尚未解决的10个最困难的数学问题
《尚未解决的10个最困难的数学问题》
- 1.科拉兹猜想
- 2.哥德巴赫猜想
- 3.双素猜想
- 4.黎曼假设
- 5.Birch和Swinnerton-Dyer猜想
- 6.接吻数问题
- 7.难题
- 8.大型基数计划
- 9.与? + e有何关系？
- 10. ?理性吗？
尚未解决的10个最困难的数学问题
世界上最聪明的人无法破解他们。也许您会有更好的运气。
对于我们在数学领域取得的最新进展，例如超级计算机如何最终解决了困扰数学家65年的“三次求和”问题，我们一直在努力进行计算，以寻求更深入的数值知识。几个世纪以来，一些数学问题一直在挑战着我们，尽管像随后的那些大脑破坏者似乎不可能，但最终有人一定会解决它们。也许。
现在，先解决男人，女人和机器已知的最棘手的数学问题。
1.科拉兹猜想
本月初，得益于多产的数学家陶伦斯·陶（Terence Tao），有关这个已有82年历史的问题的新闻爆出。尽管陶行长的突破故事是个好消息，但问题仍未完全解决。
关于Collatz猜想的更新：上面显示的是函数f（n）的全部内容，该函数取偶数并将其减半，而奇数取三倍，然后加到1。取任何自然数，应用f，然后一次又一次地应用f。我们最终检查过的每个数字最终都会落在1上。猜想是，所有自然数都是如此。
陶最近的工作在某种程度上是对科拉兹猜想的一个接近解决方案。但是，正如他随后解释的那样，他的方法很可能无法适应该问题的完整解决方案。因此，我们可能会为此工作数十年。
猜想属于数学学科，称为动态系统，或者是研究以半可预测的方式随时间变化的情况。它看起来像一个简单，无害的问题，但这就是它与众不同的原因。为什么这样一个基本问题很难回答？它是我们理解的基准；一旦解决，我们就可以处理更复杂的事情。
对动力系统的研究可能会比今天任何人所想像的都要强大。但是，我们需要解决科拉兹猜想才能使该学科蓬勃发展。
2.哥德巴赫猜想
数学上最大的未解之谜之一也很容易写。哥德巴赫的猜想是：“每个偶数（大于2）是两个质数的和。”您在脑海中检查了较小的数字：18是13 + 5，而42是23 + 19。计算机已经检查了猜想中的数值是否达到一定程度。但是我们需要证明所有自然数。
哥德巴赫猜想源于1742年德国数学家克里斯蒂安·哥德巴赫（Christian Goldbach）和传奇的瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）之间的信件，被认为是数学史上最伟大的猜想之一。正如欧拉所说：“尽管我无法证明它，但我仍将其视为完全确定的定理。”
欧拉可能已经感觉到是什么使直觉上的问题难以解决。当您查看较大的数字时，它们有更多的质数之和而不是更少的写法。就像3 + 5是将8分解成两个素数的唯一方法一样，但是42可以分解成5 + 37、11 + 31、13 + 29和19 + 23。因此，感觉像哥德巴赫的猜想对于很多人来说都是轻描淡写的。
尽管如此，直到今天，数学家仍无法证明所有数字都是猜想的。它是所有数学中最古老的开放式问题之一。
3.双素猜想
孪生素数猜想与哥德巴赫猜想一道，在数学学科中最著名，称为数论，即对自然数及其性质的研究，通常涉及素数。由于您从小学起就已经知道这些数字，因此陈述这些猜测很容易。
当两个素数之差为2时，它们称为孪生素数。因此11和13是双质数，而599和601都是双质数。现在，第1天数论事实表明存在无限多个质数。那么，有无限多个双素数吗？双生素数猜想是肯定的。
让我们更深入一点。一对双素数中的第一个素数总是比6的倍数小1。因此，第二个双素数素数总是比6的倍数大1。您可以理解为什么，如果您准备好遵循一些数论。
2之后的所有素数都是奇数。偶数始终比6的倍数大0、2或4，而奇数始终比6的倍数大1、3或5。好吧，这三种奇数可能性之一引起了问题。如果数字3大于6的倍数，则其系数为3。系数为3表示数字不是质数（唯一的例外是3本身）。这就是为什么每个第三个奇数都不是质数的原因。
那段时间过后你的头怎么样？现在，想象一下在过去170年中试图解决此问题的每个人的头痛。
好消息是，过去十年来我们取得了可喜的进展。数学家已经设法解决越来越接近的孪生素数猜想。这就是他们的想法：难于证明有多少个质数相差2？如何证明有无数个质数相差70,000,000的质数。2013年，新罕布什尔大学的Yitang Zhang巧妙地证明了这一点。
在过去的六年中，数学家一直在用张的证明来提高这个数字，从数百万减少到数百。将其降低到2将是Twin Prime Conjecture的解决方案。根据一些细微的技术假设，我们得出的最接近的数字是6。时间将证明从6到2的最后一步是否即将到来，或者该最后一步是否会挑战数学家数十年。
4.黎曼假设
当今的数学家可能会同意，黎曼假设是所有数学中最重要的开放问题。它是七个“ 千年奖”问题之一，并为其解决方案悬赏一百万美元。它对数学的各个分支都有着深远的影响，但是它也很简单，我们可以在这里解释其基本概念。
上图中编写了一个称为Riemann zeta函数的函数。
对于每个s，此函数给出一个无穷大的和，这需要一些基本演算才能求出s的最简单值。例如，如果s = 2，则?（s）是众所周知的级数 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +…，这奇怪地加起来恰好是?² / 6。当s是一个复数（一个看起来像a +b?的复数）时，使用虚数?查找?是很棘手的。
如此棘手，实际上，它已成为最终的数学问题。具体地说，黎曼假设大约是当?（s）= 0时；正式声明是：“黎曼zeta函数的每个非平凡零都具有实部1/2。”在复数平面上，这意味着该函数沿特殊的垂直线具有一定的行为。您可以在上面的函数的可视化效果中看到这一点-它沿着彩虹和红色的边界。假设是行为无限地沿着那条线继续。
假设和zeta函数来自德国数学家Bernhard Riemann，他们在1859年对其进行了描述。Riemann在研究素数及其分布时开发了它们。自从160年来，我们对质数的理解一直在蓬勃发展，而黎曼（Riemann）从未想象过超级计算机的力量。但是，缺乏解决黎曼假设的方法是一个重大的挫折。
如果黎曼假设在明天得到解决，它将掀起进一步发展的雪崩。这将是整个数论与分析学科的重大新闻。直到那时，黎曼假设仍然是数学研究之河上最大的水坝之一。
5. Birch和Swinnerton-Dyer猜想
该桦木和斯维讷代尔猜想是另一个六项未解千禧年大奖难题，而且它是唯一另外一个我们可以用简单的英语远程描述。此猜想涉及称为椭圆曲线的数学主题。
当我们最近撰写有关已解决的最棘手的数学问题的文章时，我们提到了20世纪数学的最大成就之一：费马最后定理的解决方案。它由安德鲁·威尔斯爵士使用椭圆曲线解决。因此，您可以称其为非常强大的数学新分支。
简而言之，椭圆曲线是一种特殊的功能。它们采用看起来没有威胁的形式y²=x³+ ax + b。事实证明，像这样的函数具有某些属性，这些属性使人们对诸如代数和数论之类的数学主题有了深刻的了解。
英国数学家Bryan Birch和Peter Swinnerton-Dyer在1960年代发展了他们的猜想。它的确切陈述是非常技术性的，并且经过多年的发展。这种演变的主要管理者之一就是威尔斯。要了解其当前状态和复杂性，请查看Wells在2006年发布的这一著名更新。
6.接吻数问题
数学中的一类广泛的问题称为“ 球体堆积问题”。它们的范围从纯粹的数学到实际应用，通常将数学术语引入在给定空间中堆叠多个球体（例如杂货店的水果）的想法。本研究中的某些问题具有完整的解决方案，而一些简单的问题则使我们感到困惑，例如“接吻数问题”。
当一堆球体堆积在某个区域中时，每个球体都有一个“接吻数”，即它所接触的其他球体的数量；如果您要触摸6个相邻的球体，那么您的接吻数为6。一堆球体将具有一个平均接吻数，这有助于从数学上描述情况。但是有关接吻号码的基本问题尚未得到解答。
首先，要注意尺寸。尺寸在数学上有特定含义：它们是独立的坐标轴。x轴和y轴显示坐标平面的二维。当科幻节目中的角色说他们要去一个不同的维度时，这在数学上是没有意义的。您无法转到x轴。
一维物体是线，二维物体是平面。对于这些较低的数字，数学家已经证明了这么多尺寸的球体的最大可能接吻数。在1-D线上时为2，即一个球在您的左侧，另一个球在您的右侧。尽管直到1950年代才有3个维度的确切数字的证明。
超过3个维度，接吻问题大部分尚未解决。数学家慢慢地将可能性缩小到了多达24个维度的相当窄的范围，其中一些确切已知，如您在此图表中所见。对于较大的数字或一般形式，问题是普遍存在的。完整解决方案有几个障碍，包括计算限制。因此，预计未来几年将在此问题上取得逐步进展。
7.难题
最简单的“ 解开问题”版本已解决，因此该故事已经取得了一些成功。解决问题的完整版本将是更大的胜利。
您可能还没有听说过数学科目“结理论”。几乎没有高中和几所大学都教过它。这个想法是尝试将形式上的数学思想（如证明）应用于打结（例如……），将鞋子绑在一起。
例如，您可能知道如何打结“方结”和“ gr结”。它们的步骤相同，只是从方结到奶奶结的扭转是相反的。但是，您能证明那些结是不同的吗？结理论家可以。
结理论家的圣杯问题是一种算法，该算法可以确定是否纠结了一些纠结的乱七八糟的东西，或者它是否可以解开。好消息是，这已经完成了！在过去的20年中，已经为此编写了几种计算机算法，其中一些甚至使该过程更加活跃。
未知问题仍然存在的地方是计算的。用技术术语来说，众所周知“解结问题”在NP中，而我们不知道它是否在P中。这大致意味着我们知道我们的算法能够解开任何复杂的结，但是随着它们变得越来越复杂，它开始花费很长时间。目前。
如果有人提出了一种算法，该算法可以在所谓的多项式时间内消除任何打结，那么就可以完全解决“打结问题”。另一方面，有人可以证明这是不可能的，并且“解开问题”的计算强度不可避免地是深远的。最终，我们会找到答案。
8.大型基数计划
如果您从未听说过大型红衣主教，请准备学习。在19世纪末，一位名叫Georg Cantor的德国数学家发现无穷大的大小不同。实际上，某些无穷集在深度数学上比其他无穷集具有更多的元素，而Cantor证明了这一点。
有第一个无穷大，最小无穷大，记为ℵ₀。那是希伯来语字母aleph；它的读数为“ aleph-零”。它是一组自然数的大小，因此被写为|ℕ| =ℵ₀。
接下来，一些常见集合大于大小ℵ₀。Cantor证明的主要示例是实数集更大，用|ℝ|>ℵ₀表示。但是，实际收益并不大。我们才刚刚开始使用无限大小。
对于真正的大东西，数学家不断发现越来越大的尺寸，或者我们称之为大红衣主教。这是一个纯数学的过程，如下所示：有人说：“我想到了一个红衣主教，我可以证明这个红衣主教比所有已知的红衣主教还大。”然后，如果他们的证明是好的，那就是新的最大的已知主教。直到有人提出更大的建议。
在整个20世纪，已知的大型枢机主教的边界稳步向前发展。现在甚至有一个美丽的维基百科，以著名的红衣主教命名，以纪念Cantor。那么，这将永远结束吗？答案是肯定的，尽管它变得非常复杂。
从某种意义上说，大型主教层级的顶端已可见。一些定理已经被证明，对大红衣主教的可能性施加了某种限制。但是仍然存在许多悬而未决的问题，新的枢机主教已在2019年确定下来。很可能我们会在未来几十年内发现更多的枢机。希望我们最终能得到所有大型红衣主教的详尽清单。
9. 与? + e有何关系？
鉴于我们对数学中最著名的两个常数?和e所了解的一切，这真让人惊讶，将它们加在一起时我们迷失了多少。
这个奥秘全是关于代数实数的。定义：如果实数是某些具有整数系数的多项式的根，则实数是代数的。例如，x²-6是具有整数系数的多项式，因为1和-6是整数。x²-6= 0的根是x =√6和x =-√6，这意味着√6和-√6是代数数。
所有有理数和有理数的根都是代数的。因此，可能感觉“最”的实数是代数的。原来实际上是相反的。代数的反义词是超验的，事实证明，几乎所有实数都是超验的，因为“几乎所有”的某些数学含义都是如此。那么谁是代数的，谁是超验的呢？
实数real可以追溯到古代数学，而数字e自17世纪以来一直存在。您可能已经听说过这两种方法，并且您认为我们知道有关它们的每个基本问题的答案，对吗？
好吧，我们确实知道?和e都是先验的。但是不知道? + e是代数的还是超验的。同样，我们不了解?e，? / e及其它们的其他简单组合。因此，关于我们几千年来知道的数字仍然存在着令人难以置信的基本问题，这些问题仍然是神秘的。
10. ?理性吗？
这是另一个很容易编写但很难解决的问题。您只需要记住有理数的定义。
有理数可以p / q的形式编写，其中p和q是整数。因此42和-11/3是有理数，而?和√2不是有理数。这是一个非常基本的属性，因此您认为我们可以轻松判断数字何时是有理数，对吗？
满足Euler-Mascheroni常数 ?，它是小写的希腊伽马。它是一个实数，大约为0.5772，其闭合形式并不难看。它看起来像上面的图片。
在这些符号上加上单词的流畅方式是“伽马是谐波序列和自然对数之差的极限。”因此，它是两个非常容易理解的数学对象的组合。它具有其他简洁的封闭形式，并以数百种公式出现。
但是不知何故，我们甚至都不知道?是否合理。我们已经将其计算为半万亿位数，但没有人能证明它是否合理。普遍的预测是?是非理性的。与前面的示例? + e一起，我们还有另一个问题，即众所周知的数字的简单属性，甚至无法回答。