字符串编辑距离之LevenshteinDistance

概述

Levenshtein Distance是一个度量两个字符序列之间差异的字符串度量标准，两个单词之间的Levenshtein Distance是将一个单词转换为另一个单词所需的单字符编辑（插入、删除或替换）的最小数量。Levenshtein Distance是1965年由苏联数学家Vladimir Levenshtein发明的。Levenshtein Distance也被称为编辑距离（Edit Distance）。

定义

对于两个字符串、，长度分别为、，它们的Levenshtein Distance 为：

其中当时，为0，否则为1。就是的前个字符与的前个字符的编辑距离。

、的相似度为。

原理

首先考虑极端情况，当或长度为0时，那么需要编辑的次数就是里一个字符串的长度。

然后再考虑一般情况，此时分为三种情况：

1. 在k个操作中，将a[1...i]转换为b[1...j-1]
2. 在k个操作中，将a[1...i-1]转换为b[1...j]
3. 在k个操作中，将a[1...i-1]转换为b[1...j-1]

针对第一种情况，只需要在a[1...i]后加上字符b[j]，即可完成a[1..i]到b[1...j]的转换，总共需要的编辑次数即为k+1。

针对第二种情况，只需要在a[i]字符从a中移除，即可完成a[1..i]到b[1...j]的转换，总共需要的编辑次数即为k+1。

针对第三种情况，只需要将a[i]转换为b[j]，即可完成a[1..i]到b[1...j]的转换，如果a[i]与b[i]的字符相同，则总共需要的编辑次数为k，否则即为k+1。

所以上述三种情况分别对应于插入、删除、替换操作。

为了保证将a[1..i]转换为b[1..j]的操作数总是最少的，只需要从三种情况中选择操作次数最少的情况，同理为了保证三种情况的操作数也是最小的，只需要按此逻辑进行迭代保证每一步的操作数都是最小的即可。

示例

为方便理解，以字符串：abroad和：aboard为例，将求值过程中每一步的操作数放入一个i+1行j+1列的二维数组中， 即为将a[1..i]转换为b[1...j]所需要的最少的操作数。

1.首先是极端情况，即d[0][j]、d[i][0]即a为空字符串或b为空字符串时，需要操作的次数即为另一字符串的长度。

2.然后是一般情况，即d[i][j]的值，遍历这个二维数组，从第一行开始直到最后一行，由定义可知d[i][j]的值为d[i-1][j]+1、d[i][j-1]+1以及d[i-1][j-1]+1（如果a[i]==b[j]）的最小值。即根据d[i][j]所在位置的正上方（d[i-1][j]）、左方以（d[i-1][j]）及左上方（d[i-1][j-1]）的值计算出d[i][j]的值，由此得到二维数组中所有元素的值。

3.最后的d[i][j]即为字符串a转换为b的最少操作数。

求值过程如下图：
 

Levenshtein Distance

如图字符串、的Levenshtein Distance 为2，相似度为：