母函数-以HDU-1398 Square Coins为例
额，其实这个题目不是很难，但因为是母函数的第一篇博客，也是学习母函数的第一次应用，所以就以此题为基础讲一下母函数。
母函数原理
既然是第一道母函数的题目，那就有必要先看一下母函数是什么，原理是什么，怎么实现，有哪些应用，这些都是在学习母函数的过程中有必要弄清楚的。我是看杭电刘春英老师的PPT进行学习的，也参考了一些大神的博客，概念当然不能自己瞎编，就引用百度百科的词条好了：
生成 函数
即母函数，是组合数学中尤其是计数方面的一个重要理论和工具。 生成函数
有普通型生成函数和指数型生成函数两种，其中普通型用的比较多。形式上说，普通型生成函数用于解决 多重集
的组合问题，而指数型母函数用于解决多重集的排列问题。母函数还可以解决递归数列的通项问题（例如使用母函数解决斐波那契数列的通项公式）。（百度百科）
实际上呢，在做了一些题目之后，感觉母函数就是利用多项式乘法的原理，根据题意构建多项式相乘的函数，利用多项式相乘的计算原理，通过指数或者系数得出我们想要的结果。具体看一个简单的例子就明白了：
现在分别有1元，2元，5元的硬币2枚，3枚，1枚，问可以组合成多少钱？有几种组合方法？
这时，母函数就上场了，我先把构建出来的母函数先写出来：
(1+x+x^2)*(1+x^2+x^4+x^6)*(1+x^5)
这样看着是有点难受，不过电脑打只能这样了，可以自己手写一下看着方便一点。
怎么构建的呢？
首先，x的指数代表的是：在所有可能产生的组合中，我可以用这种钱币组成的钱的数量。而多项式的数量则代表每个需要进行组合的类别。
比如，在上面的多项式中，(1+x+x^2)就代表1元，(1+x^2+x^4+x^6)代表2元，(1+x^5)代表5元；而其中代表1元的(1+x+x^2)，1就是x^0，x就是x^1，还有x^2，因为1元硬币只有2枚，所以最多也就只能两枚全部用掉，这里面每一项都代表这“可能产生的组合”，x^0，x^1，x^2分别就是用0枚1元的硬币，用1枚1元的硬币，用2枚1元的硬币；同理(1+x^2+x^4+x^6)几项也分别代表着用0枚2元的硬币，用1枚2元的硬币，用2枚2元的硬币，用3枚2元的硬币；(1+x^5)则分别代表着用0枚5元的硬币，用1枚5元的硬币；这就是多项式的含义，那为什么要这样子构造呢？用这些代表用几枚硬币干什么呢？莫着急，我们先来做一下乘法：把上面的多项式展开，在展开的过程中你就会明白它为什么要这样代表，中间的运算过程是什么，得出的结果是什么意义了，这一步千万别懒自己动手展开一下，否则只看老觉得自己看懂了事实上还是一知半解。
事实上，在多项式相乘的过程中我们每一个多项式都会和另外一个多项式中的每一项相乘：相乘的结果是x的指数相加，而指数代表的是用该枚硬币所能产生的钱数，所以，多项式最后会完成我们组合中所可能出现的所有情况：
1元0枚，2元0枚，3元0枚；
1元0枚，2元0枚，3元1枚；
1元0枚，2元1枚，3元0枚；
1元0枚，2元1枚，3元1枚；
......
这样就彻底理解之前为什么要这样构造了吧，事实上是利用了多项式相乘来替我们完成这个组合的过程，那最后组合出来的结果呢，x^n自然就代表这可以组合成n元，而x^n前面的系数，就是组合成n元一共有多少种情况。为什么？因为中间合并了同类项~~产生同一种结果的加起来了系数自然就是种数啦。
相信到这里你已经理解了多项式是怎么构造的了，这就是母函数，也挺简单的，对吧。
那你有没有点疑惑，为什么要这么麻烦地转成多项式相乘呢？我直接组合不好吗？这样用算法实现不是更麻烦了吗？对了算吗怎么实现啊？
那问题的关键就来了：代码怎么实现？答案是：模拟多项式相乘，让计算机和我们算多项式乘法一样的步骤来计算多项式，注意，是模拟，而不是真的写一个多项式出来。
代码实现
题目：HDU-1398
题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1398
题目：
Square Coins
Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 10290 Accepted Submission(s): 7039
Problem Description
People in Silverland use square coins. Not only they have square shapes but also their values are square numbers. Coins with values of all square numbers up to 289 (=17^2), i.e., 1-credit coins, 4-credit coins, 9-credit coins, ..., and 289-credit coins, are available in Silverland.
There are four combinations of coins to pay ten credits:
ten 1-credit coins,
one 4-credit coin and six 1-credit coins,
two 4-credit coins and two 1-credit coins, and
one 9-credit coin and one 1-credit coin.
Your mission is to count the number of ways to pay a given amount using coins of Silverland.
There are four combinations of coins to pay ten credits:
ten 1-credit coins,
one 4-credit coin and six 1-credit coins,
two 4-credit coins and two 1-credit coins, and
one 9-credit coin and one 1-credit coin.
Your mission is to count the number of ways to pay a given amount using coins of Silverland.
Input
The input consists of lines each containing an integer meaning an amount to be paid, followed by a line containing a zero. You may assume that all the amounts are positive and less than 300.
Output
For each of the given amount, one line containing a single integer representing the number of combinations of coins should be output. No other characters should appear in the output.
Sample Input
2 10 30 0
Sample Output
1 4 27
我们利用一个数组来存储多项式的结果：数组下标是多项式每一项指数的值，数组的值是该项的系数。
运算过程和我们用笔算是一样的，先与右边的多项式相乘，得出一个新的多项式，然后再拿新的多项式和右边的多项式继续乘。原理就是这样，实现起来有很多小细节，做起来就会发现了，弄清楚原理之后简单看一下最好自己完成代码。剩下的就看代码注释了。
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn= 305;
int a[maxn],b[maxn]; //用两个数组是因为其中一个用于临时存储和计算，a用于存储真正结果
int n;
int main(){
while(cin>>n){
if(n==0) break;
for(int i=0;i<=n;i++){ //第一个多项式直接写出来，因为这里的硬币数量是无限的，所以直接把构建第一个多项式与数组初始化放在了一起，做后面几道题就会发现了
a[i]=1;
b[i]=0;
}
for(int i=2;i<=17;i++){ //类别，读完题就知道了想到于多项式个数，从第二个开始乘
for(int j=0;j<=n;j++) //计算每一项的系数，记住，这是更新之后的项，所以范围需要注意，这道题无所谓，其他题要注意
for(int k=0;k+j<=n;k+=i*i) //与之前的每一项相乘
b[j+k]+=a[j]; //相乘的原理自己体会一下
for(int j=0;j<=n;j++){ //将计算结果赋给a
a[j]=b[j];
b[j]=0;
}
}
cout< 嗯，就这样啦，好好学习天天向上~~