冯言冯语说DSP（一） 第1章 离散时间信号与系统

冯言冯语说DSP（一） 第1章 离散时间信号与系统

“冯言冯语说xxx”这一个系列是笔者自己在学习专业课程过程中的一些总结和感悟，未必有许多真知灼见，不过“愚者千虑，必有一得”。《数字信号处理》这门课程是电子类专业的必修课程，我所使用的参考书目是程佩青先生的《数字信号处理教程(第五版)》。

第一篇文章，主要谈一谈绪论和第一章的内容，因为是书的开头，难度不大，所以一些总结比较简略。

绪论里介绍了一些基础的概念，比如什么是信号，什么是系统，什么是数字信号，什么是数字信号处理，以及数字信号处理这门课要干什么，具体知识点不多。
第一章标题是离散时间信号与系统，先讲了什么是离散时间信号，再讲了什么是离散时间系统，下面介绍了数字信号的抽样。关于离散时间信号（也就是序列），主要讲了它的运算和性质，运算里又着重讲了卷积、相关，性质里面重点谈了周期性，最后给出了任意序列的一种表示方法——用单位抽样序列表示。对于离散时间系统，主要从性质的角度出发，不同的系统有不同的性质，重点是LSI系统，它的线性、移不变性、因果性、稳定性。常系数线性差分方程的介绍是将离散时间系统的输入和输出联系在了一起，作为一个单独的知识点。关于抽样，重点在于对奈奎斯特采样定理的讲解，还有一些特殊信号的抽样，模拟信号抽样得到离散信号，离散信号经由插值重构能恢复出模拟信号。具体的重点知识总结如下。

1、信号
（1）周期信号：x(t)=x(t+kT)或x(n)=x(n+kN)都是周期信号，周期分别为T和N。
（2）确定信号与随机信号：确定信号在任意时刻的取值能精确确定。
（3）能量信号和功率信号：若信号能量E有限，则称为能量信号；若信号功率P有限，则称为功率信号。
周期信号及随机信号一定是功率信号，非周期的绝对可积（和）信号一定是能量信号。
（4）模拟信号与数字信号：模拟信号时间、幅值均为连续，数字信号均为离散。
2、数字信号处理既要将离散时间信号加以幅度量化得到数字信号，又要将离散时间系统的系数（参数）加以量化得到数字系统。

3、序列的表示：函数表示、数列表示（花括号，将n=0时的值用下划线标注）、图形表示
4、序列的运算
（1）基于对幅度的运算：加法、乘法、累加、绝对可和、能量、平均功率
（2）基于对变量的运算：移位、翻褶、时间尺度变换（抽取、插值）
（3）既对幅度运算又对变量运算：差分、卷积和、相关、求共轭（反）对称分量和偶（奇）对称分量
5、卷积和运算：翻褶、移位、相乘、相加

方法：图解加解析、列表方法、对位相乘相加法
卷积和序列长度为N+M-1
*向量——矩阵乘法进行卷积计算

矩阵（Toeplitz矩阵）第一行为单位冲激响应（Nh个数值）及补Nx-1个零值后的序列，补到长度为N，以下各行依次等于上一行右移一位，直到整个h(n)移到最右端。
6、相关
（1）互相关

通过上式可以看出，相关计算就是将y序列右移m位，再相乘、相加。
若x(n)和y(n)都是因果有限长序列，则其相关的有值范围为

（2）自相关：当x(n)和y(n)相同时的相关
相关函数只表示两个信号之间的相关性，而卷积则表示信号通过系统的一种运算，两者是完全不同的物理意义。
7、几种常用的典型序列
单位抽样序列、单位阶跃序列、矩形序列、实指数序列、复指数序列、正弦型序列

8、线性移不变系统
（1）离散时间线性系统：对所有输入都满足叠加原理（可加性、齐次性）。对于增量线性系统，任意两个输入的响应之差与两个输入之差呈线性关系。
（2）离散时间移不变系统：参数不随时间而变化，即系统响应与激励加于系统的时刻无关，输出序列随输入序列的移位而作相同的移位，且保持输出序列的形状是不变的。若系统有一个移变的增益，或系统在时间轴上有任何压缩或扩展，则系统是移变系统。
（3）离散时间线性移不变系统（LSI系统）：输出是输入与单位抽样响应的卷积和。
（4）因果系统：系统的输出不发生在输入之前的系统，只看x(n)和y(n)的关系，不讨论其他以n为变量的函数的影响。LSI系统是因果系统的充要条件是其单位冲激响应h(n)是因果序列。
（5）稳定系统：有界输入产生有界输出（BIBO）。LSI系统是稳定系统的充要条件是其单位冲激响应h(n)绝对可和。
9、常系数差分方程解法
经典解法、迭代法（递推法）、卷积和计算法递推法求解运算时要注意双向递推求解。
10、抽样
抽样信号就是周期性的单位冲激信号
奈奎斯特采样定理：要使信号不发生混叠，抽样频率必须大于信号最高频率分量的两倍。
通常在抽样器之前，加一个低通滤波器，称为防混叠滤波器，其截止频率为抽样频率的一半
11、插值重构
如果满足奈奎斯特采样定理，抽样后不会产生频谱混叠，则可以由信号的抽样值经插值重构原信号。
信号重构的抽样内插公式为：

12、正弦型信号的抽样
只要两个模拟正弦型信号频率之差为抽样频率的整数倍时，所得序列都是相同的。因而，当给出某一正弦型序列时，必须同时给出其抽样频率，此序列才能唯一地代表某一频率的正弦型模拟信号。