Fibonacci Numbers

阅读TAOCP中Fibonacci Numbers内容后的想法。

Fibonacci Numbers，形如以下的数列 
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34, … , 
在这个数列中从第三项开始，每一个元素都是前两个元素的和。 
可以写成以下形式: 

formula1：

F0 = 0; F1 = 1; Fn+2 = Fn+1 + Fn , n>=0. 
由此我们就可以得到递归代码：

int Fibonacci_Numbers(int n)
{
	if(n==0)
		return 0;
	if(n==1)
		return 1;
	return Fibonacci_Numbers(n-1)+Fibonacci_Numbers(n-2);
}

对于上面的算法，经历的时间是指数级的

通过模拟上面的过程可以发现有许多状态是重复的。

我们可以改进上面的过程，改用递推的方式。将原来的状态保留下来，便于以后的使用。

int Fibonacci_Numbers(int n)
{
	int FibNum[MAXSIZE]={0,1};
	for(int i=2;i<=n;++i)
	{
		FibNum[i]=FibNum[i-1]+FibNum[i-2];
	}
	return FibNum[n];
}

经过此番改进我们可以得到时间复杂度为O（n）的算法。

但是我们通过另一个关于 Fibonacci Numbers表达式可以得到另一个算法。

formula2：

该数学形式表示为：F_{n+1 *} F_n-1 - F_n² = (-1)ⁿ ,

当我们该等式转化为矩阵的形式（此处还不太会数学符号的插入），我们得到一个求解 Fibonacci Numbers的可能更有效的 算法。

int Fibonacci_Numbers_Matrix(int n)
{
	int FibNumMat[2][2]={1,1,1,0};
	int FibNumAns[2][2]={1,1,1,0};
	if(n==0)
		return 0;
	if(n==1||n==2)
		return 1;
	for(int i=0;i

当我们改进成上面的程序时发现并不会比O（n）的算法更优。

如果将 n 表示成 n = b ₀*2 ⁰  + b ₁*2 ¹  + b ₂*2 ²  + ...+ b _n*2 ⁿ .

可以得到一些启示，将上面的程序写成这样子：

int Fibonacci_Numbers(int n)
{
	int FibNumMat[2][2]={1,1,1,0};
	int FibNumAns[2][2]={1,0,0,1};
	while(n>0)
	{
		if(n&1)
			Matrix((int *)FibNumAns,(int *)FibNumMat),n--;
		else
			Matrix((int *)FibNumMat,(int *)FibNumMat),n>>=1;
	}
	return FibNumAns[0][1];
}
void Matrix(int *Mat1,int *Mat2)
{
	int a1=*Mat1,b1=*(Mat1+1),c1=*(Mat1+2),d1=*(Mat1+3);
	int a2=*Mat2,b2=*(Mat2+1),c2=*(Mat2+2),d2=*(Mat2+3);
	*Mat1=a2*a1+c2*b1;
	*(Mat1+1)=b2*a1+d2*b1;
	*(Mat1+2)=a2*c1+c2*d1;
	*(Mat1+3)=b2*c1+d2*d1;
}

参考博文： http://blog.csdn.net/y990041769/article/details/22311889

                         http://blog.csdn.net/liuzhanchen1987/article/details/7712640  

此处的时间复杂度应该是O（logn），所用算法思想类似快速幂取模。

此外在书中还有一些有趣的式子。

1 ) F _n+m  = F _n*F _n+1  + F _m-1*F _n.

 如果转化为 F _n  = F _n/2*F _n/2+1  + F _n/2-1*F _n/2. 会不会有时间复杂O（logn）的算法。

2）GCD（F _m  , F _n）=F _{GCD( m , n )}.

3 )  F _m*n+r  = F _r                                if m mod 4 = 0.

      F_m*n+r = (-1)^r+1*F_n-1             if m mod 4 = 1.

      F_m*n+r = (-1)^r*F_r                      if m mod 4 = 2.

      F _m*n+r  = (-1) ^r+1+n*F _n-r           if m mod 4 = 3.