行列式的故事

        当我们由后期的观点来看数学史或科学史，特别是受限于篇幅和深度的时候，经常营造出一种假象，好像历代（甚至不同种族、不同地域的）学者们都朝着一个共同而明确的目标前进，有如接力赛似地一棒传一棒，而造就出今天教科书里的内容。而真相并非如此。只要能够多用一点篇幅，并且多引入一些数学内容，就能表现出更多的真相。

 

        但是历史也确实有其神秘之处；有时候，某些不凡的灵魂彷佛真的能够跨越地理的障碍，又好像某些思维在某个时期确实充斥于「空气中」，许多未能彼此沟通的人同时接受了讯息，而创造出极为类似的成果。

 

        若 n 是正整数，则 n 阶行列式就是将n^2 个数映射成一个数的计算规则；某一个数的一阶行列式就是那个数本身。以下记号是今日的标准：将 n^2 个数排列成正方形，在其左右两侧画上直线（看起来也就是「绝对值」符号）。绝对值记号的「借用」以及把数排列成正方形的写法，是英国人凯莱（Cayley,1821-95）在 1841 年提出的。

 

        虽然前人并没有把数排列成正方形，也没有方阵的名字和观念，却其实已经考虑了所谓的矩阵乘法。早些时候，行列式有两个意义：它既指那 n^2 个数，又指它们依规则算出来的那一个数。所以，柯西（Cauchy, 1789-1857）在 1812 年发表的「行列式乘法性质」，乍看是一句没意义的话：『行列式的乘积相等』，其实就是我们今天所说的|A||B|=|AB| ，其中A和B是阶数相等的方阵，而|AB| 的计算规则，就是先做 A 和B 的矩阵乘法，再算其行列式。我们甚至可以说，柯西的行列式乘法性质「启发」了后来矩阵乘法的规则。矩阵的乘法发生在矩阵诞生之前，数学史是不是很有趣？

 

        中文翻译「行列式」的时候，凯莱的符号已经通行，所以那些数写成了方阵形式，而横排的数称为行，直排的称为列。西方称之为determinant，是「决定性因素」的意思。在大势底定以前，同样的观念和算法有过很多不同的名字，我们不必做语源的考据。而 determinant 之胜出，高斯（Gauss, 1777-1855）那本天才洋溢的《算术研究》肯定是个决定性因素：高斯在书里用了那个字  (1801)，并且使用了 2 阶和3 阶情况的「行列式乘法性质」；柯西推广并证明了n 阶的情况。

 

        中文「行列式」强烈暗示它是关于行和列的计算规则，这个非常优异的名字同时指出了算法。就好像中文「微积分」明白指出那是一套包括微分和积分的算法，比原文Calculus 有意义多了。所以课本通常将行列式放在矩阵的章节之中。但是我们现在知道，行列式的发生，原本是某种性质的决定性因素，而且早在它被写成行和列以前。

 

        行列式是n 元一次联立方程式有唯一解的决定性因素，也就是课本里的克拉玛公式。克拉玛（Cramer, 1704-52）在 1750 年发表了这个决定（齐次线性）联立方程组有唯一解、有无穷多组解、无解的一般性方法。那篇论文的主题在探讨「平面上通过若干点的代数曲线」，其实就是插值多项式啦；从已知点坐标求插值多项式系数的一般性方法，就是解联立方程组。所谓的克拉玛公式，写在那篇论文的附录，并无证明。在课本里被当作应用的克拉玛公式，其实是行列式的历史源头。

 

        在克拉玛之后，行列式逐渐成为西欧学术圈内的共同知识。虽然圈内人普遍将克拉玛公式视为行列式的源头，却把开创行列式这门学问的荣誉，归给了范德蒙（Vandermonde, 1735-96） 。这是因为后者在 1770 年代的工作，将行列式从联立方程式抽离出来，当作独立的数学研究对象。范德蒙指出了课本里面列举的那些行列式计算性质，并指出利用余因子化简的算法；但是他并没有使用凯莱的方阵表达形式。

 

        但是在克拉玛论文的一百年后 （1850） ，西欧的学术圈有了新的「发现」。那一年，德国（汉诺威）出版了莱布尼兹（Leibniz, 1646-1716）书信全集，里面有一封1683 年写给罗必达（一个大家熟知的极限法则以他命名）的信，也提出了所谓的克拉玛公式，并且明确地写出三阶行列式的计算规则。更令人惊讶的是，莱布尼兹在信中使用了双足标：他写10+11x+12y=0 ，但那些系数不是十、十一、十二的意思，从后文看出来是 a10、a11 、 a12 的意思。

 

        当西欧和日本的交流更为密切之后，他们又「发现」居然就在莱布尼兹写信给罗必达的几乎同时，在日本被尊为「算圣」的关孝和（Seki Takakazu, 1642-1708）也撰写了完全一样的技术，他不但等同于发现了克拉玛公式，也几乎写出了凯莱的方阵形式。我们相信莱布尼兹和关孝和不曾联络，而他们的前世，会不会都读过卡丹诺（Cardano, 1501-76）的《大术》？因为后来又发现，那本书里隐藏了以二阶行列式解二元一次方程组的法则；卡丹诺只差一点点就要发现克拉玛公式了。

 

        当现代的学术圈发现卡丹诺、莱布尼兹和关孝和的早期思想时，行列式的知识已经完备。所以，这些发现类似于「考古」的发掘，对于我们今日所习的知识架构，并没有发生影响。

 

        行列式、向量和矩阵，各有自己的发源，有它们自己的动机和应用。其中最早发生的是行列式；而行列式与向量、方阵的揉合，则发生于十九世纪的中期。至于它们三者被整合在「线性代数」的架构之内，则已经是距今一百年左右的近期发展了。

 

        有些网络文件把行列式的「最早」发现归功于中国汉朝的《九章》，我相信那是溢美之言。九章的确解了三元一次方程组，但是所用的方法等价于高斯消去法，并不是行列式。