20世纪数学（mathematics in 20th century）
20世纪数学（mathematics in 20th century）
20世纪数学是从19世纪数学多样性时期趋于统一的时期，其统一的基础是集合论。一方面在集合论之上产生出结构数学的庞大领域，另一方面由集合论的基础问题产生了元数学。数学新对象的形成，导致结构的多样性和理论的多样性，而且19世纪末以前的数学——数论、代数学、分析学、几何学与应用数学仍有新的发展，加上新的应用数学、计算数学等领域，数学日趋专门化、多样化。但意想不到的是，从20世纪70年代起，各个领域之间新的关系不断发展，新一轮的统一性正在形成之中。
当代数学前沿的大多数学科是20世纪上半叶形成的，其中主要是抽象代数学（包括群论、环及代数理论、域论、格论、整体李群理论、代数群论、同调代数以及各种衍生结构理论）、一般拓扑学、点集拓扑学、测度和积分理论、泛函分析（包括线性拓扑空间理论、算子代数理论等）、组合拓扑学及代数拓扑学、整体微分几何学、多复变函数论、动力系统理论、随机过程理论等。对于19世纪开创的新领域——代数数论、代数几何学、黎曼几何学和局部李群理论，也在结构数学的框架中获得重大突破，成为当代数学的前沿。20世纪早期形成的一些领域，如微分拓扑学、大范围分析、K理论、非交换几何等，也可在其中看到萌芽。
除了纯粹数学领域的扩大与深化之外，20世纪的应用数学和计算数学的面貌也发生了根本性的改变。
一方面数学应用的范围已从20世纪之前经典力学、天文学与测地学以及数学物理等领域扩展到几乎所有自然科学、工程技术、社会科学、人文科学的分支，而且在其中越来越起着举足轻重的作用；另一方面，一批新的应用数学领域产生出来，成为具有相对独立的分支，构成大数学科学的组成部分。它们一方面与实际问题有着密切的关系，另一方面它们也形成独立的数学研究方向。其中最典型的是19世纪末20世纪初形成的数理统计学，它们同应用概率一起在近半个世纪已经成为与经典应用数学平起平坐的学科领域。另外一个数学领域——组合数学几乎与数学的历史一样悠久，但只有近半个多世纪才逐步成熟并独立地发展起来。
第二次世界大战之后，一些新的应用数学领域独立出来，特别是运筹学诸分支，后来纳人管理科学的学科群中，与工程技术密切相关的系统科学、控制理论与自动化科学、信息科学也得到空前的发展。
20世纪科学技术史中头等重要的事件是电子计算机的诞生，它对整个社会的冲击是怎么估计也不过分的。从计算机的设计制造到大规模应用，处处离不开数学，同时也开辟了新的数学领域，它们可以被归纳成两大部分：一是计算机科学，它指导未来计算机的发展；一是计算数学，它指向计算机在科学计算和工程技术中的大规模计算。计算机的不断普及和改进对数学也造成不可忽视的影响。它给数学家提出一系列算法问题，并形成一套有效的算法，如单纯形方法及其种种改进，有限元方法及其衍生算法等，对算法的分析，如收敛速度、误差传播及稳定性等问题形成数值分析分支。
近年来，计算机由数值运算过渡到符号运算，形成计算机代数重要分支，特别是中国数学家吴文俊的机械化数学纲领在机器证明方面是一大突破。
19世纪末到20世纪初，数学也像物理学一样，迎来了一个激烈的变革时期。一方面人们开始接受G．康托尔的集合论作为统一数学的基础，但不久又在其中发现有悖论，从而出现了严重的数学危机。另一方面，作为未来数学的主要方法——公理化方法由希尔伯特所奠定，他在1899年发表的《几何基础》对于20世纪的数学给予很大的启示。在他的推动下，形成了一个小小的公理化热潮。正是在这个基础上形成了结构数学和元数学两大新领域。20世纪初，数学越来越趋于抽象化。抽象群论的研究、法国数学家勒贝格的测度论和积分论、希尔伯特的积分方程理论、法国数学家弗雷歇的抽象空间理论、代数学的一些公理化理论等相继出现，连同19世纪末组合拓扑学的建立，预示着以代数学和拓扑学为中心的现代数学翻天覆地的变化。泛函分析的出现大大改变了分析的面貌，而且给量子物理学准备了现成的工具。与以前的数学比较，20世纪数学有如下特点：
1、数学不再只是数论、代数、几何、分析几个相对独立的部分，而是随着集合论的出现涌现出大量的新学科、新分支、新理论。例如数学基础与数理逻辑（以及由此分化出来的模型论、递归论、证明论）、抽象代数学（包括群论、环论、域论、同调代数学、代数K理论、格论以及各式各样的代数结构）、一般拓扑学、代数拓扑学、微分拓扑学、拓扑群理论（及其他拓扑代数，包括李群）、代数群理论、测度与积分论、泛函分析、随机过程论，等等。几乎所有应用数学和与计算机有关的数学部门都是20世纪的产物，即使是经典的数学部门，面貌也已完全改观。比如说，19世纪以前的代数学主要研究代数方程及代数方程组的求解问题,19世纪出现了研究代数方程置换群的伽罗瓦理论、线性代数学、不变式理论，而现代的代数学已经是群论、环论、域论及同调代数学等分支，那些经典内容总共也已经占不到百分之几了。
2、数学不再像过去那样只是解决特殊问题、寻求特殊算法的学科，而是在结构的概念下有统一的对象、统一的方法、有自身独立的问题的独立学科，它不只是研究数与形，而主要是研究各种结构，其中特别是代数结构、拓扑结构、序结构以及这些结构互相结合所产生的各种多重结构，从而给20世纪数学带来无比丰富而深刻的内容。结构观念进一步发展成范畴及函子的概念，对统一数学的思想起着很大的作用。思想的统一及方法的深化，促进许多经典问题的解决。
3、数学的内容越来越复杂、抽象，非但没有使得它脱离实际，而且从数学本身发展出来的许多观念给物理学、化学、生物学等提供了许多有力的工具。例如黎曼几何学及张量分析对于广义相对论，泛函分析对于量子力学及量子场论，乃至近年来的纤维丛理论、微分几何学及代数几何学对于规范场理论，群表示论对于原子结构、核结构、基本粒子分类等，都好像是定做的工具，不只一次引起物理学家的惊异。甚至像1917年发现的拉东变换在四五十年后都对医学上检查肿瘤不可缺的X射线层析仪提供理论基础。第二次世界大战前后，电子计算机的问世以及许多门应用数学的发展更是为数学的应用开辟了无比广阔的前景。反过来，实际问题及应用数学又为纯粹数学提出来许多新概念、新问题，甚至推动许多经典难题的解决。例如用规范场理论推动四维拓扑学的研究并取得重大突破。
4、随着电子计算机的发明，无论是纯粹数学还是应用数学都受到电子计算机的强烈影响，数值分析已形成一门独立的数学分支，现在的数学计算方法如果不能在计算机上使用那就要大为减色，许多方法（如单纯形法、蒙特卡罗法、有限元方法、卡尔曼滤波等等）的优越性就在于它们能够与计算机很好地结合。这样许多应用数学问题可以进行计算机试验，而逐步得到解决。不仅如此，许多纯粹数学问题也在计算机帮助之下得到证明，其中最突出的就是1976年阿佩尔及哈肯借助计算机证明四色猜想。机械化证明可望减轻数学家某些重复、繁琐的劳动，而集中于更重要的数学问题的解决。
20世纪数学可以第二次世界大战为界划分为前后两期，前期约从1870年到1940年，可以说是现代数学的萌芽时期。数学由以算为主过渡到以研究结构为主，把数学统一在集合论的基础上，其标志是数理逻辑、抽象代数学、测度与积分论、拓扑学、泛函分析等五大学科的诞生。到20世纪50年代，布尔巴基学派用数学结构的概念统一数学，陆续出版多卷本《数学原理》，成为以后数学的经典。1940年以后，是现代数学的繁荣时期，纯粹数学以拓扑学为中心得到迅猛发展，同时，随着计算机的出现，应用数学和计算数学也取得空前的进步，对于科学及社会都起着越来越重大的作用。
下面我们从四个方面论述纯数学的进展。
一、元数学
20世纪初期，集合论的内在矛盾开始暴露出来，使数学界震动最大的是罗素在1901年发现的悖论。为了解决这个矛盾，罗素提出了分支类型论，并在这个基础上与怀特海合著3大卷《数学原理》（1910－1913）。一个解决悖论的途径是策梅罗于1908年提出的集合论的公理化，他的公理体系经过后来的补充和修改成为公理集合论的一个公认的基础。与此同时，对于数学基础进行了热烈的争论，产生了相互对立的逻辑主义、直觉主义和形式主义三大派。以希尔伯特为代表的形式主义企图把全部数学建立在少数公理的基础上，然后给公理的无矛盾性一个绝对的证明，这就是所谓证明论。1931年，哥德尔证明了他的著名的不完全性定理，使得希尔伯特所期望的形式系统的绝对完全性的证明根本做不到，从而使数理逻辑完全转向一个新的方向。
1931年，哥德尔的不完全性定理导致数理逻辑的大发展。首先是20世纪30年代发展起来的一般递归函数的概念，1936年图灵提出了图灵机的概念，给可计算性一个具体的刻画。由于不完全性定理出现形式系统中的不可判定问题，特别是群的字的问题不可解与希尔伯特第10问题的否定解决。1938年，哥德尔证明连续统假设的相对无矛盾性，20世纪60年代又发现选择公理和连续统假设等的相对独立性，由此产生一系列的数学方面的后果。特别是从20世纪50年代起模型论的诞生，对数学本身也有很大的冲击，其中主要的是非标准分析的产生以及拓扑斯理论的发表。由于集合论的公理系统不完全，自然考虑加进一些新的公理，其中选择公理是比较重要的，在代数和分析的许多证明中是不可少的。但是也有一些公理，比如大基数公理，可以导出所有实数的子集都是勒贝格可测的。数理逻辑的研究又重新受到数学家的重视。
二、结构数学
20世纪上半期主要奠定抽象代数、一般拓扑学、测度和积分理论、泛函分析等分支的基础，20世纪下半期结构数学的重点是代数拓扑学。
1、抽象代数
从19世纪末起，代数学的面貌发生了根本性改变，这时抽象群的结构理沦和表示理论已经有了一定的发展。1910年，施泰尼茨对于域论进行统一的抽象处理，而最重要的发展是从19世纪末发展起来的结合代数和非结合代数的结构理论，特别是韦德伯恩在1907年证明了线性结合代数的结构定理。在此前后， ．嘉当完成了复数域上的半单李代数的结构定理，并推广到实半单李代数，同时研究了它们的表示理论，这些都构成了抽象代数的最初萌芽。但是，抽象代数的发展来源于A．E．诺特的理想理论，A．E．诺特通过公理化方法发展了一般理想理论，建立了诺特环及戴德金环的理想的结构理论，并建立结合代数的基础。阿廷首先把代数的结构理论推广到环上去，导致了环论的诞生。阿廷等人关于实域的研究解决了希尔伯特第17问题，反映了抽象方法的威力。1930年范德瓦尔登的《近世代数学》一书的出版，标志着抽象代数学这门学科的诞生。
2、泛函分析
大约同时，泛函分析也作为一门学科正式诞生，它的来源除了意大利和法国的泛函演算之外，还有希尔伯特和他的学生在20世纪初所进行的积分方程的研究。他们引进了l2空间和L2空间，证明了里斯一菲舍尔定理。里斯还引进了抽象线性算子，并定义算子的范数。他把希尔伯特关于积分方程中的全连续概念推广到抽象算子上，这样，基本建成希尔伯特空间及其线性算子理论，但一直到1928年才由冯·诺伊曼加以公理化。泛函分析的第三条路线来源于巴拿赫等人的工作，他们主要研究赋范空间，并引进其上的算子，其中特别是推广了里斯的工作，建立了对偶空间的概念。泛函分析的出现不仅推广了20世纪初期的谱理论，而且后来成为量子力学的合用的数学工具。量子力学的出现，更进一步推动了泛函分析的研究，推动了算子理论的产生。
3、有限群论
有限群论的主要目标是把所有有限群进行分类，为此我们可以分成两步走，一步是找出所有的单群（也就是构成所有群的基本单位），再就是把这些单群拼凑起来成为各种各样的群。
关于有限单群，很久以前就已经知道许多。除了素数阶循环群外，伽罗瓦已经知道交错群。1900年左右知道许多矩阵构成的典型群，但是在1955年之前进展不大。1955年谢瓦莱用李代数的方法系统地造出当时已知的所有单群（除了几个例外），后来别人又利用他的方法得出许多新的无限单群系列，这些都被称为李型单群。但是这些群并没有把有限单群包罗完全。除了无限系的单群之外，还有26个零散单群，早在1861年及1873年马蒂厄已知道其中的5个，1966－1975年间又陆续发现了21个。到1980年初，所有这26个零散单群都已经具体造出来。那么单群的分类是否大功告成了呢？群论专家大都认为是这样，不过完全证明仍在发表中。
4、拓扑学
在20世纪最初30多年中，拓扑学经历了相当长的混乱时期，出现了许多同调理论，也开拓了一些应用领域，其中特别值得指出的是拓扑学与分析的联系。1925年莫尔斯建立了大范围变分法，即变分问题的莫尔斯理论，这个理论把临界点（奇点）指数与贝蒂数联系起来。1931年德．拉姆证明德．拉姆公式，把微分形式与同调联系起来。这时由于抽象代数学的发展，在A．E．诺特的影响下，形成了同调群的概念，由此把几何的结构和代数的结构联系起来。到第二次世界大战末期，艾伦伯格和斯廷罗德将同调论公理化，从而结束了同调论的混乱局面。后来又发现了许多广义的同调理论（如K理论），给拓扑学乃至整个数学提供了许多强有力的武器。
拓扑学的一个方向是同伦论，庞加莱已经提出了基本群的概念，后来切赫和胡雷维奇先后提出同伦群的观念。同伦群包括着拓扑空间的丰富信息，但是，它是极为难计算的群。常常很片面的进展都给拓扑学乃至整个数学带来极大的推动，例如博特用莫尔斯理论得出典型群同伦群的周期性定理，成为K理论的一个来源。
拓扑学的一个自然对象是流形，流形可以看成是一块一块欧氏空间粘接在一起形成的东西。假如这些块通过线性映射粘接在一起，就成为分段线性流形；假如这些块通过可微映射粘接在一起，就得出微分流形。
一个著名的、长期没有解决的猜想——主猜想，它宣称任何分段线性流形必定存在本质上是唯一的三角剖分（即线性粘接的方式）。显然对于许多流形，主猜想成立，但是仍然存在反例。另外，1966－1967年，还证明了存在拓扑流形没有分段线性结构。
微分流形是应用范围极广的对象。1956年米尔诺发现微分流形7维球面S7具有不同的微分结构，这是拓扑学的一个重大成就，它标志着微分拓扑学的诞生。其后不久，又发现有的分段线性流形没有微分结构，而反过来，任何微分流形都存在本质上是唯一的分段线性结构是早就知道的事。
另外一个重要的猜想是庞加莱猜想，即单连通、定向、闭三维流形一定是三维球面。至今，这个猜想未被证实也没有被否定。但是广义的庞加莱猜想，5维以上的相当的猜想在1960年左右却获得了证实。1982年，4维的猜想也得到证明。
近年来，流形上的分析——奇点理论、动力系统（常微分方程）理论、叶状结构理论等取得很大的发展。托姆从奇点理论出发，发展了突变理论，在不同程度上可以解释许多自然现象及社会现象。
三、结构数学对经典数学的冲击
20世纪发展起来的代数及拓扑方法对于古老的学科起着极大的推动作用。其中结构数学对于代数数论、代数几何学、多复变函数论、抽象调和分析、大范围微分几何学等分支起着决定性的改造作用，从而极大地扩展了它们的范围。由此，导致许多经典问题取得突破乃至完全解决。
1、微分流形的几何学
组合拓扑学由于群的概念的引进，正式成为代数拓扑学。20世纪40年代同调论的公理化，统一了同调论的基础，并开辟了以后广义上同调论的发展途径。同时，同伦论的兴起，丰富了拓扑学的内容，而且使得拓扑学成为数学发展的重要工具。其中纤维丛及层概念的引入起着决定性作用。20世纪50年代以后，对于流形的研究取得了重要的突破，1956年发现了球面上的不等价的微分结构，证明了广义庞加莱猜想，解决了主猜想，并发展了大范围的动力系统理论。对于微分流形的研究，促进了奇点理论的发展，同时解决了一系列与微分几何学有关的拓扑问题，并且发展了叶状结构理论。
2、古典分析
新学科的发展给古典分析提供了重要的工具，其中包括不动点定理、拓扑度的观念，尤其是广义函数论大大推动了偏微分方程理论的发展。在微分流形上，考虑微分算子促使霍奇理论的产生，这个理论把流形的拓扑性质与分析性质结合起来，它与黎曼一罗赫定理共同深化为阿蒂亚一辛格理论，阿蒂亚一辛格理论是引进伪微分算子的主要推动力，伪微分算子不仅包含线性微分算子，而且包含了以前研究的奇异积分算子，从而使线性偏微分方程理论系统化，这套理论后来又推广为傅立叶积分算子理论。
3、代数几何学
交换环理论给代数几何学打下了牢固的基础。从范德瓦尔登、韦伊、扎里斯基一直到塞尔、格罗唐迪克，不仅发展了抽象代数几何学，而且解决了一系列经典问题，其中特别是广中平枯解决了特征0的代数簇的奇点解消问题，而且建立了算术代数几何这一前沿学科，并导致一系列重要猜想的解决。1974年，德利涅成功地证明了韦伊猜想，这是不定方程理论最重大的成就。1983年，法尔廷斯证明了莫德尔猜想，这是丢番图几何的中心问题之一。1994年怀尔斯取得世纪性的成就，证明了费马大定理。
4、代数数论
19世纪末，希尔伯特已把当时代数数论最主要的成果整理在他的《数论报告》（即《代数数域的理论》）中，而且发展了类域的概念，给出一系列类域论的猜想，并证明了许多特殊的情形。这些结果和猜想成为20世纪前半叶代数数论发展的指南。如希尔伯特类域的推广、相对阿贝尔扩张具有唯一的类域、克罗内克青春之梦等到1920年都陆续被高木贞治等人解决。到1927年阿廷证明了一般互反律，从而完成了阿贝尔类域论的理论。20世纪30年代到50年代，在抽象代数、同调代数等工具的帮助下，类域论可以用漂亮的代数理论和上同调理论来表达，成为数学王国中一颗光彩夺目的明珠。
类域论不仅仅在原来代数数域的范围中，许多定理可以类推到代数闭域上单变量代数函数域上。另外，亨泽尔发现了p-adic数，对于各种代数数域也都有相应的“局部域”，相应地建立了各种局部域的阿贝尔扩张理论，此即局部类域论。20世纪60年代，局部类域论可以用形式群的工具来简明地表示出来。
其后，类域论向非阿贝尔类域论发展。这里面，自守形式、代数几何、群表示论、上同调混合在一起。朗兰茨等人发展了一套体系，被称为朗兰茨哲学，它极大地影响了整个数学的发展。
四、经典数学
20世纪许多经典问题也取得重大进展，下面列举其中一些重要项目。
1、解析数论
（1）黎曼猜想
（2）素数定理的初等证明
（3）华林问题与哥德巴赫猜想
（4）密率方法与筛法
（5）三角和方法
2、丢番图逼近与超越数论
（1）解决希尔伯特第7问题
（2）代数数的最佳逼迫
（3）高斯关于类数1的虚二次域猜想
（4）卡塔兰方程
（5）ζ（3）为无理数
3、单复变函数论
（1）奈望林纳理论
（2）拟共形映射
（3）比伯巴赫猜想
4、实变函数论
傅立叶级数为几乎处处收敛和发散的问题，如卢津猜想。
5、微分方程与变分法
（1）极小曲面、普拉托问题
（2） KdV方程
（3）线性偏微分方程的解的存在性、唯一性
虽然它们大都与结构数学无关，但是其中一些问题的进步仍可以看出结构数学的影响。
当然，经典数学不仅限于上述几个分支，另一个活跃的分支是概率论。
概率论虽然已有300年的历史，但到20世纪初，人们对概率只有一些模糊的认识，概率的计算也没有很严格的基础。当时只有一些古典概率的基本概念以及大数律及中心极限定理的原始形式。20世纪初严格地证明了中心极限定理。1909年， ．波莱尔得出强大数定律，马尔可夫开始了马尔可夫链的研究。到20世纪20年代，建立了大数律与中心极限定理成立的充分必要条件，可以说是古典概率论的最终完成。但是，这个时期对于概率的理解有着很大的不同，对于概率的数学基础，也有不同的看法，一直到 ．波莱尔有意识地把概率论建立在测度论的基础上，建立了可数集的概率法，填补了古典概率以及几何概率之间的空白，概率论才算有了可靠的数学基础。1933年，柯尔莫戈罗夫把概率论公理化，概率论才正式成为一门独立学科。20世纪20年代到40年代，是概率论的英雄时代，这个时期形成了以莱维为代表的法国学派，柯尔莫戈罗夫、辛钦等为代表的原苏联学派以及稍后的美国学派，这个时期研究了独立随机变量和的极限定律以及相关的随机变量情形下大数律与中心极限定理的推广，而最重要的一个方面是随机过程。随机过程的最典型的例子是布朗运动，在爱因斯坦1905年的物理解释的基础上，N．维纳首先从数学上建立了布朗运动的理论模型，其后莱维从马尔可夫过程观点研究布朗运动，提出假定未来与过去无关这种强马尔可夫性质。后来发现马尔可夫过程的转移概率满足微分积分方程。第二次世界大战后，概率论发展了随机过程和随机分析等重要分支，在理论和实践方面起着重大作用。例如当前发展的热门全能数学中，随机微分方程起着决定性作用。
20世纪的应用数学和计算数学也获得了巨大发展。除了经典的应用数学之外，20世纪新产生了许多新兴领域，特别是统计数学、运筹学、控制理论以及与计算机有关的计算机科学与计算数学等。
作为概率论的应用是数理统计，它来源于优生学。20世纪初，皮尔逊构造相关性的理论，建立了生物计量学的基础。他引进了 分布，开辟了参数检验理论，后来戈塞特开辟小样本检验方法，这些都是建立在古典概率基础上的。20世纪20年代，费希尔一系列的理论与实践活动促进了数理统计的极大发展，他的主要贡献是假设检验和实验设计，他还发展了方差分析方法的研究。他的数学不够严格，后来在概率论公理化的基础上，内曼等人奠定了统计假设检验的基础。实验设计是应用非常广泛的方法，它与组合理论密切相关，特别涉及正交拉丁方的存在问题以及区组设计理论，这些都已经成为组合理论的独立分支。数理统计的另外一个发展是瓦尔德开创的统计判断函数理论，在第二次世界大战中，他发展了序贯分析法，有极大的实用价值。
20世纪的数学应用不仅在物理科学方面继续深人发展，而且扩展到生物科学、经济科学、管理科学等各个方面。20世纪40年代以后，随着计算机的发展，应用数学与计算数学密切相关地发展，解决了一系列的重要问题。它不仅应用基础数学，而且用到新兴的抽象学科，如拓扑学、抽象代数、泛函分析等等。反过来，应用数学也促进了纯粹数学的发展，甚至直接促使纯粹数学问题的解决，如1982年由杨振宁一米尔斯理论导致四维庞加莱猜想的证明。在第二次世界大战中发展起来的运筹科学，其中最重要的分支是规划理论，特别是线性规划理论与算法复杂性有着密切的关系，在实用上也有着多方面的应用。1948年发展起来一整套信息理论，其中编码问题与代数问题密切相关。由于卫星和火箭的控制问题产生了控制理论、应用抽象代数、泛函分析、随机过程理论乃至微分几何学、代数几何学。1958年，庞特里亚金等人提出最优控制所满足的必要条件，而形成集中参数系统的最优控制理论。1960年，卡尔曼等提出递推滤波算法，适合于计算机进行计算，便于应用。对策论的发展较早，1944年冯·诺伊曼等的《对策论与经济行为》一书出版，是对前人关于对策模型研究的总结，其中给对策以公理化的定义，奠定了这门科学的基础。与此同时，他们也发展了数理经济学的一个方向。
随着数学应用的发展，对计算机的要求也越来越高，大量数值计算使人们对于研究数值计算方法更加重视。1947年，冯·诺伊曼等人发表“高阶矩阵的数值求逆”，标志着数值分析这门学科的诞生。数值分析最常用的方法是解线性方程组，除了高斯消去法之外，还发展了迭代法，并研究一类应用价值很广的稀疏矩阵以及广义逆的概念。为了解偏微分方程，常用差分法以及库朗等人在20世纪20年代奠定基础的有限元法，这个方法是应用范围最广的方法。其他还有样条函数、快速傅立叶变换以及线性规划的单纯形方法及其种种改进。20世纪60年代，随着计算数学的实践，出现了计算复杂性分支，它对于算法进行了定量的评价。
20世纪初，大部分数学工作是在德国和法国进行的，法国数学的领袖人物是庞加莱，其后 ．波莱尔、勒贝格、阿达马等人在函数论方面有着重要的国际影响。德国的数学主要是以希尔伯特为首的格丁根学派，希尔伯特的研究一直影响到20世纪30年代，德国各地也有许多小的中心，如柏林、汉堡等地都进行着活跃的数学研究。在希特勒上台之前，德国一直处于世界的领先地位。第一次世界大战之后，A．E．诺特的学派促成抽象代数的诞生以及拓扑学的代数化，而同时在法国，只有 ．嘉当进行李群与微分几何学的孤立的研究。第二次世界大战以后，以布尔巴基学派为核心的法国数学在世界上居于主导地位，尤其对结构数学的发展起着决定性作用。
19世纪的英国，虽然有一些著名的数学家，但落后于欧洲大陆，长期以来，数学的发展停滞不前。19世纪末，扬夫妇去格丁根学习，开始把新数学引进英国，一直到20世纪初，哈代和李特尔伍德在数论及古典分析方面开始做出国际水平的贡献。20世纪30年代以后，英国数学家开始在拓扑学、代数几何学以及抽象代数等方面做出突出的贡献。
19世纪70年代以后，意大利数学家在到德、法两国去学习之后，本国数学有了巨大的发展。19世纪末到20世纪初，许多意大利数学家在微分几何学、代数几何学、泛函分析、实变函数论等方面做出了第一流的贡献。意大利数学在20世纪30年代到50年代趋于衰微，其后，又得到复兴，在各个领域都有不少贡献，最突出的是在分析方面，尤其是偏微分方程。
20世纪一系列的民族学派兴起，美国数学家先是向德国、法国学习，产生了一些优秀的数学家，如N．维纳及G．D．伯克霍夫。20世纪30年代以后，一大批欧洲数学家移民美国，使得美国在二战后成为重要的数学大国。另一个数学大国原苏联则是以卢津为首的莫斯科学派最为主要，20世纪20年代许多人到德国等地留学，出现了一批优秀的拓扑学家、代数学家、分析学家。原苏联的概率论尤其出色。其后，在新兴的一些学科一度落后，从20世纪60年代起得到恢复和振兴，形成门类齐全的数学体系。波兰数学从第一次世界大战以后开始形成自己的学派，他们着重研究集合论、逻辑、拓扑学和泛函分析以及实分析，在这些领域处于国际领先地位。但第二次世界大战中，半数以上的数学家惨遭杀害，致使波兰数学元气大伤。日本的数学从19世纪末起开始向欧洲学习，20世纪初已经出现像高木贞治这样的数学家，其后日本数学逐步形成了一个门类齐全的数学体系。第二次世界大战以后，出现不少世界第一流的数学家。北欧诸国产生了一批重要的数学家，但他们的兴趣多偏重于经典数学。匈牙利给世界提供了大批优秀数学家，如里斯和冯·诺伊曼。第二次世界大战以后，拉丁美洲、印度等国也出现一些重要的数学家。
在第二次世界大战之前，数学家之间的交流已经开始活跃起来，除了四年举行一次的国际数学家大会之外，区域性的会议及专业的会议也举行过一些。第二次世界大战以后，由于交通工具的改进，各种各样的会议层出不穷，大大促进了数学的国际化。20世纪数学的出版物也以指数形式增长，每年发表的数学论文从1900年的大约1500篇增长到1980年的4万至5万篇，这种庞大数量的文献使数学家难以掌握，于是逐步产生一些新的文摘杂志。数学家的交流方式越来越变得口耳相传而不是通过阅读文献及书刊来进行。
20世纪数学是从19世纪数学多样性时期趋于统一的时期，其统一的基础是集合论。一方面在集合论之上产生出结构数学的庞大领域，另一方面由集合论的基础问题产生了元数学。数学新对象的形成，导致结构的多样性和理论的多样性，而且19世纪末以前的数学——数论、代数学、分析学、几何学与应用数学仍有新的发展，加上新的应用数学、计算数学等领域，数学日趋专门化、多样化。但意想不到的是，从20世纪70年代起，各个领域之间新的关系不断发展，新一轮的统一性正在形成之中。
当代数学前沿的大多数学科是20世纪上半叶形成的，其中主要是抽象代数学（包括群论、环及代数理论、域论、格论、整体李群理论、代数群论、同调代数以及各种衍生结构理论）、一般拓扑学、点集拓扑学、测度和积分理论、泛函分析（包括线性拓扑空间理论、算子代数理论等）、组合拓扑学及代数拓扑学、整体微分几何学、多复变函数论、动力系统理论、随机过程理论等。对于19世纪开创的新领域——代数数论、代数几何学、黎曼几何学和局部李群理论，也在结构数学的框架中获得重大突破，成为当代数学的前沿。20世纪早期形成的一些领域，如微分拓扑学、大范围分析、K理论、非交换几何等，也可在其中看到萌芽。
除了纯粹数学领域的扩大与深化之外，20世纪的应用数学和计算数学的面貌也发生了根本性的改变。
一方面数学应用的范围已从20世纪之前经典力学、天文学与测地学以及数学物理等领域扩展到几乎所有自然科学、工程技术、社会科学、人文科学的分支，而且在其中越来越起着举足轻重的作用；另一方面，一批新的应用数学领域产生出来，成为具有相对独立的分支，构成大数学科学的组成部分。它们一方面与实际问题有着密切的关系，另一方面它们也形成独立的数学研究方向。其中最典型的是19世纪末20世纪初形成的数理统计学，它们同应用概率一起在近半个世纪已经成为与经典应用数学平起平坐的学科领域。另外一个数学领域——组合数学几乎与数学的历史一样悠久，但只有近半个多世纪才逐步成熟并独立地发展起来。
第二次世界大战之后，一些新的应用数学领域独立出来，特别是运筹学诸分支，后来纳人管理科学的学科群中，与工程技术密切相关的系统科学、控制理论与自动化科学、信息科学也得到空前的发展。
20世纪科学技术史中头等重要的事件是电子计算机的诞生，它对整个社会的冲击是怎么估计也不过分的。从计算机的设计制造到大规模应用，处处离不开数学，同时也开辟了新的数学领域，它们可以被归纳成两大部分：一是计算机科学，它指导未来计算机的发展；一是计算数学，它指向计算机在科学计算和工程技术中的大规模计算。计算机的不断普及和改进对数学也造成不可忽视的影响。它给数学家提出一系列算法问题，并形成一套有效的算法，如单纯形方法及其种种改进，有限元方法及其衍生算法等，对算法的分析，如收敛速度、误差传播及稳定性等问题形成数值分析分支。
近年来，计算机由数值运算过渡到符号运算，形成计算机代数重要分支，特别是中国数学家吴文俊的机械化数学纲领在机器证明方面是一大突破。
19世纪末到20世纪初，数学也像物理学一样，迎来了一个激烈的变革时期。一方面人们开始接受G．康托尔的集合论作为统一数学的基础，但不久又在其中发现有悖论，从而出现了严重的数学危机。另一方面，作为未来数学的主要方法——公理化方法由希尔伯特所奠定，他在1899年发表的《几何基础》对于20世纪的数学给予很大的启示。在他的推动下，形成了一个小小的公理化热潮。正是在这个基础上形成了结构数学和元数学两大新领域。20世纪初，数学越来越趋于抽象化。抽象群论的研究、法国数学家勒贝格的测度论和积分论、希尔伯特的积分方程理论、法国数学家弗雷歇的抽象空间理论、代数学的一些公理化理论等相继出现，连同19世纪末组合拓扑学的建立，预示着以代数学和拓扑学为中心的现代数学翻天覆地的变化。泛函分析的出现大大改变了分析的面貌，而且给量子物理学准备了现成的工具。与以前的数学比较，20世纪数学有如下特点：
1、数学不再只是数论、代数、几何、分析几个相对独立的部分，而是随着集合论的出现涌现出大量的新学科、新分支、新理论。例如数学基础与数理逻辑（以及由此分化出来的模型论、递归论、证明论）、抽象代数学（包括群论、环论、域论、同调代数学、代数K理论、格论以及各式各样的代数结构）、一般拓扑学、代数拓扑学、微分拓扑学、拓扑群理论（及其他拓扑代数，包括李群）、代数群理论、测度与积分论、泛函分析、随机过程论，等等。几乎所有应用数学和与计算机有关的数学部门都是20世纪的产物，即使是经典的数学部门，面貌也已完全改观。比如说，19世纪以前的代数学主要研究代数方程及代数方程组的求解问题,19世纪出现了研究代数方程置换群的伽罗瓦理论、线性代数学、不变式理论，而现代的代数学已经是群论、环论、域论及同调代数学等分支，那些经典内容总共也已经占不到百分之几了。
2、数学不再像过去那样只是解决特殊问题、寻求特殊算法的学科，而是在结构的概念下有统一的对象、统一的方法、有自身独立的问题的独立学科，它不只是研究数与形，而主要是研究各种结构，其中特别是代数结构、拓扑结构、序结构以及这些结构互相结合所产生的各种多重结构，从而给20世纪数学带来无比丰富而深刻的内容。结构观念进一步发展成范畴及函子的概念，对统一数学的思想起着很大的作用。思想的统一及方法的深化，促进许多经典问题的解决。
3、数学的内容越来越复杂、抽象，非但没有使得它脱离实际，而且从数学本身发展出来的许多观念给物理学、化学、生物学等提供了许多有力的工具。例如黎曼几何学及张量分析对于广义相对论，泛函分析对于量子力学及量子场论，乃至近年来的纤维丛理论、微分几何学及代数几何学对于规范场理论，群表示论对于原子结构、核结构、基本粒子分类等，都好像是定做的工具，不只一次引起物理学家的惊异。甚至像1917年发现的拉东变换在四五十年后都对医学上检查肿瘤不可缺的X射线层析仪提供理论基础。第二次世界大战前后，电子计算机的问世以及许多门应用数学的发展更是为数学的应用开辟了无比广阔的前景。反过来，实际问题及应用数学又为纯粹数学提出来许多新概念、新问题，甚至推动许多经典难题的解决。例如用规范场理论推动四维拓扑学的研究并取得重大突破。
4、随着电子计算机的发明，无论是纯粹数学还是应用数学都受到电子计算机的强烈影响，数值分析已形成一门独立的数学分支，现在的数学计算方法如果不能在计算机上使用那就要大为减色，许多方法（如单纯形法、蒙特卡罗法、有限元方法、卡尔曼滤波等等）的优越性就在于它们能够与计算机很好地结合。这样许多应用数学问题可以进行计算机试验，而逐步得到解决。不仅如此，许多纯粹数学问题也在计算机帮助之下得到证明，其中最突出的就是1976年阿佩尔及哈肯借助计算机证明四色猜想。机械化证明可望减轻数学家某些重复、繁琐的劳动，而集中于更重要的数学问题的解决。
20世纪数学可以第二次世界大战为界划分为前后两期，前期约从1870年到1940年，可以说是现代数学的萌芽时期。数学由以算为主过渡到以研究结构为主，把数学统一在集合论的基础上，其标志是数理逻辑、抽象代数学、测度与积分论、拓扑学、泛函分析等五大学科的诞生。到20世纪50年代，布尔巴基学派用数学结构的概念统一数学，陆续出版多卷本《数学原理》，成为以后数学的经典。1940年以后，是现代数学的繁荣时期，纯粹数学以拓扑学为中心得到迅猛发展，同时，随着计算机的出现，应用数学和计算数学也取得空前的进步，对于科学及社会都起着越来越重大的作用。
下面我们从四个方面论述纯数学的进展。
一、元数学
20世纪初期，集合论的内在矛盾开始暴露出来，使数学界震动最大的是罗素在1901年发现的悖论。为了解决这个矛盾，罗素提出了分支类型论，并在这个基础上与怀特海合著3大卷《数学原理》（1910－1913）。一个解决悖论的途径是策梅罗于1908年提出的集合论的公理化，他的公理体系经过后来的补充和修改成为公理集合论的一个公认的基础。与此同时，对于数学基础进行了热烈的争论，产生了相互对立的逻辑主义、直觉主义和形式主义三大派。以希尔伯特为代表的形式主义企图把全部数学建立在少数公理的基础上，然后给公理的无矛盾性一个绝对的证明，这就是所谓证明论。1931年，哥德尔证明了他的著名的不完全性定理，使得希尔伯特所期望的形式系统的绝对完全性的证明根本做不到，从而使数理逻辑完全转向一个新的方向。
1931年，哥德尔的不完全性定理导致数理逻辑的大发展。首先是20世纪30年代发展起来的一般递归函数的概念，1936年图灵提出了图灵机的概念，给可计算性一个具体的刻画。由于不完全性定理出现形式系统中的不可判定问题，特别是群的字的问题不可解与希尔伯特第10问题的否定解决。1938年，哥德尔证明连续统假设的相对无矛盾性，20世纪60年代又发现选择公理和连续统假设等的相对独立性，由此产生一系列的数学方面的后果。特别是从20世纪50年代起模型论的诞生，对数学本身也有很大的冲击，其中主要的是非标准分析的产生以及拓扑斯理论的发表。由于集合论的公理系统不完全，自然考虑加进一些新的公理，其中选择公理是比较重要的，在代数和分析的许多证明中是不可少的。但是也有一些公理，比如大基数公理，可以导出所有实数的子集都是勒贝格可测的。数理逻辑的研究又重新受到数学家的重视。
二、结构数学
20世纪上半期主要奠定抽象代数、一般拓扑学、测度和积分理论、泛函分析等分支的基础，20世纪下半期结构数学的重点是代数拓扑学。
1、抽象代数
从19世纪末起，代数学的面貌发生了根本性改变，这时抽象群的结构理沦和表示理论已经有了一定的发展。1910年，施泰尼茨对于域论进行统一的抽象处理，而最重要的发展是从19世纪末发展起来的结合代数和非结合代数的结构理论，特别是韦德伯恩在1907年证明了线性结合代数的结构定理。在此前后， ．嘉当完成了复数域上的半单李代数的结构定理，并推广到实半单李代数，同时研究了它们的表示理论，这些都构成了抽象代数的最初萌芽。但是，抽象代数的发展来源于A．E．诺特的理想理论，A．E．诺特通过公理化方法发展了一般理想理论，建立了诺特环及戴德金环的理想的结构理论，并建立结合代数的基础。阿廷首先把代数的结构理论推广到环上去，导致了环论的诞生。阿廷等人关于实域的研究解决了希尔伯特第17问题，反映了抽象方法的威力。1930年范德瓦尔登的《近世代数学》一书的出版，标志着抽象代数学这门学科的诞生。
2、泛函分析
大约同时，泛函分析也作为一门学科正式诞生，它的来源除了意大利和法国的泛函演算之外，还有希尔伯特和他的学生在20世纪初所进行的积分方程的研究。他们引进了l2空间和L2空间，证明了里斯一菲舍尔定理。里斯还引进了抽象线性算子，并定义算子的范数。他把希尔伯特关于积分方程中的全连续概念推广到抽象算子上，这样，基本建成希尔伯特空间及其线性算子理论，但一直到1928年才由冯·诺伊曼加以公理化。泛函分析的第三条路线来源于巴拿赫等人的工作，他们主要研究赋范空间，并引进其上的算子，其中特别是推广了里斯的工作，建立了对偶空间的概念。泛函分析的出现不仅推广了20世纪初期的谱理论，而且后来成为量子力学的合用的数学工具。量子力学的出现，更进一步推动了泛函分析的研究，推动了算子理论的产生。
3、有限群论
有限群论的主要目标是把所有有限群进行分类，为此我们可以分成两步走，一步是找出所有的单群（也就是构成所有群的基本单位），再就是把这些单群拼凑起来成为各种各样的群。
关于有限单群，很久以前就已经知道许多。除了素数阶循环群外，伽罗瓦已经知道交错群。1900年左右知道许多矩阵构成的典型群，但是在1955年之前进展不大。1955年谢瓦莱用李代数的方法系统地造出当时已知的所有单群（除了几个例外），后来别人又利用他的方法得出许多新的无限单群系列，这些都被称为李型单群。但是这些群并没有把有限单群包罗完全。除了无限系的单群之外，还有26个零散单群，早在1861年及1873年马蒂厄已知道其中的5个，1966－1975年间又陆续发现了21个。到1980年初，所有这26个零散单群都已经具体造出来。那么单群的分类是否大功告成了呢？群论专家大都认为是这样，不过完全证明仍在发表中。
4、拓扑学
在20世纪最初30多年中，拓扑学经历了相当长的混乱时期，出现了许多同调理论，也开拓了一些应用领域，其中特别值得指出的是拓扑学与分析的联系。1925年莫尔斯建立了大范围变分法，即变分问题的莫尔斯理论，这个理论把临界点（奇点）指数与贝蒂数联系起来。1931年德．拉姆证明德．拉姆公式，把微分形式与同调联系起来。这时由于抽象代数学的发展，在A．E．诺特的影响下，形成了同调群的概念，由此把几何的结构和代数的结构联系起来。到第二次世界大战末期，艾伦伯格和斯廷罗德将同调论公理化，从而结束了同调论的混乱局面。后来又发现了许多广义的同调理论（如K理论），给拓扑学乃至整个数学提供了许多强有力的武器。
拓扑学的一个方向是同伦论，庞加莱已经提出了基本群的概念，后来切赫和胡雷维奇先后提出同伦群的观念。同伦群包括着拓扑空间的丰富信息，但是，它是极为难计算的群。常常很片面的进展都给拓扑学乃至整个数学带来极大的推动，例如博特用莫尔斯理论得出典型群同伦群的周期性定理，成为K理论的一个来源。
拓扑学的一个自然对象是流形，流形可以看成是一块一块欧氏空间粘接在一起形成的东西。假如这些块通过线性映射粘接在一起，就成为分段线性流形；假如这些块通过可微映射粘接在一起，就得出微分流形。
一个著名的、长期没有解决的猜想——主猜想，它宣称任何分段线性流形必定存在本质上是唯一的三角剖分（即线性粘接的方式）。显然对于许多流形，主猜想成立，但是仍然存在反例。另外，1966－1967年，还证明了存在拓扑流形没有分段线性结构。
微分流形是应用范围极广的对象。1956年米尔诺发现微分流形7维球面S7具有不同的微分结构，这是拓扑学的一个重大成就，它标志着微分拓扑学的诞生。其后不久，又发现有的分段线性流形没有微分结构，而反过来，任何微分流形都存在本质上是唯一的分段线性结构是早就知道的事。
另外一个重要的猜想是庞加莱猜想，即单连通、定向、闭三维流形一定是三维球面。至今，这个猜想未被证实也没有被否定。但是广义的庞加莱猜想，5维以上的相当的猜想在1960年左右却获得了证实。1982年，4维的猜想也得到证明。
近年来，流形上的分析——奇点理论、动力系统（常微分方程）理论、叶状结构理论等取得很大的发展。托姆从奇点理论出发，发展了突变理论，在不同程度上可以解释许多自然现象及社会现象。
三、结构数学对经典数学的冲击
20世纪发展起来的代数及拓扑方法对于古老的学科起着极大的推动作用。其中结构数学对于代数数论、代数几何学、多复变函数论、抽象调和分析、大范围微分几何学等分支起着决定性的改造作用，从而极大地扩展了它们的范围。由此，导致许多经典问题取得突破乃至完全解决。
1、微分流形的几何学
组合拓扑学由于群的概念的引进，正式成为代数拓扑学。20世纪40年代同调论的公理化，统一了同调论的基础，并开辟了以后广义上同调论的发展途径。同时，同伦论的兴起，丰富了拓扑学的内容，而且使得拓扑学成为数学发展的重要工具。其中纤维丛及层概念的引入起着决定性作用。20世纪50年代以后，对于流形的研究取得了重要的突破，1956年发现了球面上的不等价的微分结构，证明了广义庞加莱猜想，解决了主猜想，并发展了大范围的动力系统理论。对于微分流形的研究，促进了奇点理论的发展，同时解决了一系列与微分几何学有关的拓扑问题，并且发展了叶状结构理论。
2、古典分析
新学科的发展给古典分析提供了重要的工具，其中包括不动点定理、拓扑度的观念，尤其是广义函数论大大推动了偏微分方程理论的发展。在微分流形上，考虑微分算子促使霍奇理论的产生，这个理论把流形的拓扑性质与分析性质结合起来，它与黎曼一罗赫定理共同深化为阿蒂亚一辛格理论，阿蒂亚一辛格理论是引进伪微分算子的主要推动力，伪微分算子不仅包含线性微分算子，而且包含了以前研究的奇异积分算子，从而使线性偏微分方程理论系统化，这套理论后来又推广为傅立叶积分算子理论。
3、代数几何学
交换环理论给代数几何学打下了牢固的基础。从范德瓦尔登、韦伊、扎里斯基一直到塞尔、格罗唐迪克，不仅发展了抽象代数几何学，而且解决了一系列经典问题，其中特别是广中平枯解决了特征0的代数簇的奇点解消问题，而且建立了算术代数几何这一前沿学科，并导致一系列重要猜想的解决。1974年，德利涅成功地证明了韦伊猜想，这是不定方程理论最重大的成就。1983年，法尔廷斯证明了莫德尔猜想，这是丢番图几何的中心问题之一。1994年怀尔斯取得世纪性的成就，证明了费马大定理。
4、代数数论
19世纪末，希尔伯特已把当时代数数论最主要的成果整理在他的《数论报告》（即《代数数域的理论》）中，而且发展了类域的概念，给出一系列类域论的猜想，并证明了许多特殊的情形。这些结果和猜想成为20世纪前半叶代数数论发展的指南。如希尔伯特类域的推广、相对阿贝尔扩张具有唯一的类域、克罗内克青春之梦等到1920年都陆续被高木贞治等人解决。到1927年阿廷证明了一般互反律，从而完成了阿贝尔类域论的理论。20世纪30年代到50年代，在抽象代数、同调代数等工具的帮助下，类域论可以用漂亮的代数理论和上同调理论来表达，成为数学王国中一颗光彩夺目的明珠。
类域论不仅仅在原来代数数域的范围中，许多定理可以类推到代数闭域上单变量代数函数域上。另外，亨泽尔发现了p-adic数，对于各种代数数域也都有相应的“局部域”，相应地建立了各种局部域的阿贝尔扩张理论，此即局部类域论。20世纪60年代，局部类域论可以用形式群的工具来简明地表示出来。
其后，类域论向非阿贝尔类域论发展。这里面，自守形式、代数几何、群表示论、上同调混合在一起。朗兰茨等人发展了一套体系，被称为朗兰茨哲学，它极大地影响了整个数学的发展。
四、经典数学
20世纪许多经典问题也取得重大进展，下面列举其中一些重要项目。
1、解析数论
（1）黎曼猜想
（2）素数定理的初等证明
（3）华林问题与哥德巴赫猜想
（4）密率方法与筛法
（5）三角和方法
2、丢番图逼近与超越数论
（1）解决希尔伯特第7问题
（2）代数数的最佳逼迫
（3）高斯关于类数1的虚二次域猜想
（4）卡塔兰方程
（5）ζ（3）为无理数
3、单复变函数论
（1）奈望林纳理论
（2）拟共形映射
（3）比伯巴赫猜想
4、实变函数论
傅立叶级数为几乎处处收敛和发散的问题，如卢津猜想。
5、微分方程与变分法
（1）极小曲面、普拉托问题
（2） KdV方程
（3）线性偏微分方程的解的存在性、唯一性
虽然它们大都与结构数学无关，但是其中一些问题的进步仍可以看出结构数学的影响。
当然，经典数学不仅限于上述几个分支，另一个活跃的分支是概率论。
概率论虽然已有300年的历史，但到20世纪初，人们对概率只有一些模糊的认识，概率的计算也没有很严格的基础。当时只有一些古典概率的基本概念以及大数律及中心极限定理的原始形式。20世纪初严格地证明了中心极限定理。1909年， ．波莱尔得出强大数定律，马尔可夫开始了马尔可夫链的研究。到20世纪20年代，建立了大数律与中心极限定理成立的充分必要条件，可以说是古典概率论的最终完成。但是，这个时期对于概率的理解有着很大的不同，对于概率的数学基础，也有不同的看法，一直到 ．波莱尔有意识地把概率论建立在测度论的基础上，建立了可数集的概率法，填补了古典概率以及几何概率之间的空白，概率论才算有了可靠的数学基础。1933年，柯尔莫戈罗夫把概率论公理化，概率论才正式成为一门独立学科。20世纪20年代到40年代，是概率论的英雄时代，这个时期形成了以莱维为代表的法国学派，柯尔莫戈罗夫、辛钦等为代表的原苏联学派以及稍后的美国学派，这个时期研究了独立随机变量和的极限定律以及相关的随机变量情形下大数律与中心极限定理的推广，而最重要的一个方面是随机过程。随机过程的最典型的例子是布朗运动，在爱因斯坦1905年的物理解释的基础上，N．维纳首先从数学上建立了布朗运动的理论模型，其后莱维从马尔可夫过程观点研究布朗运动，提出假定未来与过去无关这种强马尔可夫性质。后来发现马尔可夫过程的转移概率满足微分积分方程。第二次世界大战后，概率论发展了随机过程和随机分析等重要分支，在理论和实践方面起着重大作用。例如当前发展的热门全能数学中，随机微分方程起着决定性作用。
20世纪的应用数学和计算数学也获得了巨大发展。除了经典的应用数学之外，20世纪新产生了许多新兴领域，特别是统计数学、运筹学、控制理论以及与计算机有关的计算机科学与计算数学等。
作为概率论的应用是数理统计，它来源于优生学。20世纪初，皮尔逊构造相关性的理论，建立了生物计量学的基础。他引进了 分布，开辟了参数检验理论，后来戈塞特开辟小样本检验方法，这些都是建立在古典概率基础上的。20世纪20年代，费希尔一系列的理论与实践活动促进了数理统计的极大发展，他的主要贡献是假设检验和实验设计，他还发展了方差分析方法的研究。他的数学不够严格，后来在概率论公理化的基础上，内曼等人奠定了统计假设检验的基础。实验设计是应用非常广泛的方法，它与组合理论密切相关，特别涉及正交拉丁方的存在问题以及区组设计理论，这些都已经成为组合理论的独立分支。数理统计的另外一个发展是瓦尔德开创的统计判断函数理论，在第二次世界大战中，他发展了序贯分析法，有极大的实用价值。
20世纪的数学应用不仅在物理科学方面继续深人发展，而且扩展到生物科学、经济科学、管理科学等各个方面。20世纪40年代以后，随着计算机的发展，应用数学与计算数学密切相关地发展，解决了一系列的重要问题。它不仅应用基础数学，而且用到新兴的抽象学科，如拓扑学、抽象代数、泛函分析等等。反过来，应用数学也促进了纯粹数学的发展，甚至直接促使纯粹数学问题的解决，如1982年由杨振宁一米尔斯理论导致四维庞加莱猜想的证明。在第二次世界大战中发展起来的运筹科学，其中最重要的分支是规划理论，特别是线性规划理论与算法复杂性有着密切的关系，在实用上也有着多方面的应用。1948年发展起来一整套信息理论，其中编码问题与代数问题密切相关。由于卫星和火箭的控制问题产生了控制理论、应用抽象代数、泛函分析、随机过程理论乃至微分几何学、代数几何学。1958年，庞特里亚金等人提出最优控制所满足的必要条件，而形成集中参数系统的最优控制理论。1960年，卡尔曼等提出递推滤波算法，适合于计算机进行计算，便于应用。对策论的发展较早，1944年冯·诺伊曼等的《对策论与经济行为》一书出版，是对前人关于对策模型研究的总结，其中给对策以公理化的定义，奠定了这门科学的基础。与此同时，他们也发展了数理经济学的一个方向。
随着数学应用的发展，对计算机的要求也越来越高，大量数值计算使人们对于研究数值计算方法更加重视。1947年，冯·诺伊曼等人发表“高阶矩阵的数值求逆”，标志着数值分析这门学科的诞生。数值分析最常用的方法是解线性方程组，除了高斯消去法之外，还发展了迭代法，并研究一类应用价值很广的稀疏矩阵以及广义逆的概念。为了解偏微分方程，常用差分法以及库朗等人在20世纪20年代奠定基础的有限元法，这个方法是应用范围最广的方法。其他还有样条函数、快速傅立叶变换以及线性规划的单纯形方法及其种种改进。20世纪60年代，随着计算数学的实践，出现了计算复杂性分支，它对于算法进行了定量的评价。
20世纪初，大部分数学工作是在德国和法国进行的，法国数学的领袖人物是庞加莱，其后 ．波莱尔、勒贝格、阿达马等人在函数论方面有着重要的国际影响。德国的数学主要是以希尔伯特为首的格丁根学派，希尔伯特的研究一直影响到20世纪30年代，德国各地也有许多小的中心，如柏林、汉堡等地都进行着活跃的数学研究。在希特勒上台之前，德国一直处于世界的领先地位。第一次世界大战之后，A．E．诺特的学派促成抽象代数的诞生以及拓扑学的代数化，而同时在法国，只有 ．嘉当进行李群与微分几何学的孤立的研究。第二次世界大战以后，以布尔巴基学派为核心的法国数学在世界上居于主导地位，尤其对结构数学的发展起着决定性作用。
19世纪的英国，虽然有一些著名的数学家，但落后于欧洲大陆，长期以来，数学的发展停滞不前。19世纪末，扬夫妇去格丁根学习，开始把新数学引进英国，一直到20世纪初，哈代和李特尔伍德在数论及古典分析方面开始做出国际水平的贡献。20世纪30年代以后，英国数学家开始在拓扑学、代数几何学以及抽象代数等方面做出突出的贡献。
19世纪70年代以后，意大利数学家在到德、法两国去学习之后，本国数学有了巨大的发展。19世纪末到20世纪初，许多意大利数学家在微分几何学、代数几何学、泛函分析、实变函数论等方面做出了第一流的贡献。意大利数学在20世纪30年代到50年代趋于衰微，其后，又得到复兴，在各个领域都有不少贡献，最突出的是在分析方面，尤其是偏微分方程。
20世纪一系列的民族学派兴起，美国数学家先是向德国、法国学习，产生了一些优秀的数学家，如N．维纳及G．D．伯克霍夫。20世纪30年代以后，一大批欧洲数学家移民美国，使得美国在二战后成为重要的数学大国。另一个数学大国原苏联则是以卢津为首的莫斯科学派最为主要，20世纪20年代许多人到德国等地留学，出现了一批优秀的拓扑学家、代数学家、分析学家。原苏联的概率论尤其出色。其后，在新兴的一些学科一度落后，从20世纪60年代起得到恢复和振兴，形成门类齐全的数学体系。波兰数学从第一次世界大战以后开始形成自己的学派，他们着重研究集合论、逻辑、拓扑学和泛函分析以及实分析，在这些领域处于国际领先地位。但第二次世界大战中，半数以上的数学家惨遭杀害，致使波兰数学元气大伤。日本的数学从19世纪末起开始向欧洲学习，20世纪初已经出现像高木贞治这样的数学家，其后日本数学逐步形成了一个门类齐全的数学体系。第二次世界大战以后，出现不少世界第一流的数学家。北欧诸国产生了一批重要的数学家，但他们的兴趣多偏重于经典数学。匈牙利给世界提供了大批优秀数学家，如里斯和冯·诺伊曼。第二次世界大战以后，拉丁美洲、印度等国也出现一些重要的数学家。
在第二次世界大战之前，数学家之间的交流已经开始活跃起来，除了四年举行一次的国际数学家大会之外，区域性的会议及专业的会议也举行过一些。第二次世界大战以后，由于交通工具的改进，各种各样的会议层出不穷，大大促进了数学的国际化。20世纪数学的出版物也以指数形式增长，每年发表的数学论文从1900年的大约1500篇增长到1980年的4万至5万篇，这种庞大数量的文献使数学家难以掌握，于是逐步产生一些新的文摘杂志。数学家的交流方式越来越变得口耳相传而不是通过阅读文献及书刊来进行。