NSGA-多目标遗传算法
NSGA-I
1.非支配个体排序：
- i=1;
- for all j=1,2..,n ; j!=i:
比较xi与xj的支配关系，并标记；
- if no any xj支配xi：
则标记xi为非被支配个体；
- i=i+1;
- go to (2) ，unitl all 非支配个体被判断标记出来；
- then get first F1={xi,xj,xk,...第一层非被支配个体}
- ignore 被标记为非支配的x；
do (1)-(6) until all 个体被标记为非支配体
- 为每一层F1,F2,...指定一个虚拟适应度,F1:1,F2:0.9,F3:0.8,...
2.共享适应度计算：
p层Fp上有np个个体，虚拟适应值为fp;i,j=1,2,...np;
(1)计算Fp内个体xi、xj的欧氏距离:
（2）
(3)loop j=1,2,...np.计算：
(4)xi的共享适应度计算：
(5)loop (1)-(4),until all 个体的共享适应度计算完成；
NSGA-II
快速排序，拥挤度策略，精英策略
每个个体属性：ni(种群中能支配xi的个体的数量)、Si(被xi支配的个体的集合)
1.计算支配层级：
fast-nodominate-sort(P)
P={x1,x2,x...,xm}
(1)计算所有个体的ni,Si;
(2) found all xi where xi.ni==0
input xi into F1 where xi.ni==0
(3) for xj{nj,Sj} in F1:
for xk in xj.Sj:
xk.nk--;
if xk.nk==0:
H.putinto(xk)
(4)此时，F1为一级非支配层个体集；设F1层里面的个体一个相同的序列：irank=当前层+1
(5)用H作为新的集合F2,fast-nodominate-sort(F2)
loop (2)-(4) until all x1,2,...m被分层完到F1，F2,....2.拥挤度计算
原一版中，采用共享函数以确保种群多样性，需要指定共享半径σshare；II代提出了拥挤度概念，表示个体周围的密度，id;意义是个体xi周围只包含xi不包含其它个体的最大长方形区域。
拥挤度计算函数：
crowding-distance(L)
l=|L| 个体数；
L[i].id=0 每个个体初始拥挤度为0 ；
for fi in objectfuncs F={f1,f2,...,fm} : 遍历所有目标函数
L=sort(L,fi) 在fi目标函数下对L中个体进行非支配排序
L[1].id=L[l].id=∞ 第一个和最后一个不可能有上下界，无限大
for i=2至(l-1):
L[i].id=L[i].id+(fi(L[i+1])-fi(L[i-1]))/(max(fi)-min(fi))
最后：
id小的个体周围比较拥挤；为了维持种群多样性，需要一个拥挤度比较算子以确保能收敛到均匀的pareto面；
经过1获得的排序irank，和2获得的拥挤度id，可定义偏序关系（比较解的好坏的时候）：
如果两个体支配排序不同，先取小的；如果同支配级，取不拥挤的即拥挤度id大的。算法：
t=0
随机产生Pt={x1,x2,...,xN}
对所有个体计算快速支配排序：fast-nodominate-sort(Pt);
选择、交叉、变异产生下一代：Qt=GA(Pt)；
然后执行算法:
NSGA-II(Pt,Qt)
Rt = Pt+Qt 第t代的父代Pt，第t代的新种群Qt合并，2N个体
F = fast-nodominate-sort(Rt) 父子代参与快速非支配排序,F={F1,F2,...}
Pt+1 = ∅ 下一代初始空
i = 0
while |Pt+1|+|Fi|<=N: //i=1,2,....没有被填满
crowding-distance(Fi) 计算Fi层中个体拥挤度
P(t+1) = P(t+1)∪Fi Fi层中个体并入下一代
i = i+1
sort(Fi,NSGAII实现
我自己Github实现：
https://github.com/425776024/NSGA-II
2019-11-18 更新
发现有这么一个库很不错，已经集成了这么多算法，本人写的真的有误人子弟，献丑了，想了解更好的实现细节的也可以参考这个库的源码
Single-objective: Genetic Algorithm, Differential Evolution, Nelder Mead
Multi-objective: NSGA-II, R-NSGA-II, NSGA-III, R-NSGA-III, U-NSGA-III, MOEA/D
网址：https://pymoo.org/