【RSA解密】 蓝桥杯第十届省赛A组 扩展欧几里得算法（求逆元）+快速乘+快速幂

思路分析：其实我觉得这道题真的很难。。。。 还是按照原文分析：n,d已知的，我们第一步要生成两个质数p，q，这两个质数满足n=pq，且d与(p-1)(q-1)互质，那么我们先找到这两个质数：

for(long long i=1000;;i++) {
		if(n%i==0&&prime(i)&&prime(n/i)&&gcd(d,(i-1)*(n/i-1))==1) {
			p=i;
			q=n/i;
			break;
		}
	}

解出来p=891234941,q=1123984201;
  接下来de模上(p-1)(q-1)等于1，那我们再去寻找e：
这里我们引入逆元的概念：我们通常说 A 是 B 模 C 的逆元，实际上是指 A * B = 1 mod C，也就是说 A 与 B 的乘积模 C 的余数为 1。那么这里d就相当于是e模(p-1)*(q-1)的逆元，求解逆元需要用到扩展欧几里算法（exgcd），exgcd的应用场景为：求解ax+by=gcd(a,b)的整数解！！
  扩展欧几里得算法的代码如下：

int gcd_Ex(int a,int b,int &x,int &y) {   //ax+by=gcd(a,b)的整数解 
	if(b==0) {
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	int x1,y1;
	int gcd=gcd_Ex(b,a%b,x1,y1);  //bx+(a%b)y=gcd(a,b)有整数解x1,y1; 
	x=y1;y=x1-a/b*y1;
	return gcd;
}

  exgcd的核心思想是：

1. 设bx+(a%b)y=gcd(a,b)有整数解x1,y1；
2. x=y1;y=x1-[a/b] * y1

  求解逆元代码如下：

ll mod_reverse(ll a,ll b) {   //求解ax%b==1 
	ll d,x,y;
	d=gcd_Ex(a,b,x,y);   //ax+by=gcd(a,b)有整数解x,y
	if(d==1) {
		return (x%b+b)%b;
	}else {    //无解 
		return -1;
	}
}

解出来e=823816095946741158;
于是：

n=1001733993063167141,d=212353;
p=891234941,q=1123984201;
e=823816095946741158;
C=20190324

而：$C=X^d$ mod n，现在我们要求解X，根据题意我们只需要求解：$C^e$ mod n即可，快速幂求模代码如下：

ll pow_mod(ll a,ll b,ll mod) {   //快速求解a^b%mod
	ll res=1,base=a%mod;
	while(b) {
		if(b&1) {
			res=fast_mul(res,base,mod);
		}
		base=fast_mul(base,base,mod);
		b >>= 1;
	}
	return res;
}

因此最终我们只需要调用：

pow_mod(C,e,n)

很悲催的是。。。。程序好像一直在运行。。。然后通过调试发现是最后一步快速幂求模很慢，而pow_mod中主要的运算集中在快速乘求模，于是可以再优化一下：

ll fast_mul(ll a, ll b, ll mod){  //快速求解a*b%mod 
	ll ans = 0;
	while(b) {
		if(b&1) {
			ans = (ans + a) % mod;
		}
		a=(a+a) % mod;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}

完整代码如下：

#include
using namespace std;
typedef long long ll;

ll p,q,e,ans;
ll n=1001733993063167141,d=212353;
ll C=20190324;

bool prime(ll x) {
	for(ll i=2;i<=sqrt(x);i++) {
		if(x%i==0) {
			return false;
		}
	}
	return true;
}

ll gcd(ll a,ll b) {
	return b?gcd(b,a%b):a;
}

ll gcd_Ex(ll a,ll b,ll &x,ll &y) {   //ax+by=c的整数解 
	if(b==0) {
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	ll x1,y1;
	ll gcd=gcd_Ex(b,a%b,x1,y1);  //bx+(a%b)y=gcd(a,b)有整数解x1,y1; 
	x=y1;y=x1-a/b*y1;
	return gcd;
}

ll mod_reverse(ll a,ll b) {   //求解ax%b==1 
	ll d,x,y;
	d=gcd_Ex(a,b,x,y);   //ax+by=gcd(a,b)有整数解x,y
	if(d==1) {
		return (x%b+b)%b;
	}else {             //无解 
		return -1;
	}
}

ll fast_mul(ll a, ll b, ll mod){  //快速求解a*b%mod 
	ll ans = 0;
	while(b) {
		if(b&1) {
			ans = (ans + a) % mod;
		}
		a=(a<<=1) % mod;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}

ll pow_mod(ll a,ll b,ll mod) {   //快速求解a^b%mod
	ll res=1,base=a%mod;
	while(b) {
		if(b&1) {
			res=fast_mul(res,base,mod);
		}
		base=fast_mul(base,base,mod);
		b >>= 1;
	}
	return res;
}

int main() {
	//求解p,q 
	/*for(ll i=1000;;i++) {
		if(n%i==0&&prime(i)&&prime(n/i)&&gcd(d,(i-1)*(n/i-1))==1) {
			p=i;
			q=n/i;
			break;
		}
	}*/
	p=891234941,q=1123984201;
	ll t=(p-1)*(q-1);
    e=mod_reverse(d,t);
	ll x=pow_mod(C,e,n);
	cout<<x;
	return 0;
}

答案：579706994112328949