离散数学（5）——有序对、卡氏积、二元关系、定义域，值域，域、逆，合成（复合）、限制、象、单根、单值

一、有序对

定理1

• ={{a},{a,b}}
• a是第一元素，b是第二元素，也记作（a,b）
• 引理1 {x,a}={x,b}⟺a=b
• 引理2 若A=B=Φ 则⑴∪A=∪B⑵∩A=∩B

定理2

• =⟺a=c∧b=d
• 推论 a≠b⇒≠

有序三元组

• =<,c>
• 1,a₂,…,a_n>=1,b₂,…,b_n>⟺a_i=b_i i=1,2,…,n

二、卡氏积

性质

• 非交换：A×B ≠ B×A
• 非结合：（A×B）×C ≠ A×（B×C）
• 分配律：A×（B∪C）＝（A×B）∪（A×C）
• 其他：A×B=Φ ⟺ A=Φ∨B=Φ

三、二元关系

n元关系：其元素全是有序n元组的集合

2元关系（关系）：元素全是有序对的集合

• 设F是二元关系，则∈F⟺x与y具有F关系⟺xFy

• 三种记法：xFy（中缀（infix）记号）

  ​ F(x,y)，Fxy （前缀（prefix）记号）

  ​ ∈F,xyF （后缀（suffix）记号）

A到B的二元关系

• 是AB的任意子集。R是A到B的二元关系⟺R⊆A×B⟺R∈P(A×B）
• 若|A|=m,|B|=n，则|A×B|=mn，故|P(A×B)|=2^mn,即A到B不同的二元关系共有2^mn个

四、定义域，值域，域

• 定义域（domain）：domR={x|∃y(xRy)}
• 值域（range）：ranR={y|∃x(xRy)}
• 域（field）：fldR=domR∪ranR

五、逆，合成（复合）

• 逆（inverse）：F^-1={|yFx}

• 合成（复合）（composite）：F○G={|∃z(xGz∧zFy)}

  • 合成运算结合律

    设R₁，R₂，R₃为集合，则（R₁○R₂）○R₃=R₁○(R₂○R₃)

  • 设F，G为两集合，则(F○G)^-1=G^-1○F^-1

六、限制、象

• 限制（restriction）：F↑A={|xFy∧x∈A}
• 象（image）：F[A]=ran(F↑A) F[A]={y|∃x(x∈A∧xFy)}

七、单根、单值

对任意集合F，可以定义：

• 单根（single rooted）：F是单根的⟺∀y(y∈ranF→∃!x(x∈domF∧xFy))⟺(∀y∈ranF)(∃!x∈domF)(xFy)
• ∃!表示“存在唯一的”
• ∀x(x∈A→B(x))缩写为(∀x∈A)B(x)
• ∃x(x∈A∧B(x))缩写为(∃x∈A)B(x)
• 单值（single valued）：F是单值的⟺∀x(x∈domF→∃!y(y∈ranF∧xFy))⟺(∀x∈domF)(∃!y∈ranF)(xFy)