计算智能——蚁群算法

蚁群算法

1、基本原理

蚁群算法是对自然界蚂蚁的寻径方式进行模似而得出的 一种仿生算法：蚂蚁在运动过程中，能够在它所经过的路 径上留下信息素(pheromone)的物质进行信息传递，而蚂蚁在运动过程中能够感知这种物质，并以此指导自己的 运动方向。由大量蚂蚁组成的蚁群集体行为便表现出一种信息正反馈现象：某一路径上走过的蚂蚁越多，则后来者选择该路径的概率就越大。

2、基本概念和流程

在ACO 算法中，人工蚂蚁实际上代表的是一个解的随机构建过程，从最初的空解开始，通过不断地向部分解添加解的成分而构建出一个完整的解。
• 解的构建：每只蚂蚁最初都从随机选择出来的城市出发，每经过一次迭代蚂蚁就向解中添加一个还没有访问过的城市。当所有城市都被蚂蚁访问过之后，解的构建就终止。对于每只蚂蚁k，路径记忆向量按照访问顺序记录了所有k已经经过的城市序号。设蚂蚁k当前所在城市为i， 则其选择城市j作为下一个访问对象的概率为：

• 信息素更新：这里m是蚂蚁个数, ρ是信息素的蒸发率，规定0≤ρ≤1,在AS中通常设置为ρ=0.5，△ζ_ij是第k只蚂蚁在它经过的边上释放的信息素量，它等于蚂蚁k本轮构建路径长度的倒数。C表示路径长度，它是R^k中所有边的长度和。

3、流程图和伪代码

4、代码实现

%% 导入数据
load citys_data.mat

%% 计算城市间相互距离
fprintf('Computing Distance Matrix... \n');
n = size(citys,1);
D = zeros(n,n);
for i = 1:n
    for j = 1:n
        if i ~= j
            D(i,j) = sqrt(sum((citys(i,:) - citys(j,:)).^2));
        else
            D(i,j) = 1e-4;      
        end
    end    
end

%% 初始化参数
fprintf('Initializing Parameters... \n');
m = 75;                              % 蚂蚁数量
alpha = 1;                           % 信息素重要程度因子
beta = 5;                            % 启发函数重要程度因子
rho = 0.5;                           % 信息素挥发因子
Q = 1;                               % 常系数
Eta = 1./D;                          % 启发函数
Tau = ones(n,n);                     % 信息素矩阵
Table = zeros(m,n);                  % 路径记录表
iter = 1;                            % 迭代次数初值
iter_max = 160;                      % 最大迭代次数 
Route_best = zeros(iter_max,n);      % 各代最佳路径       
Length_best = zeros(iter_max,1);     % 各代最佳路径的长度  
Length_ave = zeros(iter_max,1);      % 各代路径的平均长度  

%% 迭代寻找最佳路径
figure;
while iter <= iter_max
    fprintf('迭代第%d次\n',iter);
    % 随机产生各个蚂蚁的起点城市
      start = zeros(m,1);
      for i = 1:m
          temp = randperm(n);
          start(i) = temp(1);
      end
      Table(:,1) = start; 
      % 构建解空间
      citys_index = 1:n;
      % 逐个蚂蚁路径选择
      for i = 1:m
          % 逐个城市路径选择
         for j = 2:n
             tabu = Table(i,1:(j - 1));           % 已访问的城市集合(禁忌表)
             allow_index = ~ismember(citys_index,tabu);
             allow = citys_index(allow_index);  % 待访问的城市集合
             P = allow;
             % 计算城市间转移概率
             for k = 1:length(allow)
                 P(k) = Tau(tabu(end),allow(k))^alpha * Eta(tabu(end),allow(k))^beta;
             end
             P = P/sum(P);
             % 轮盘赌法选择下一个访问城市
             Pc = cumsum(P);     
            target_index = find(Pc >= rand); 
            target = allow(target_index(1));
            Table(i,j) = target;
         end
      end
      % 计算各个蚂蚁的路径距离
      Length = zeros(m,1);
      for i = 1:m
          Route = Table(i,:);
          for j = 1:(n - 1)
              Length(i) = Length(i) + D(Route(j),Route(j + 1));
          end
          Length(i) = Length(i) + D(Route(n),Route(1));
      end
      % 计算最短路径距离及平均距离
      if iter == 1
          [min_Length,min_index] = min(Length);
          Length_best(iter) = min_Length;  
          Length_ave(iter) = mean(Length);
          Route_best(iter,:) = Table(min_index,:);
      else
          [min_Length,min_index] = min(Length);
          Length_best(iter) = min(Length_best(iter - 1),min_Length);
          Length_ave(iter) = mean(Length);
          if Length_best(iter) == min_Length
              Route_best(iter,:) = Table(min_index,:);
          else
              Route_best(iter,:) = Route_best((iter-1),:);
          end
      end
      % 更新信息素
      Delta_Tau = zeros(n,n);
      % 逐个蚂蚁计算
      for i = 1:m
          % 逐个城市计算
          for j = 1:(n - 1)
              Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) = Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) + Q/Length(i);
          end
          Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) = Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) + Q/Length(i);
      end
      Tau = (1-rho) * Tau + Delta_Tau;
    % 迭代次数加1，清空路径记录表

 %   figure;
 %最佳路径的迭代变化过程
    [Shortest_Length,index] = min(Length_best(1:iter));
    Shortest_Route = Route_best(index,:);
    plot([citys(Shortest_Route,1);citys(Shortest_Route(1),1)],...
    [citys(Shortest_Route,2);citys(Shortest_Route(1),2)],'o-');
    pause(0.3);
 
    iter = iter + 1;
    Table = zeros(m,n);

 % end
end

%% 结果显示
[Shortest_Length,index] = min(Length_best);
Shortest_Route = Route_best(index,:);
disp(['最短距离:' num2str(Shortest_Length)]);
disp(['最短路径:' num2str([Shortest_Route Shortest_Route(1)])]);

%% 绘图
figure(1)
plot([citys(Shortest_Route,1);citys(Shortest_Route(1),1)],...
     [citys(Shortest_Route,2);citys(Shortest_Route(1),2)],'o-');
grid on
for i = 1:size(citys,1)
    text(citys(i,1),citys(i,2),['   ' num2str(i)]);
end
text(citys(Shortest_Route(1),1),citys(Shortest_Route(1),2),'       起点');
text(citys(Shortest_Route(end),1),citys(Shortest_Route(end),2),'       终点');
xlabel('城市位置横坐标')
ylabel('城市位置纵坐标')
title(['蚁群算法优化路径(最短距离:' num2str(Shortest_Length) ')'])
figure(2)
plot(1:iter_max,Length_best,'b',1:iter_max,Length_ave,'r:')
legend('最短距离','平均距离')
xlabel('迭代次数')
ylabel('距离')
title('各代最短距离与平均距离对比')

5、参数调试记录

蚁群算法主要有5个参数
alpha：信息素重要程度因子
beta：启发函数重要程度因子
rho ：信息素挥发因子
m ：蚂蚁数量
iter_max：迭代次数
这次主要研究alpha，beta，rho对结果的影响，因此蚂蚁数量m固定为75，迭代次数iter_max固定为200次。
用C语言写的简单生成随机数程序，生成了40个点坐标（X∈[0,6000],Y∈[0,5000]），代表40个城市。

控制启发函数重要程度因子beta和信息素挥发因子rho不变（beta=5,rho=0.5），改变信息素重要程度因子alpha

alpha=1

最短距离：28558.1822

alpha=2

最短距离:28898.1839

alpha=3

最短距离:29094.3054

alpha=4

最短距离:29094.3054

分析

alpha在1的时候最短距离最小，但是当alpha小于1的时候没有试。随着alpha增加，最短距离越来越小，平均距离收敛得越快，但最后都稳定在3.4左右。

控制信息素重要程度因子alpha和信息素挥发因子rho不变（alpha=3，rho=0.5），改变启发函数重要程度因子beta

beta=1

最短距离:30344.8553

beta=2

最短距离:29145.7761

beta=4

最短距离:28978.882

beta=6

最短距离：29094.3054

分析

当beta为4的时候，最短距离最小，当beta为6时，平均距离最小，在3.4以下

控制信息素重要程度因子alpha和启发函数重要程度因子beta（alpha=1，beta=5），改变信息素挥发因子rho

rho=0.1

最短距离:28898.1839

rho=0.3

最短距离:29047.2567

rho=0.5

最短距离:29109.6541

rho=0.7

最短距离:28542.8334

分析

当rho为0.7左右时，最短距离最短，并且rho越大时，平均距离收敛得越快。

6、结论

1、alpha信息素重要程度因子，alpha越大，最短距离越大，但收敛速度越快
2、beta启发函数重要程度因子，除了beta特别小以外，beta对最短距离影响不大，在一定区间里面浮动
3、rho信息素挥发因子，随着rho增加，收敛速度变快，并且最短距离变短，但是如果当迭代次数够多的话，最短距离会稳定下来。
4、因为这次实验有40个城市，但是只迭代了200次，并且对alpha和beta取值范围不是很懂，所以导致结果基本没有出现最优解，只是都卡在了局部最优，迭代次数我觉得应该要500次左右，才能得出完整的结论。
5、TSP问题是一类经典的组合优化问题，即在给定城市个数和各城市之间距离的条件下，找到一条遍历所有城市且每个城市只能访问一次的总路程最短的路线。蚁群算法在TSP问题应用中取得了良好的效果，但是也存在一些不足：①比如alpha和beta设置不当，导致求解质量很差。
②基本蚁群算法计算量大，求解所需时间较长。