R语言与函数估计学习笔记（样条方法）

样条估计

如果函数在不同地方有不同的非线性度，或者有多个极值点，那么用多项式特别是低阶多项式来完成拟合是非常不合适的。一种解决办法是我们之前提到的近邻多项式（或者称局部多项式），另一种就是样条——用分段的低阶多项式逼近函数。
关于样条，常用的有两类，一类是多项式样条，另一类是光滑样条。

多项式样条

多项式样条的样条基有很多，最为著名的是我们之前在函数逼近中提到的truncated power basis与B-spline basis。我们这里十分简要的介绍一下B样条，B样条基下的函数逼近可以写为：\[ f(x)=\beta_0+\beta_1 x+\cdots+\beta_p x^p+\sum_{j=1}^n \beta_j B_j^p(x) \]其中\[ B_i^p(x)=\frac{x-c_i}{c_{i+p}-c_i}B_{i}^{p-1}(x)+\frac{c_{i+p+1}-x}{c_{i+p+1}-c_{i+1}}B_{i+1}^{p-1}(x) \]上式中\( B_i^0(x) =1 \)当且仅当\( c_i \le x

bs(x, df = NULL, knots = NULL, degree = 3, intercept = FALSE, Boundary.knots = range(x))

对于参数df值得说明的是df=degree+（Knots个数），attr(,“knots”)会显示划分点，我们常用的3次B样条公式: df=k+3 (不含常数项)
我们以前面提到的essay data为例说明B样条的估计情况：

easy <- read.table("D:/R/data/easysmooth.dat", header = T)
x <- easy$X
y <- easy$Y
m.bsp <- lm(y ~ bs(x, df = 6))


s = function(x) {
    (x^3) * sin((x + 3.4)/2)
}
x.plot = seq(min(x), max(x), length.out = 1000)
y.plot = s(x.plot)
plot(x, y, xlab = "Predictor", ylab = "Response")
lines(x.plot, y.plot, lty = 1, col = 1)
lines(x, fitted(m.bsp), lty = 2, col = 2)

attr(bs(x, df = 6), "knots")  #可以将看到，节点在不指定的情况下默认的是均匀样条，当然，我们可以根据散点图给#出节点的具体选择。

##    25%    50%    75% 
## -1.875 -0.250  1.375

m.bsp1 <- lm(y ~ bs(x, df = 6, knots = c(-2.5, -1, 2)))
lines(x, fitted(m.bsp1), lty = 3, col = 3)

AIC(m.bsp)

## [1] 718.1

AIC(m.bsp1)

## [1] 727.4

summary(m.bsp)

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ bs(x, df = 6))
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -3.790 -0.911 -0.065  0.892  4.445 
## 
## Coefficients:
##                Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)       1.816      0.622    2.92   0.0039 ** 
## bs(x, df = 6)1  -10.552      1.161   -9.09  < 2e-16 ***
## bs(x, df = 6)2   -7.127      0.755   -9.44  < 2e-16 ***
## bs(x, df = 6)3    0.813      0.926    0.88   0.3808    
## bs(x, df = 6)4   -4.056      0.859   -4.72  4.5e-06 ***
## bs(x, df = 6)5    5.781      0.967    5.98  1.1e-08 ***
## bs(x, df = 6)6   -3.505      0.865   -4.05  7.4e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 1.42 on 193 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.824,  Adjusted R-squared:  0.819 
## F-statistic:  151 on 6 and 193 DF,  p-value: <2e-16

可以看到B样条基本很接近真实函数了，summary(m.bsp)报告了各个系数的估计，带入\( f(x) \)的B样条基展开中即可得到一个显式的表达式。

光滑样条

虽然B样条已经很好了，但是理论与实践都表明直接用最小二乘去求解系数效果不好，容易过拟合。一个可能的改进是光滑样条。所谓的光滑样条，就是在求解最小二乘时给估计函数\( f(x) \)加上了一定的惩罚，这个有点类似压缩估计。我们这里采用最常用的光滑性惩罚，得到函数\( f(x) \)的估计\( m(x) \)满足如下的惩罚最小二乘：\[ min \sum_{i=1}^n (y_i-m(x_i))^2+\lambda \int [m''(x)]^2 dx \]在R的splines包中提供了函数smooth.spline来求解光滑样条

easy <- read.table("D:/R/data/easysmooth.dat", header = T)
x <- easy$X
y <- easy$Y
s.hat <- smooth.spline(x, y)

## OUTPUT
s.hat

## Call:
## smooth.spline(x = x, y = y)
## 
## Smoothing Parameter  spar= 0.7251  lambda= 0.0002543 (12 iterations)
## Equivalent Degrees of Freedom (Df): 11.56
## Penalized Criterion: 380.9
## GCV: 2.145

## OUTPUT PLOTS
s <- function(x) {
    (x^3) * sin((x + 3.4)/2)
}
x.plot = seq(min(x), max(x), length.out = 1000)
y.plot = s(x.plot)
plot(x, y, xlab = "Predictor", ylab = "Response")
lines(x.plot, y.plot, lty = 1, col = 1)
lines(s.hat, lty = 2, col = 2)

最后我们来讲一下怎么计算出\( m(x) \),这里我们使用Reinsch algorithm。Step 1: 计算向量\( Q'y \) .Step 2: 找到一个非0对角阵\( R+\lambda Q'Q \) 使得它可以进行Cholesky分解，有因子L，DStep 3: 解方程：\( (R+\lambda Q'Q)\gamma=Q'y \)Step 4: 得到估值\( m=y-\alpha Q \gamma \).上面的Q与R可以表示为：

上面的t表示节点。我们不妨来算算essay data的例子：

easy <- read.table("D:/R/data/easysmooth.dat", header = T)
x <- easy$X
y <- easy$Y


n <- length(y)
knots <- seq(min(x), max(x), length = n + 1)
h <- knots[-1] - knots[-n]
Q <- matrix(0, n, n - 2)
R <- matrix(0, n - 2, n - 2)
for (i in 1:(n - 2)) {
    Q[i, i] = 1/h[i]
    Q[i + 1, i] = -1/h[i] - 1/h[i + 1]
    Q[i + 2, i] = 1/h[i + 1]
}
for (i in 2:(n - 2)) {
    R[i, i] = 1/6 * (h[i] + h[i + 1])
    R[i - 1, i] = h[i]/6
    R[i, i - 1] = h[i]/6
}
R[1, 1] = 1/6 * (h[1] + h[2])
lambda <- 0.2
A <- R + lambda * t(Q) %*% Q
gamma <- solve(A, t(Q) %*% as.matrix(y))

g <- as.matrix(y) - lambda * Q %*% gamma

s <- function(x) {
    (x^3) * sin((x + 3.4)/2)
}
x.plot <- seq(min(x), max(x), length.out = 1000)
y.plot <- s(x.plot)
plot(x, y, xlab = "Predictor", ylab = "Response")
lines(x.plot, y.plot, lty = 1, col = 1)
lines(x, g, lty = 2, col = 2)

在惩罚系数为0.2的情况下，拟合还是不坏的，不是吗？至于为什么可以这样算，我们只要注意到\( \int [m^{''}(x)]dx=m^'(x_i)QR^{-1}Q^'m(x_i) \),估计的问题就与我们十分熟悉的lasso，岭回归十分相像了。

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