化起来也很麻烦。所以这道题需要逆向思维，从后向前计算dp的值，代码如下。

	public int minHPshu(int [][] m){
		if(m==null||m.length==0||m[0]==null||m[0].length==0){
			return 1;
		}
		int row = m.length;
		int col = m[0].length;
		int dp[][] = new int[row--][col--];
		dp[row][col]=m[row][col]>0?1:-m[row][col]+1;
		for(int j= col-1;j>=0;j--){
			// 先算出最后一行的值，这是动态规划的基本思路，先算出第一行或是第一列的值
			dp[row][j] = Math.max(dp[row][j+1]-m[row][j],1);
		}
		int right = 0;
		int down = 0;
		for(int i=row-1;i>=0;i--){
			// 随着遍历逐渐算出最后一列的数，写在此处可以节省一个单独的for循环
			dp[i][col]=Math.max(dp[i+1][col]-m[i][col],1);
			for(int j=col-1;j>=0;j--){
				//以下两行为动态规划的核心代码
				right=Math.max(dp[i][j+1]-m[i][j], 1);
				down=Math.max(dp[i+1][j]-m[i][j], 1);
				dp[i][j]=Math.min(right, down);
			}
		}
		//遍历2维数组
		for(int i = 0;i

打印dp：

 7 5 2
 6 11 5
 1 1 6

所以一目了然可以dp[0][0]即为所求。

以上为普通的动态规划，时间复杂度为O(M*N) 两层for循环嵌套的复杂度为O(M*N), 额外空间复杂度为O(M*N)。当然这绝对不是最好的，空间压缩之后可以把额外空间复杂度降至O(min{M,N})。代码如下，对比即可看出与不用空间压缩的不同：

public int minHPshuYouhua(int [][] m){
		if(m==null||m.length==0||m[0]==null||m[0].length==0){
			return 1;
		}
		int row = m.length;
		int col = m[0].length;
		int more = Math.max(row, col);
		int less = Math.min(row, col);
		boolean rowMore = row > col? true : false;
		int dp[] = new int[less];
		dp[less-1]=m[row-1][col-1]>0?1:-m[row-1][col-1]+1;
		for(int j= less-2;j>=0;j--){
			// 先算出最后一行的值，这是动态规划的基本思路，先算出第一行或是第一列的值
			// 空间压缩之后需要重新动态定位行号与列号
			row = rowMore ? more -1:j;
			col = rowMore ? j : more -1;
			dp[j] = Math.max(dp[j+1]-m[row][col],1);
		}
		int right = 0;
		int down = 0;
		for(int i=more-2;i>=0;i--){
			// 随着遍历逐渐算出最后一列的数，写在此处可以节省一个单独的for循环
			row = rowMore?i : more-1;
			col = rowMore?more-1:i;
			dp[less-1]=Math.max(dp[less-1]-m[row][col],1);
			for(int j=less-2;j>=0;j--){
				//以下两行为动态规划的核心代码
				//以下两行为压缩前 作比较
				/*right=Math.max(dp[i][j+1]-m[i][j], 1);
				down=Math.max(dp[i+1][j]-m[i][j], 1);*/
				right=Math.max(dp[j+1]-m[i][j], 1);
				//压缩后重新刷新dp的值
				down=Math.max(dp[j]-m[i][j], 1);
				dp[j]=Math.min(right, down);
			}
		}

		return dp[0];
	}