C语言-最小生成树（Kruskal算法）

1. 创建边集图（CreateEdgeGraph）
2. 打印图（print）
3. 排序函数（sort）
4. 顶点下标查找函数（LocateVex）
5. 查找双亲函数（FindRoot）
6. 克鲁斯卡尔算法（MiniSpanTree_Kruskal）

克鲁斯卡尔算法

• 简单的来说就是：每次选取最短边，但不能构成回路。
  

克鲁斯卡尔算法的关键

1. 用哪一种方式存储图才合适？

• 如果用邻接矩阵和邻接表，每次寻找最短边都要搜索所有边，故邻接矩阵和邻接表均不合适！
• 改进图的存储：边集数组。
  
• EdgeGraph中包含了两个数组和顶点数、边数。两个数组分别是顶点数组Vertex[ ]和边集数组edge[ ]，其中边集数组edge是一个结构体数组，每一个单元包含起点、终点、权值。

typedef struct
{
	VertexType begin;//起点
	VertexType end;//终点
	int weight;
}Edge;//边集数组edge[]的单元 

typedef struct
{
	VertexType Vertex[VertexMax];//顶点数组 
	Edge edge[VertexMax];//边集数组 
	int vexnum;//顶点数 
	int edgenum;//边数 
}EdgeGraph;

2. 如何选取最短边？

• 排序。排序是克鲁斯卡尔算法的关键，是整个算法时间花费最多的部分，故排序算法决定了克鲁斯卡尔算法的时间复杂度。若采用插入排序，时间复杂度为O(e²) ，若采用堆排序或者快速排序，那么时间复杂度为O(elog₂e) [注：e为边数]
• 此处用的是简单选择排序：

void sort(EdgeGraph *E)
{
	int i,j;
	Edge temp;
	
	for(i=0;i<E->edgenum-1;i++)
	{
		for(j=i+1;j<E->edgenum;j++)
		{
			if(E->edge[i].weight>E->edge[j].weight)
			{
				temp=E->edge[i];
				E->edge[i]=E->edge[j];
				E->edge[j]=temp;
			}
		}
	}
}

• 排序结果：
  

3. 如何确定当前所选最短边是否会构成回路？

• 考察两个顶点之间是否会构成回路，只需要看两个顶点所属的树是否有相同的根节点。

int FindRoot(int t,int parent[])//t接收到是结点在Vertex数组中的下标 
{
	while(parent[t]>-1)//parent=-1表示没有双亲，即没有根节点 
	{
		t=parent[t];//逐代查找根节点 
	}
	
	return t;//将找到的根节点返回，若没有根节点返回自身 
}

4. 克鲁斯卡尔算法代码：

void MiniSpanTree_Kruskal(EdgeGraph *E)
{
	int i;
	int num;//生成边计数器，当num=顶点数-1 就代表最小生成树生成完毕 
	int root1,root2; 
	int LocVex1,LocVex2; 
	int parent[VertexMax];//用于查找顶点的双亲，判断两个顶点间是否有共同的双亲，来判断生成树是否会成环 
	
	//1.按权值从小到大排序 
	sort(E);
	print(E);
	//2.初始化parent数组 
	for(i=0;i<E->vexnum;i++)
	{
		parent[i]=-1;
	}
	
	printf("\n 最小生成树(Kruskal):\n\n");
	//3.
	for(num=0,i=0;i<E->edgenum;i++)
	{
		LocVex1=LocateVex(E,E->edge[i].begin);
		LocVex2=LocateVex(E,E->edge[i].end);
		root1=FindRoot(LocVex1,parent);
		root2=FindRoot(LocVex2,parent);
	
		
		if(root1!=root2)//若不会成环，则在最小生成树中构建此边 
		{
			printf("\t\t%c-%c w=%d\n",E->edge[i].begin,E->edge[i].end,E->edge[i].weight);//输出此边 
			parent[root2]=root1;//合并生成树
			num++;
			
			if(num==E->vexnum-1)//若num=顶点数-1，代表树生成完毕，提前返回 
			{
				return;
			}
		} 
	}
	
}

• 需要注意的是我这里采用的顶点元素是字符型，所以在找祖先（FindRoot）的时候需要将顶点元素对应Vertex数组中的下标传入，故需要用LocateVex函数获取下标[见上代码第22-25行]
• 此代码还加入了生成边计数器num，统计当前最小生成树的边数，当num达到顶点数-1（n-1）的时候，可以提前返回结束，省去后面可能会有多余的步骤。[见上代码第34-37行]

完整源代码

#include 
#include 
#define VertexMax 20 //最大顶点数为20

typedef char VertexType; 

typedef struct
{
	VertexType begin;
	VertexType end;
	int weight;
}Edge;//边集数组edge[]的单元 

typedef struct
{
	VertexType Vertex[VertexMax];//顶点数组 
	Edge edge[VertexMax];//边集数组 
	int vexnum;//顶点数 
	int edgenum;//边数 
}EdgeGraph;

void CreateEdgeGraph(EdgeGraph *E)
{
	int i;
	
	printf("请输入顶点数和边数:\n");
	printf("顶点数 n="); 
	scanf("%d",&E->vexnum);
	printf("边  数 e="); 
	scanf("%d",&E->edgenum);
	printf("\n"); 
	//printf("\n"); 
	
	printf("输入顶点(无需空格隔开):"); 
	scanf("%s",E->Vertex);
	printf("\n\n");
	
	printf("输入边信息和权值(如：AB,15):\n");
	for(i=0;i<E->edgenum;i++)
	{
		printf("请输入第%d边的信息:",i+1);
		scanf(" %c%c,%d",&E->edge[i].begin,&E->edge[i].end,&E->edge[i].weight);
	}	
}

void print(EdgeGraph *E)
{
	int i;
	
	printf("\n-----------------------------------\n"); 
	printf(" 顶点数组Vertex:");
	for(i=0;i<E->vexnum;i++)
	{
		printf("%c ",E->Vertex[i]);
	}
	printf("\n\n");
	
	printf(" 边集数组edge:\n\n");
	printf("\t\tBegin	End	Weight\n");
	for(i=0;i<E->edgenum;i++)
	{
		printf("\tedge[%d]	%c	%c	%d\n",i,E->edge[i].begin,E->edge[i].end,E->edge[i].weight);
	}
	printf("\n-----------------------------------\n");
}

void sort(EdgeGraph *E)
{
	int i,j;
	Edge temp;
	
	for(i=0;i<E->edgenum-1;i++)
	{
		for(j=i+1;j<E->edgenum;j++)
		{
			if(E->edge[i].weight>E->edge[j].weight)
			{
				temp=E->edge[i];
				E->edge[i]=E->edge[j];
				E->edge[j]=temp;
			}
		}
	}
}

int LocateVex(EdgeGraph *E,VertexType v)//查找元素v在一维数组 Vertex[] 中的下标，并返回下标 
{
	int i;
	
	for(i=0;i<E->vexnum;i++)
	{
		if(v==E->Vertex[i])
		{
			return i; 
		} 
	 } 
	 
	 printf("No Such Vertex!\n");
	 return -1;
}

int FindRoot(int t,int parent[])//t接收到是结点在Vertex数组中的下标 
{
	while(parent[t]>-1)//parent=-1表示没有双亲，即没有根节点 
	{
		t=parent[t];//逐代查找根节点 
	}
	
	return t;//将找到的根节点返回，若没有根节点返回自身 
}

void MiniSpanTree_Kruskal(EdgeGraph *E)
{
	int i;
	int num;//生成边计数器，当num=顶点数-1 就代表最小生成树生成完毕 
	int root1,root2; 
	int LocVex1,LocVex2; 
	int parent[VertexMax];//用于查找顶点的双亲，判断两个顶点间是否有共同的双亲，来判断生成树是否会成环 
	
	//1.按权值从小到大排序 
	sort(E);
	print(E);
	//2.初始化parent数组 
	for(i=0;i<E->vexnum;i++)
	{
		parent[i]=-1;
	}
	
	printf("\n 最小生成树(Kruskal):\n\n");
	//3.
	for(num=0,i=0;i<E->edgenum;i++)
	{
		LocVex1=LocateVex(E,E->edge[i].begin);
		LocVex2=LocateVex(E,E->edge[i].end);
		root1=FindRoot(LocVex1,parent);
		root2=FindRoot(LocVex2,parent);
	
		
		if(root1!=root2)//若不会成环，则在最小生成树中构建此边 
		{
			printf("\t\t%c-%c w=%d\n",E->edge[i].begin,E->edge[i].end,E->edge[i].weight);//输出此边 
			parent[root2]=root1;//合并生成树
			num++;
			
			if(num==E->vexnum-1)//若num=顶点数-1，代表树生成完毕，提前返回 
			{
				return;
			}
		} 
	}
	
}

int main() 
{
	EdgeGraph E;
	
	CreateEdgeGraph(&E);
	MiniSpanTree_Kruskal(&E);
	
	return 0;
	
}

执行结果

克鲁斯卡尔算法的时间复杂度

• 上文已经提到，克鲁斯卡尔算法主要时间耗费在排序算法中，整个算法的时间复杂度取决于排序算法，若采用插入排序，时间复杂度为O(e²) ，若采用堆排序或者快速排序，那么时间复杂度为O(elog₂e)，此处的e为边，那么也就是说，克鲁斯卡尔算法的时间复杂度与边数有关，故适用于稀疏图。

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参考：
1.部分文图来自 懒猫老师